淺談第33屆全國中學生物理競賽復賽一道光學題

陸天明 孫韓超

(1. 南京師范大學附屬中學江寧分校，江蘇 南京 211102； 2. 南京大學物理學院，江蘇 南京 210093)

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淺談第33屆全國中學生物理競賽復賽一道光學題

陸天明1孫韓超2

(1. 南京師范大學附屬中學江寧分校，江蘇 南京 211102； 2. 南京大學物理學院，江蘇 南京 210093)

第33屆全國中學生物理競賽復賽理論考試中光學題的常規解法較為繁瑣, 如果能利用牛頓環的相關結論,則會顯得簡潔很多.

物理競賽;光學；牛頓環

近年來, 全國中學生物理競賽對波動光學的考查要求明顯提高, 試題有較大的難度. 第33屆全國中學生物理競賽復賽理論考試的第1題就是一道波動光學問題, 學生反映問題比較復雜, 運算太繁, 很難得到結果.

原題.如圖1, 上、下兩個平凸透光柱面的半徑分別為R1、R2,且兩柱面外切;其剖面(平面)分別平行于各自的軸線,且相互平行;各自過切點的母線相互垂直. 取兩柱面切點O為直角坐標系O-XYZ的原點,下側柱面過切點O的母線為X軸,上側柱面過切點O的母線為Y軸.一束在真空中波長為λ的可見光沿Z軸負方向傍軸入射,分別從上、下柱面反射回來的光線會發生干涉;借助于光學讀數顯微鏡,逆著Z軸方向,可觀測到原點附近上方柱面上的干涉條紋在X-Y平面的投影.R1和R2遠大于傍軸光線干涉區域所對應的兩柱面間最大間隙.空氣折射率為n0=1.00.試推導第k級亮紋在X-Y平面的投影的曲線方程.

已知: a. 在兩種均勻、各向同性的介質的分界面兩側,折射率較大(小)的介質為光密(疏)介質;光線在光密(疏)介質的表面反射時,反射波存在(不存在)半波損失.任何情形下,折射波不存在半波損失.伴隨半波損失將產生大小為π的相位突變.b. sinx≈x,當|x|?1.

圖1

從命題者所提供的參考答案來看,計算量確實很大,顯得很繁瑣.其實有比較簡潔的解法,就是直接利用牛頓環的結論.

牛頓環又稱“牛頓圈”，將一塊曲率半徑較大的平凸透鏡放在一塊玻璃平板上, 用單色光照射透鏡與玻璃板, 就可以觀察到一些明暗相間的同心圓環, 這種等厚干涉條紋就是牛頓環.

圖2

實際上,牛頓環是空氣膜的等厚干涉, 只要能計算出各處的空氣膜厚度即可. 通常采用解析法來計算空氣膜的厚度, 這里介紹更為方便直觀的幾何法. 如圖2所示,作出透鏡截面的完整圓, 表面上任一點P,∠O′PM=90°,由射影定理，有

所以P點對應的空氣膜厚度為

上式中,R為透鏡的曲率半徑,設r為牛頓環半徑,則有

如果能利用上述結論來處理上述光學問題, 則會簡明很多. 圖1所示的模型可以看成是牛頓環的變形, 關鍵是要計算空氣膜厚度.

在圖1的O-XY平面上靠近X軸和Y軸處任取一點(x,y),由前面對牛頓環的分析不難看到, 此點距上、下兩側柱面的距離為

所以,兩柱面間的空氣膜厚度為

進一步可得第k級亮紋的方程為

它們是橢圓亮環紋,兩半軸長度分別為

圖3

其實,這種以牛頓環為基本模型的問題,還可以進行多種拓展,例如，① 前述問題中下側圓柱是下凹的,即R2<0,② 前述問題中把上面的圓柱體換為平凸透鏡,并拉開一定距離,如圖3所示,均可討論第k級亮環的曲線方程, 討論方法完全相同. 其中第②種情形曾作為第29屆全國大學生物理競賽的賽題.

1 陸天明.榮譽物理(熱學、光學、近代物理部分)[M].南京:東南大學出版社,2013:170-171.

2 全國中學生物理競賽委員會. 第33屆全國中學生物理競賽復賽理論考試試卷, 2016.

3 北京物理學會. 第29屆全國部分地區大學生物理競賽試卷, 2012.

2016-09-19)