一道力學題的兩種數理巧解

李 力 肖光緒

(1. 重慶市清華中學,重慶 400054; 2. 重慶市木洞中學,重慶 401338)

·復習與考試·

一道力學題的兩種數理巧解

李 力1肖光緒2

(1. 重慶市清華中學,重慶 400054; 2. 重慶市木洞中學,重慶 401338)

圖1

題目.如圖1,在水平桌面上放置正方形木板abcd,木板上放一個質量為m的物塊.現以dc邊為軸將木板緩慢向上轉動角度θ1,再以bc邊為軸將木板緩慢向上轉動角度θ2,設轉動過程中木塊始終未在木板上滑動,求兩次轉動后,木塊受到的靜摩擦力大小.

圖2

方法1:以圖1中c點為原點O,cd、cb方向以及豎直向上分別為x軸、y軸與z軸正向,建立如圖2所示的空間直角坐標架O-xyz.第1次繞x軸(即cd邊)轉動θ1,生成坐標架O-x1y1z1,第2次繞y1軸(即cb邊)轉動θ2,生成坐標架O-x2y2z2.由于平面總垂直于它的法向量,從而Ox2y2面(即兩次轉動后的木板)和Oxy面(即水平桌面)之間的夾角α等于z2軸與z軸的夾角.

眾所周知,任一單位向量可以表示為e=icosα+jcosβ+kcosγ,其中α,β,γ是e分別與x軸、y軸與z軸的夾角,cosα,cosβ,cosγ稱之為方向余弦.[4]據此,不難寫出如下變換式:

i1=i,

jcosθ1+ksinθ1.

-jsinθ1+kcosθ1.

-isinθ2+(-jsinθ1+kcosθ1)cosθ2.

注意到i·k=j·k=0,k·k=1,所以有

cosα=k2·k=[-isinθ2+(-jsinθ1+

kcosθ1)cosθ2]·k=cosθ1·cosθ2.

方法2:第1次繞cd旋轉后,重力對平板的正壓力(相當于平板的法向量)為mgcosθ1(另一分力mgsinθ1在平板上);第2次繞bc旋轉后,mgsinθ1仍然平行于平板,而mgcosθ1垂直于此時平板的分力則為(mgcosθ1)cosθ2,此即重力對平板最終的正壓力.設最終平板平面與水平面的夾角為α,則平板最終所受正壓力也可表示為mgcosα,兩相比較即得cosα=cosθ1cosθ2.

1 熊志權.物理原來不能這樣考[M].成都:西南交通大學出版社,2012:116-119.

2 黃照欣.這道“小題”確實不可小看[J].物理教學探討,2005(1):35.

3 郝雙.數理同解一道力學題[J].數理天地(高中版),2004(6):42.

4 吳光磊,田疇.解析幾何簡明教程(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2010:6.

2016-10-08)