關(guān)于數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)教育的思考

謝成英?梁國毅

數(shù)學(xué)教育的一個重要任務(wù)就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。努力提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.不僅是數(shù)學(xué)教育進(jìn)行“再教育”的需要，更重要的是培養(yǎng)能思考，會運籌善于隨機(jī)應(yīng)變.適應(yīng)信息時代發(fā)展的合格公民的需要。本文從數(shù)學(xué)思維的特征，品質(zhì)出發(fā).結(jié)合當(dāng)前數(shù)學(xué)教育的實際.探討了在數(shù)學(xué)教育中如何有效地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的問題.

一、數(shù)學(xué)思維及其特征

思維就是人腦對客觀事物的本質(zhì)、相互關(guān)系及其內(nèi)在規(guī)律性的概括與間接的反映。而數(shù)學(xué)思維就是人腦關(guān)于數(shù)學(xué)對象的思維.數(shù)學(xué)研究的對象是關(guān)于現(xiàn)實世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系.因而數(shù)學(xué)思維有其自己的特征.

1.策略創(chuàng)造與邏輯演繹的有機(jī)結(jié)合。一個人的數(shù)學(xué)思維包括宏觀和微觀兩個方面。宏觀上.數(shù)學(xué)思維活動是生動活潑的策略創(chuàng)造.其中包括直覺、歸納、猜測、類比聯(lián)想、合情推理、觀念更新、頓悟技巧等方面，微觀上，要求數(shù)學(xué)思維具有嚴(yán)謹(jǐn)性.要求嚴(yán)格遵守邏輯思維的基本規(guī)律.要言必有據(jù)，步步為營，進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯演繹。事實上.任何一種新的數(shù)學(xué)理論.任河一項新的數(shù)學(xué)發(fā)明.只靠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬔堇[是推不出來的.必須加上生動的思維創(chuàng)造.諸如特殊化一般化.歸納、類比、頓悟等等。一旦有了新的想法.采取了新的策略.掌握了新的技巧.通過反復(fù)深入地提出猜想.加以修正.不斷完善.才有可能產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)理論。也可以說.數(shù)學(xué)思維過程總是似真推理與邏輯推理相互交織的過程。似真推理起著為邏輯思維探路.定向的作用.可以用來幫助在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中發(fā)現(xiàn)新命題.提出可能的結(jié)論.找到解題的途徑與方法等。其中.類比推理和不完全歸納推理更是兩種重要的策略推理形式；而邏輯推理則是似真推理的延續(xù)和補(bǔ)充.由似真推理所獲得的結(jié)論.往往需要借助邏輯推理作進(jìn)一步的論證、證實。因此.數(shù)學(xué)思維只有將策略創(chuàng)造與邏輯演繹有機(jī)結(jié)合.才能顯示出強(qiáng)大的生命力。

二、數(shù)學(xué)思維品質(zhì)

數(shù)學(xué)思維能力高低的重要標(biāo)志是數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的優(yōu)劣，為了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，弄清數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的內(nèi)容是必要的，但對這個問題的爭論很多，我們認(rèn)為數(shù)學(xué)思維品質(zhì)至少應(yīng)包含以下幾個方面的內(nèi)容。

1.思維的靈活性，它是指思維轉(zhuǎn)向的及時性以及不過多地受思維定向的影響。善于從舊的模式或通常的制約條件中擺脫出來。思維靈活的學(xué)生，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，善于進(jìn)行豐富的聯(lián)想，對問題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)換，抓住問題的本質(zhì)，快速及時地調(diào)整思維過程。

2.思維的批判性。它是指對已有的數(shù)學(xué)表述或論證提出自己的見解，不是盲目服從，對于思想上已經(jīng)完全接受了的東西，也要謀求改善，包括修正、改進(jìn)自己原有的工作，事實上，數(shù)學(xué)本身的發(fā)展就是一個“不斷提出質(zhì)疑，發(fā)現(xiàn)問題、提出問題進(jìn)行爭論。直到解決問題的過程。

3.思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。它是指考慮問題的嚴(yán)密、準(zhǔn)確、有根有據(jù)。在思維過程中，善于運用直觀的啟迪，但不停留在直觀的認(rèn)識水平上；注重運用類比、猜想、但不輕信類比，猜想的結(jié)果；審題時不但要注意明顯的條件.而且要挖掘其中隱含的不易被察覺的條件：運用定理、公式時要注意定理、公式成立的條件；在概念數(shù)學(xué)中，要弄清概念的內(nèi)涵與外延.仔細(xì)區(qū)分相近或易混的概念，正確地運用概念，在解決問題時，要給出問題的全部解答，不重不漏，這些都是思維嚴(yán)謹(jǐn)性的表現(xiàn)。

4.思維的廣闊性。它是指思維的視野開闊，對一個問題能從多方面洞察。具體表現(xiàn)為對一個事實能從多方面解釋.對一個對象能用多種方式表達(dá)，對一個題目能想出各種不同的解法.等等。如果把數(shù)學(xué)比作一座大城市.那么它間四面八方延伸的大路.正好表現(xiàn)出數(shù)學(xué)思維發(fā)展和應(yīng)用的廣闊性。

5.思維的深刻性。它是指數(shù)學(xué)思維的抽象邏輯性的深刻程度.是抽象慨括能力的重要標(biāo)志.它以抽象思維為基礎(chǔ).對事物在感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上.經(jīng)過“去粗取精.去偽存真，由此及彼.由表及理”的加工制作.上升到理性認(rèn)識。它要求人們在考慮問題時，一入門就能抓住事物的本質(zhì).把握事物的規(guī)律.能發(fā)現(xiàn)常人不易發(fā)現(xiàn)的事物之間的內(nèi)在聯(lián)系。

6.思維的敏捷性。它是思維速度與效率的標(biāo)志.它以思維的合理性為基礎(chǔ).所謂合理性.主要反映在解決問題時，方法簡明.單刀直入，不走彎路。它往往是思維深刻性.靈活性的派生物。

7.思維的獨創(chuàng)性。它以直覺思維和發(fā)散思維為基礎(chǔ)，善于對知識、經(jīng)驗從思維方法的高度上進(jìn)行概括，靈活遷移.重新組合，在更高的層次上作移植與雜交.思人所未思.想人所未想，具有思維新穎，別具一格.出奇制勝，異峰突起，獨樹一幟等特點。

以上，我們列舉了數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的幾個方面.這些方面是相互聯(lián)系.互為補(bǔ)充的，是一個有機(jī)結(jié)合的統(tǒng)一體。數(shù)學(xué)教育中.要根據(jù)不同的素材.靈活選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法.有意識、有計劃、有目的的培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

三、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的教學(xué)方法

數(shù)學(xué)教育必須重視數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)；數(shù)學(xué)教育也有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。蘊含在數(shù)學(xué)材料中的概念、原理、思想方法等.是培養(yǎng)學(xué)生良好思維品質(zhì)的極好素材.作為數(shù)學(xué)教師，只有在培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)方面下功夫，方能有效地提高數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量。

應(yīng)使學(xué)生對數(shù)學(xué)思維本身的內(nèi)容有明確的認(rèn)識，長期以來，在數(shù)學(xué)教學(xué)中過分地強(qiáng)調(diào)邏輯思維，特別是演繹邏輯，都是教師注重給學(xué)生灌輸知識.忽視了思維能力的培養(yǎng).只注重結(jié)論，忽視了知識發(fā)生過程的教學(xué)，造成學(xué)生機(jī)械模仿，加大練習(xí)量，搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，抑制了學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的形成。我們應(yīng)當(dāng)使學(xué)生明白，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不僅僅是為了學(xué)到一些實用的數(shù)學(xué)知識，更重要的是得到數(shù)學(xué)文化的熏陶。其中包括數(shù)學(xué)思維品質(zhì).數(shù)學(xué)觀念.數(shù)學(xué)思想和方法等，因此，數(shù)學(xué)教師必須從培養(yǎng)學(xué)生的優(yōu)秀思維品質(zhì)出發(fā).沖破傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中把數(shù)學(xué)思維單純理解為邏輯思維的舊觀念，直覺、想象、合情推理、猜測等非邏輯思維也作為數(shù)學(xué)思維的重要組成部分.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要通過恰當(dāng)?shù)耐緩剑龑?dǎo)學(xué)生探索數(shù)學(xué)問題，要充分暴露數(shù)學(xué)思維過程，這樣，數(shù)學(xué)教育就不僅僅是賦予給學(xué)生以“再現(xiàn)性思維”.更重要的是給學(xué)生賦予了“發(fā)現(xiàn)性思維”。

激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動力.重視數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用.喚起學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和自覺性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動力因素包括數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動機(jī)、興趣、信念、態(tài)度、意志、期望、抱負(fù)水平等。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動力因素不僅決定著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功與否.而且決定著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的進(jìn)程：不僅影響著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效果，而且制約著數(shù)學(xué)能力的發(fā)展和優(yōu)秀數(shù)學(xué)品質(zhì)的形成。事實證明.在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)出色的學(xué)生，往往與他們對數(shù)學(xué)的濃厚興趣.對數(shù)學(xué)美的追求.自身頑強(qiáng)的毅力分不開因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要利用數(shù)學(xué)史料的教育因素.數(shù)學(xué)中的美學(xué)因素.辯證因素.困難因素.以及數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性等，不斷激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激勵學(xué)生勇于克服困難.大膽探索鼓勵學(xué)生不斷迫求新的目標(biāo)，不斷取得新的成功。