脆性巖石微裂紋壓密段本構模型研究*

喬　彤，章　光，胡少華,3，趙順利

(1. 武漢理工大學 資源與環境工程學院，湖北 武漢 430070；2. 安全預警與應急聯動技術 湖北省協同創新中心，湖北 武漢 430070；3. 武漢大學 水資源與水電工程科學國家重點試 驗室，湖北 武漢 430072；4. 黃河勘測規劃設計有限公司，河南 鄭州 450003)

0　引言

當前經濟社會的迅速發展使得我國巖石力學與工程開始向深部進軍，未來深地下空間利用、深部資源開采將成為常態。例如，我國礦產資源開采已逐步進入1 000～2 000 m深水平、西南地區大型水利水電工程地下硐室埋深普遍在高地應力地區、地下核廢料處置庫預選處置庫大多埋深在500 m以上，伴隨而來的是巖體面臨高地應力、高地溫、高滲透水壓的復雜深地質賦存環境。因此，準確掌握巖石在復雜環境作用下的變形與強度特性是深部巖體工程安全迫切需要解決的基礎性問題之一。

深部巖石力學工程圍巖以脆性巖石為主，最常見的有花崗巖、石英閃長巖等，因此脆性巖石的應力-應變關系引起了廣大學者的濃厚興趣，是近二十年來深部巖石力學研究最活躍的課題。E. Eberhardt等[1]在總結Brace和Bieniawski[2]關于脆性巖石應力-應變關系研究成果基礎上，從裂紋發展的角度提出圖1所示的應力-應變關系曲線，其定性的描述了不同階段裂紋行為狀態與脆性巖石應力-應變之間的關系，主要包括微裂紋壓密段、線彈性階段、微裂紋穩定擴展階段、微裂紋不穩定擴展階段以及峰后階段，從機理角度闡釋巖石的本構關系曲線的特征，但是限于巖石裂紋行為的復雜性，并未建立對應的本構模型。

為了使脆性巖石的本構模型更加貼近實際，一些基于巖石斷裂力學與裂紋行為狀態的本構模型先后提出，Y.L. Lu等[3]基于傳統的連續介質模擬方法和流體力學耦合理論，提出了雙尺度模型，用以解決巖石斷裂耦合過程中水力耦合問題；周小平等[4]則根據巖石不同階段的應變特征，將圍壓狀態分為低壓、中壓、高壓3種狀態，分別建立基于裂紋擴展貫通機制的本構模型；Hui-Hai Liu等[5]受自然應變和工程應變的啟發，將巖石分為裂隙為主的軟部和基質為主的硬部，得到兩者串聯的本構模型；袁小清等[6]認為脆性巖石的原始狀態的損傷由于宏微觀裂紋的存在，其值并不為零，從而將初始損傷的概念加入了本構模型的研究中；朱其志等[7]則進一步發展了熱動力理論，將脆性巖石進行一定的均質化處理，并發展出了一種適用于脆性巖石非線性力學行為模擬的新型本構模型；區別于大多數的研究，劉紅巖等[8]的研究重點主要是脆性巖石的動態損傷過程，更進一步的推廣了斷裂力學的應用范圍。

雖然脆性巖石本構模型的研究引入斷裂力學和裂紋行為狀態的研究，但針對巖石微裂紋壓密段的解析方程更多的停留在經驗公式[9]。陳益峰等[10]提出的THM本構模型中考慮了微裂紋壓密段，但僅僅是單裂隙結構的簡單推廣；榮冠等[11]基于柔度變形法推導出同時適合耦合和非耦合節理法向變形的g-λ模型；彭俊等[12]根據經驗提出微裂紋壓密段的本構模型，但是參數的物理意義指向不明，限制了進一步推廣。為此，本文引入自然應變的概念，從單裂隙在法向荷載作用下的應力-應變關系出發，推導并建立了物理意義明確的微裂紋壓密段的本構模型，然后將其和線彈性階段的本構模型進行了統一。在此基礎上，通過花崗巖的熱-力耦合試驗對本文提出的脆性巖石微裂紋壓密段本構模型的合理與適用性進行了驗證。

圖1　巖石應力-應變關系曲線Fig.1　Stress strain relationship of rock

1　脆性巖石微裂紋壓密段本構模型研究

1.1　單裂隙法向應變

脆性巖石在應力加載初期，隨著應力增加，應力-應變曲線呈下凹型，表現出明顯的微裂紋壓密行為，為闡明微裂紋壓密階段脆性巖石的力學特征，本文首先研究單裂隙在法向荷載作用下的變形過程。

圖2　巖石單裂隙Fig.2　Rock structure with single fracture

對于圖2所示巖石單裂隙，在上下表面受均布法向應力σ作用，并假定巖石為均質材料，根據Hook定律可得:

dσ=Kdεv,t

(1)

式中：K為法向剛度；εv,t為法向自然應變或真實應變，其定義式如下：

(2)

式中：L為巖石結構在當前應力狀態下的長度，在式(1)、(2)中，文中以壓縮為正。

目前多數研究成果中，在應用Hook定律時多采用如下的形式[13]：

(3)

式中：L0為沒有應力作用時巖石結構的初始法向長度；εv,e為法向工程應變，也是目前最多采用的表達方式。當針對法向工程應變εv,e與法向應力σ采用公式(3)所示的Hook定律時，其初始條件滿足σ=0，L=L0。據此可得：

(4)

同理，當自然應變εv,t采用公式(2)中的Hook定律時，可得法向長度L與法向應力σ的函數關系如式(5):

(5)

基于公式(4)和(5)，定義σ/K為應力剛度比，分別繪制應力剛度比σ/K與法向長度L關系圖(見圖3)。通過圖中不難發現，當應力剛度比較小時(σ/K<0.1)，公式(4)和公式(5)基本上是等價的。對于脆性完整的巖石而言，其剛度量級一般可以達到10～50 GPa，對應的單軸抗壓強度一般為100～300 MPa，應力剛度比均滿足σ/K<0.1的條件，因此選用形式更簡單的公式(4)可以較好的表達其變形特征。隨著σ/K的增大，公式(4)與公式(5)出現了明顯的偏離。Freed[14]在回顧前人自然應變研究基礎上，提出自然應變較工程應變能更精確的描述材料的變形特性，因此對于法向剛度較小的材料(流體、斷層帶、大尺度裂隙、軟土等)不適宜采用公式(4)。

在法向應力作用下，巖塊的變形特征可用公式(4)描述，但是裂隙結構的變形特征需要通過公式(5)進行精確描述。可得如下公式:

L0=Lc0+Lr0

(6)

dL=dLc+dLr

(7)

式中：L0為巖石結構的整體初始法向長度；Lr0為巖塊初始法向長度；Lc0為裂隙初始法向長度；L為某一應力狀態下的巖石結構的整體初始法向長度；Lr為某一應力狀態下的巖塊初始法向長度；Lc為某一應力狀態下的裂隙初始法向長度。

將公式(4)、(5)代入(6)、(7)中，可得整體法向長度L的表達式：

(8)

圖3　應力剛度比與法向長度Fig.3　Stress stiffness ratio versus normal length

通過式(8)可進一步求出巖石整體的法向變形量ΔL和采用常用的工程應變定義的εe：

(9)

(10)

式中：Kr和Kc分別為巖塊和裂隙的法向剛度；nr和nc為工程應變中巖塊工程應變和裂隙工程應變所占的比例因子，其定義式如式(11)所示：

(11)

通過式(9)、(10)可以發現，傳統意義上的變形量與應變實際上由2部分組成：剛度較大的巖塊部分，其應力-應變關系可以用線性關系較好的表達；剛度較小的裂隙部分，其應力-應變關系可以用負指數模型表達。

1.2　標準試樣壓密段應力-應變

室內進行巖石力學試驗，多采用圓柱形試樣，包含有多種裂隙等低剛度結構和巖石顆粒、孔隙等高剛度結構，如圖4中的巖石試樣模型所示。對于常規三軸試驗中的巖石，其應力狀態可用圖5來表示，真實狀態下的應力狀態可分解為靜水壓力狀態和偏應力狀態。在具體的室內三軸壓縮試驗過程中，靜水壓力狀態被認為是應變的起始測量點，其巖石試樣產生的應變主要為偏應力狀態下產生的應變。

圖4　巖石試樣結構Fig.4　Rock sample structure diagram

圖5　應力狀態分解Fig.5　Stress state decomposition

任取巖石中任意角度的單裂隙為分析對象，如圖6所示。裂紋上下表面面積相等，為Si；裂紋長度為2ci；裂紋面方向與最大主應力方向夾角為βi。將裂紋投影到與最大主應力垂直的方向上和與最大主應力平行方向上，因此裂紋可用圖7簡化的表示。因裂紋為低剛度結構，因此應用公式(5)可得與最大主應力垂直的方向上投影后裂紋法向方向變形量如下：

(12)

式中：L0i為投影裂隙的初始長度。通過式(12)可進一步得出，圖6中裂隙在最大主應力方向上對試樣整體應變的貢獻。同時將裂隙的變形在巖樣的尺度上進行均布化處理，可得公式(13)：

圖6　巖石結構中單裂隙分析對象Fig.6　Analysis object of single fracture in rock structure

圖7　巖石結構原生裂紋簡化模型Fig.7　Simplified model of rock structure primary crack

(13)

式中：L0為試樣的初始長度；S0為試樣的初始截面積；V0為試樣的初始體積；Vi為裂紋投影后的體積；εi為均布化后的裂隙對試樣整體應變貢獻量。

通過式(13)可以發現，對于具有相同剛度Kj的裂紋系，其對試樣的整體的應變可用式(14)表示：

(14)

式中：εj為裂紋系對試樣整體應變的貢獻量；N為具有相同剛度Kj的裂紋系中裂紋數目；Vj為裂紋系的中裂紋投影體積之和。進一步定義比例因子nj=Vj/V0，可以發現nj是一個與裂紋體積密切相關的量。此時式(14)可用式(15)表示：

(15)

最大主應力平行方向上的投影裂隙難以被壓縮，其性質類似于巖石中孔洞。因此可認為是高剛度結構。

巖石試樣中同樣存在有其他剛度的裂紋系以及非裂紋低剛度結構。其在最大主應力方向上的應變均可以用式(15)表示。對于高剛度的巖石成分，如巖石顆粒，其應變可用公式(5)求得，巖石試樣中高剛度成分在最大主應力方向上的應變表達式如式(16)：

(16)

設巖石中共有a種高剛度成分，b種低剛度成分。則巖石的應變ε可用式(17)表示：

(17)

(18)

考慮式(17)中的高剛度項和低剛度項。高剛度項的應變與偏應力呈線性關系，主要與巖石的線彈性階段有關；低剛度項的應變主要表現為隨著偏應力增加，其迅速減小。同樣根據式(18)可以得出巖石試樣的彈性模量E如下：

(19)

通過式(19)可以發現，低剛度部分對彈性模量的影響已經很小，并且對于一般脆性巖石而言，低剛度成分遠小于高剛度成分的含量，對于巖石的應力-應變曲線而言，其線彈性階段的應力-應變曲線的彈性模量可近似用下式表示：

(20)

通過式(20)不難看出，巖石高剛度的成分的初始體積含量和剛度的數值直接決定了彈性模量的大小。

1.3　壓密段本構模型的簡化

公式(17)用以計算巖石壓密段應變時，具有較大的困難，不同巖石的低剛度成分和高剛度成分具有難以確定的難題。因此需要對公式(17)進行適當的簡化，簡化重點是負指數項，巖石中低剛度成分較為復雜，完全表達出來則會導致公式(17)適用性大大降低。對于脆性巖石，如果其低剛度成分中某一種成分占據主導地位，如熱損傷造成的裂紋，則公式(17)可簡化為一種低剛度材料。簡化后的公式如下：

(21)

式中：Kc為巖石微裂紋法向剛度；n為微裂紋在與最大主應力方向垂直方向上的投影體積比，對于各向同性的巖石材料，n為微裂紋體積比的一半。

為進一步研究裂紋剛度對脆性巖石應力-應變曲線的影響，取彈性模量E=20 Pa，投影體積比n=1%，通過式(21)繪制不同裂紋法向剛度下的應力-應變曲線(如圖8所示)。

圖8　裂紋法向剛度對應力-應變曲線的影響Fig.8　The influence of normal stiffness of crack on stress-strain curve

通過圖8可以發現，隨著裂紋法向剛度的增加，應力-應變曲線的壓密段逐漸縮小，當裂紋法向剛度達到200 MPa時，已難以辨別微裂紋壓密段，目前部分研究人員采用微裂紋閉合應力表示微裂紋完全壓縮，但是微裂紋閉合應力往往難以確定，尤其是當微裂紋法向剛度較大時常存在較大誤差[1,15-16]。從圖8中還可以發現，當微裂紋剛度較小時，彈性模量呈現出隨著法向剛度增加減小的趨勢，當微裂紋的法向剛度進一步增加時，彈性模量呈現出增加的趨勢，事實上巖石真正的高剛度成分的彈性模量是基本保持不變的，微裂紋法向剛度繼續增加時，其在一定程度上可以歸為高剛度成分，此時脆性巖石將不存在微裂紋壓密段。

對于一般的脆性巖石，微裂紋法向剛度通常情況下為相對小值，隨著微裂紋剛度增加，彈性模量會出現一定程度的減小。

式(21)可同時表達壓密段和線彈性段，因此用式(21)去表達巖石應力-應變曲線，能夠更為準確體現出脆性巖石高剛度材料特性，微裂紋性質也能得到較好的表達，更為重要是避免了微裂紋閉合應力的確定難題。對于具體的巖石試驗，式(21)表達的是軸向變形，對于環向應變而言，因不存在微裂紋的壓密過程，其應力-應變特征可以通過線性去表達。用ε1c和ε2c分別表達微裂紋壓密段及線彈性段的軸向應變和環向應變，則其應力-應變可用式(22)表示：

(22)

式中：υ為巖石高剛度材料泊松比。

2　花崗巖熱-力耦合室內試驗研究

2.1　試樣制備及試驗過程

為了驗證式(22)所示本構模型的適用性，設計花崗巖熱-力耦合室內試驗。試驗選用φ50 mm×100 mm的圓柱形標準試件。試驗處理溫度為室溫，200，400，600，800，900，1 000 ℃ 7種，圍壓為0，5，10，15 MPa。試驗過程如下：首先將花崗巖試樣放入到馬弗爐中開始熱處理，設定升溫速率為5℃/min，當溫度升高到設定溫度時，設定熱處理溫度恒溫4 h，保證花崗巖試樣充分受熱；停止加熱后令試樣自然冷卻至室溫，然后將其封裝至三軸壓縮試驗儀上，給試樣施加圍壓至所需值；然后給試樣施加軸壓，當試樣發生明顯應力降時，停止加載，記錄并整理相關試驗數據。

2.2　試驗結果

通過熱-力耦合試驗，獲得不同圍壓、不同熱處理溫度下的應力-應變曲線如圖9所示。由圖可知，隨著溫度的升高，巖石試樣微裂紋壓密段逐漸顯現，圍壓會在一定程度上抑制微裂紋壓密段的發展；花崗巖在低溫低圍壓條件下，表現出明顯的脆性破壞特征，其破壞規律呈現出明顯的高溫劣化特性，破壞和峰值強度迅速下降。隨著熱處理溫度和圍壓的升高，花崗巖試樣逐漸向延塑性轉化。

圖9　不同圍壓條件下的應力-應變曲線Fig.9　Stress versus strain curves under different confining pressures

3　脆性巖石微裂紋壓密段本構模型驗證

3.1　模擬參數確定

模型參數取值如表1所示，其中E取試樣三軸壓縮應力-應變曲線彈性階段的彈性模量，其余參數裂紋體積比n、裂紋剛度Kc通過最佳曲線擬合得到。由表中結果可知，在室溫條件下，彈性模量E在37.74～51.61 GPa，裂紋體積比n在0.71～1.50%，裂紋剛度Kc在19.56～38.87 GPa之間，說明在高溫預處理之前，花崗巖試樣以高剛度成分為主；隨著熱處理溫度升高，花崗巖試樣的裂紋增多、剛度劣化，開始向低剛度成分轉化，在1 000 ℃時，彈性模量E減小到3.82～21.69 GPa，裂紋體積比n增加到6.45～7.78%，裂紋剛度Kc減小到4.10～28.79 GPa之間。

表1　熱-力耦合作用下本構模型驗證參數

續表1

3.2　模型驗證結果

將第2節試驗中壓密段和線彈性段的軸壓和圍壓數據代入確定參數后的模型，計算得到相應的應變數據模擬值。圖10給出了熱處理溫度從室溫至1 000 ℃、圍壓為0，5，10，15 MPa下花崗巖三軸壓縮試驗與數值結果對比。由圖可見，本文提出的脆性巖石微裂紋壓密段本構模型能夠非常好的描述不同熱處理溫度、不同圍壓下花崗巖的壓縮壓密段、線彈性段試驗結果，反映了初始階段花崗巖巖石試樣中低剛度成分的裂隙被壓縮這一顯著變形特征，同時對于脆性巖石的高溫劣化性和圍壓對壓密段的抑制作用也有很好的體現。相較于Hui-Hai Liu等[5]、袁小清等[6]、彭俊等[12]提出的脆性巖石本構模型，本文模型中各參數均是在經典的裂紋模型基礎上直接推導而來，物理意義明確，對巖石試樣三軸壓縮應力-應變過程壓密段的模擬更為準確，且只有彈性模量E、裂紋體積比n和裂紋剛度Kc3個參數，容易從試驗曲線獲取。本文提出的脆性巖石微裂紋壓密段本構模型，對深入掌握脆性巖石的強度規律具有一定的指導意義。

圖10　熱-力耦合試驗模擬成果驗證Fig.10　Validation of thermal mechanical coupling test simulation results

4　結論

1)引入自然應變的概念，建立物理意義明確的脆性巖石微裂紋壓密段本構模型，并將其簡化后與線彈性階段的本構模型進行統一。模型共有3個參數，均可通過三軸壓縮試驗獲取。

2)將脆性巖石微裂紋壓密段本構模型模擬結果與花崗巖熱-力耦合試驗結果對比發現，模型能夠描述不同熱處理溫度、不同圍壓下花崗巖的壓密段、線彈性段試驗結果，驗證了模型的合理性。

3)花崗巖熱-力耦合試驗表明脆性巖石具有明顯的高溫劣化性，圍壓對壓密段具有抑制作用，本文所提出的模型能體現這些特性。

4)今后可在脆性巖石微裂紋壓密段本構模型的基礎上，進一步探討微裂紋穩定擴展階段和不穩定擴展階段，建立應力-應變全過程本構模型。

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