非等質量的多星系統及黑洞問題探討

郭今戈

(山西省太原市第五中學,山西 太原 030001)

·問題討論·

非等質量的多星系統及黑洞問題探討

郭今戈

(山西省太原市第五中學,山西 太原 030001)

穩定狀態下的雙星及多星系統的天體運動角速度相同,呈直線型或多邊形分布,這是多星系統保持穩定的必要條件,分析多星問題的關鍵在于受力分析,清晰分辨萬有引力半徑與圓周運動的向心力半徑.本文重點分析穩定狀態下非等質量的多星及黑洞的運動問題．

穩定狀態；非等質量；多星問題

1 非等質量的雙星系統

在銀河系中,雙星的數量非常多,研究雙星,對于了解恒星甚至銀河系的形成和演化過程的多樣性有重要的意義．雙星、多星天體之間的相互作用遵循萬有引力定律,運動分析中需使用牛頓第二定律建立方程組求解．

雙星系統中一個星體的萬有引力由另一個星體提供,雙星繞共同的質心運動.它們的向心加速度之比為它們質量的反比．需要關注的是:行星圍繞恒星做勻速圓周運動,或者衛星繞行星做圓周運動時,萬有引力作用的距離,剛好是行星(或衛星)圓周運動的軌道半徑．但是在雙星系統中的引力作用的距離與雙星運動的軌道半徑是不同的,雙星系統中兩星做圓周運動時的角速度和周期是一定相同的．它們的線速度之比與其各自運行的軌道半徑之比相同．

圖1 穩定狀態下非等質量雙星系統

例1.質量為m1、m2的兩個星球組成雙星,如圖1所示,它們在相互之間的萬有引力作用下繞兩星球連線上某點O做勻速圓周運動,試分析它們各自運動的周期、半徑、線速度、向心加速度．

雙星系統靠相互間的萬有引力提供向心力,角速度與周期相等,T1=T2.根據萬有引力公式有

則有

m1r1=m2r2,即r1∶r2=m2∶m1.

由v=rω,則

v1∶v2=r1∶r2=m2∶m1.

由a=rω2,則

a1∶a2=r1∶r2=m2∶m1.

解決本題的關鍵知道雙星靠相互間的萬有引力提供向心力,周期相等,角速度相等得出半徑之比、線速度之比、向心加速度之比．

例2.雙星系統由兩顆星體組成,兩星體在相互間萬有引力的作用下,分別圍繞其連線上的某一點做周期相同的勻速圓周運動．研究發現,雙星系統演化過程中,兩星體的總質量、距離和周期均可能發生變化．若某雙星系統中兩星體做圓周運動的周期為T,經過一段時間演化后,兩星體總質量變為原理的k倍,兩星體之間的距離變為原來的n倍,則此時圓周運動的周期如何變化?

設該雙星系統的星體質量分別為m1、m2,軌道半徑為R1、R2,兩星體的總質量為M．由于他們之間距離恒定,因為雙星在空間的繞向一定相同,同時角速度和周期也都相同．由萬有引力提供向心力可知，對m1星體有

對m2星體有

由R1+R2=l,m1+m2=M,聯立解得

小結:穩定狀態下非等質量的雙星系統,其運動的質心是兩星體連線上的一點,可將雙星分割成兩個獨立的星體繞質心旋轉的問題．

2 非等質量三星系統

宇宙中存在一些離其他恒星較遠的,由質量相等的3顆星組成的三星系統,忽略其他星體對他們的引力作用．已觀測到穩定的三星系統存在兩種基本構成形式,如圖2所示．第一種是3顆星體在同一直線上,兩顆星體圍繞中央的星體在同一半徑為R的圓軌道上運行,周期相同,中央星體靜止不動;第二種是三顆星體位于三角形的三個頂點上,并沿等邊三角形的外接圓軌道運行,三顆星體運行周期相同．

圖2 規則三星系統

例3.由3顆星體構成的系統,忽略其他星體對它們的作用,存在著一種運動形式:3顆星體在相互之間的萬有引力作用下,分別位于等邊三角形的3個頂點上,繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內做相同角速度的圓周運動,如圖3(a)所示．若A星體質量為2m,B、C兩星體質量均為m,三角形的邊長為a,試分析A星體所受合力FA,B星體所受合力FB,C星體的軌道半徑RC,3星體做圓周運動的周期T．

圖3 非等質量三星系統

由萬有引力定律,A星體所受B、C星體引力大小為

如圖3(b)所示,則合力大小為

同理,B星體所受A、C星體引力大小為

由圖可知,圓心O在中垂線AD的中點,由對稱性，有

3星體運動周期相同,對C星體:

3 通過雙星運動發現黑洞

黑洞是近代引力理論所預言的一種特殊天體,探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統的運動規律．天文學家觀測河外星系大麥哲倫云時,發現了LMC-3雙星系統,它由可見星A和不可見的暗星B構成,兩星視為質點,不考慮其他天體的影響,A、B圍繞兩者連線上的O點做勻速圓周運動,他們之間的距離保持不變,圖示如雙星系統,由觀測可得可見星A的速率v和運行周期T．

(1) 可見星A所受暗星B的引力FA可等效為位于O點處質量為m的星體對它的引力,設A和B的質量分別為m1、m2,試求m,用m1、m2表示．

設A、B的圓軌道半徑分別為r1、r2,由題意知A、B角速度相同,設為ω,則有

FA=m1ω2r1,FB=m2ω2r2,FA=FB.

A、B之間距離為r,又r=r1+r2,由上述各式得,

由萬有引力FA=Gm1m2/r2,可得

(2) 試求暗星B的質量m2與可見星A的速率v、運行周期T和質量m1之間的關系．

由牛頓第二定律,有

(1)

(3) 恒星演化到末期,如果其質量大于太陽質量ms的2倍,它將有可能成為黑洞,若可見星A的速率v=2.7×105m/s,運行周期T=4.7π×105s,質量m1=6ms,試估算暗星B有無可能是黑洞(G=6.67×10-11N·m2/kg2,ms=2.0×1030kg).

將m1=6ms,代入式(1)，得

設m2=nms(n>0)

(2)

若使式(2)成立,則n必大于2,即暗星B的質量m2必大于2ms,由此得出,暗星B有可能是黑洞．

4 總結

多星系統各星體運動周期相同,其位置具有對稱性,這是多星系統保持穩定的必要條件,受力分析需注意星體之間引力與提供向心力做圓周運動的合力的區別,需特別關注萬有引力與向心力公式中r的區別,前者是星體距離,后者是星體運動半徑．黑洞問題借助雙星系統的概念,對不可見的暗星進行估算,從而判斷其是否為黑洞．

1 梁會琴，韓運俠.天體運動四種模型[J].物理教師，2016(1)：82-84.

2 孫鐵斌.天體運動中的“三星”問題[J].物理教師，2009(12)：56-57.

2016-09-18)