求一個曲線方程的多種解法

江蘇省啟東市匯龍中學(226200)

張仁華●

求一個曲線方程的多種解法

江蘇省啟東市匯龍中學(226200)

張仁華●

本文以一個典型問題為例，從角、斜率、極坐標等五個不同的角度，分析求解曲線方程，運用聯系、變化、發展的數學思想方法，分析總結求解曲線的極坐標方程和參數方程的方法.

曲線方程;普通方程;極坐標方程;參數方程

一般地，求解曲線方程的步驟是：

①建立適當的坐標系，設曲線上任一點M的坐標；

②寫出適合條件的點M的集合；

③用坐標表示集合，列出方程；

④化簡方程為最簡形式；

⑤證明所得的方程是曲線的方程.

其中步驟②是個難點，它需要運用數學知識，利用聯系、變化、發展的觀點，觀察并解決這個問題.

題目 過定點A(-2，0)，作任意直線交y軸于B點，在直線上取一點P，使|BP|=|OB|，求點P的軌跡方程.

方法一 以角為參數，求出點P的參數方程，再將其化為普通方程.

解 如圖，設軌跡上任意一點P(x，y)，取∠DAP=θ，θ為參數，過P作PD⊥x軸于點D，過B作BC⊥PD于點C.

在Rt△AOB中，|OB|=|AO|tanθ，則

x=|OD|=|BC|=|BP|cosθ=|OB|cosθ=2tanθcosθ=asinθ.

y=|DP|=|OB|+|CP|=|OB|+|BP|sinθ= 2tanθ(1+sinθ).

因為x+2≠0，所以(x-2)y2+x2(2+x)=0，即x3+xy2+2x2-2y2=0.

所以點P軌跡的普通方程為x3+xy2+2x2-2y2=0.

方法二 以直線AB的斜率k為參數，列出方程，然后消去k，將其化為普通方程.

解 設P(x，y)，直線AB的斜率k，則l：y=k(x+2)，令x=0，得y=2k，則B(0,2k).

所以BP2=x2+(y-2k)2=OB2=(2k)2，所以x2+y2-4ky=0.

所以點P軌跡的普通方程為x3+xy2+2x2-2y2=0.

方法三 利用直線AB的參數方程，列出點P的參數方程，再將其化為普通方程.

想要靈活運用參數方程解題，首先必須理解參數的幾何意義，尤其直線的點角式參數方程中參數的幾何意義要深刻理解，否則就不能很好地運用.

所以ycosα=2(1+sinα)sinα，即y2cos2α=4(1+sinα)2sin2α，

所以點P軌跡的普通方程為x3+xy2+2x2-2y2=0.

方法四 利用曲線的極坐標方程，先求出點P的極坐標方程，再將其化為普通方程.

所以2cos2θ=ρcosθ.

因為ρ=0，滿足上式，所以2(x2-y2)=(x2+y2)x，

所以點P軌跡的普通方程為x3+xy2+2x2-2y2=0.

方法五 利用曲線的極坐標方程和三角形面積公式，列出點P的極坐標方程，再將其化為普通方程.

所以4y2=2(x2+y2)+(x2+y2)x，即x3+xy2+2x2-2y2=0.

所以點P軌跡的普通方程為x3+xy2+2x2-2y2=0.

評析 求極坐標方程，有時常用三角形面積列方程，化簡求解.

總之，數學中的參數有一種活力，它能分散難點，化難為易，靈活運用參數是解題能力的一種提高，并能從中培養分析問題的能力.

通過上面這個題目的展示，我們可以體會到，對待問題要運用聯系、變化、發展的觀點分析問題，突破難點，使得思路變得簡單統一.我們平時在指導數學學習和數學教學時，若能多分析、解剖數學內容和教學過程，清晰、辯證地講解數學演繹的邏輯過程，就可以使學生在數學學習中避免失誤，少走彎路.只有透徹明了地看待數學問題的思路，才能掌握好數學的思想和精神.

[1]單墫.普通高中課程實驗教科書·數學2(必修)[M]. 第4版.南京:江蘇教育出版社,2012.

[2]單墫.普通高中課程實驗教科書·數學2-1(選修)[M]. 第3版.南京:江蘇教育出版社,2012.

[3]單墫.普通高中課程實驗教科書·數學4-4(選修)[M]. 第3版.南京:江蘇教育出版社,2012.

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