基于位置信息的1-bit壓縮感知重構算法

何 晶，李 智

(四川大學 電子信息學院，四川 成都 610065)

基于位置信息的1-bit壓縮感知重構算法

何 晶，李 智

(四川大學 電子信息學院，四川 成都 610065)

針對現行1-bit壓縮感知硬判決算法在高誤碼環境下對弱信號重構性能較差的問題，提出一種基于位置信息的重構算法。首先將測量數據分成位置數據和數值數據，然后在重構端對位置信息進行重構，再根據重構結果對數值信息進行重構。該算法較之經典的1-bit壓縮感知硬判決重構算法，在維持相同測量數目的前提下，大大提高了位置信息重構性能。由于在數值信息重構過程中應用了精確的位置信息，使數值重構性能優于同類算法約0-3dB。

位置信息；1-bit壓縮感知；重構算法；測量誤碼

0 引言

隨著信息技術的發展，大規模、高速率的信息需求急劇增加，現有系統難以應對高速采樣帶來的大容量數據傳輸難題。如何有效壓縮和恢復信號是信號處理領域亟待解決的問題。壓縮感知(Compressive Sensing)理論[1]提供了一種解決問題的有效方法。通過這種方法，信號的采樣和壓縮可以同時進行，打破了傳統奈奎斯特抽樣定理的限制。在某些變換域中稀疏或可壓縮信號可以通過與之獨立的測量矩陣投影到低維空間。少量的投影就可以很高的概率重構高維原始稀疏信號。

1-bit壓縮感知[2](1-bit compressive sensing)作為壓縮感知的一個分支，在對稀疏模擬信號采樣和壓縮時，其測量值為正、負兩個狀態，與大量現有數字信號傳輸系統能很好地兼容。在實際信號傳輸系統中，低信噪比狀態下的誤碼不可避免，本文主要對誤碼情況下的1-bit壓縮感知信號重構性能進行研究，并對現有算法進行了改進。

1 1-bit壓縮感知

1-bit壓縮感知模型如圖1所示，其中sign()函數指對結果取符號。信號X∈RN是實值的N×1維向量。如果向量X中僅有很少的元素值不為零，則認為該信號是稀疏的。如果信號X為稀疏信號，且其中僅有k個元素為非零值，則定義信號X為稀疏度為k的稀疏信號。X可構造特定的M×N維隨機觀測矩陣A，對原始信號X進行M次測量，獲得M×1維觀測值Y。保留Y值符號信息后，通過信道傳輸至遠端，根據接收到的Y值，遠端通過特定算法對X進行估值。壓縮測量公式如下：

(1)

圖1 1-bit壓縮感知框架

(2)

2 1-bit壓縮感知重構算法及改進

相對于傳統壓縮感知，1-bit壓縮感知在信號測量過程中僅保留測量值符號信息。其重構算法研究方向大致分為：以IHT(Iterative Hard Thresholding)及其衍生算法[3-5]為代表的硬判決算法和以貝葉斯方法[6]等為代表的軟判決算法。雖然軟判決算法具有更好的重構性能，但硬判決算法由于其計算復雜度低，在特定使用場景中較之軟判決算法更具優勢。

2.1 硬判決算法

IHT算法模型以已知稀疏度k為前提，其可以表示為如式(3)所示的問題。

(3)

(4)

BIHT((BinaryIterativeHardThresholding)算法[4]是IHT算法的改進，主要是在每次迭代過程中將目標函數微調，其迭代如式(5)所示。其將誤差量的計算由絕對量改為了相對量，提高了算法的收斂速度。

(5)

AOP[5](Adaptive Outlier Pursuit)算法是BIHT算法的改進，它的核心思想是在已知Y值的情況下，在重構中主動篩除存在較大噪聲的測量值，提高在噪聲環境下的重構性能，其迭代如式(6)所示。Loc表示對重構算法弱誤碼參數的選擇向量，DXt為重構誤差項，其值計算如式(7)所示。

(6)

(7)

AOP算法雖然重構性能優異，但其重構需要已知誤碼數，在工程應用中難以實現。AOP算法原作者提出一種不需要預先知道誤碼個數的Blind AOP算法，通過迭代參數估計測量值誤碼個數。

2.2 位置信息改進算法

針對上述問題，本文提出一系列基于位置信息的算法，分別對上述BIHT、AOP和Blind AOP算法進行改進，其核心思想就是通過使用維數減半的兩個相互獨立的測量矩陣，將測量值進行分類，前一半進行位置信息傳輸，后一半進行數值信息傳輸，實現在不影響整體重構性能的前提下，提高位置信息的恢復準確度。而后通過得到的位置信息，進一步提高數據信息還原的準確度。

下面以改進BIHT得到的PFIHT(Position Fixed Iterative Hard Thresholding)算法為例，對其具體步驟進行闡述。

(2)PFIHT算法。輸入：N×1維稀疏信號X，N×1維位置信息P，M1×N維測量矩陣A1，M2×N維測量矩陣A2，最大迭代次數maxT，調節系數μ；

基于位置信息算法的關鍵是在進行數值迭代前進行一次位置信息計算，并在后續數值重構中應用相應的位置信息。

通過類似方法，可對AOP及BlindAOP算法進行改進，其與PFIHT算法的主要差別是在數值迭代部分的迭代式不同。

3 算法仿真實驗

前面對BIHT算法、AOP算法、BlindAOP及其各改進算法進行了介紹，本節通過仿真實驗分析這些重構算法性能，從而證明本文提出算法的有效性。

3.1 主要考察指標

(8)

(9)

(10)

(11)

(3)角度誤差(Angular Error)如式(12)所示。

(12)

(13)

(14)

3.2 仿真結果

0%～10%環境下，對Y、P誤碼在各算法下的重構性能進行仿真(其中原始算法對Y值做M次測量，基于位置信息的算法則對P和Y值各進行M/2次測量，以保證總測量次數一致)，仿真中測量矩陣采用伯努利矩陣。仿真實驗取稀疏度k=10，N=1000，M=2×N，maxT=200，stopthrhd=1×10-7。圖2～圖6中橫軸為測量值的誤碼率，下面的仿真結果是100次重構的平均值。

從圖2～圖4可以看出，在測量值沒有誤碼的情況下，基于位置信息的算法與原始算法性能相當。隨著誤碼的提高，各原始算法的惡化較為明顯，基于位置信息的各算法性能均好于其原始算法。從圖5、圖6看出，在誤警虛警概率指標中，由于基于位置信息的算法對于位置信息進行單獨運算，其重構性能比各原始算法表現更好。與此同時，在保證測量值數目一致的情況下，原始算法時間復雜度為O(N×M)，基于位置信息的算法則為O(N×M/2)，也更具優勢。

圖2 歸一化信噪比仿真結果

圖3 漢明距離仿真結果

圖4 角度誤差仿真結果

圖5 誤警概率仿真結果

圖6 虛警概率仿真結果

4 結語

基于位置信息算法可應用于大部分1-bit壓縮感知硬判決算法中，其主要優勢是在降低原算法時間復雜度的情況下，提高了其在高誤碼傳輸環境下的重構性能。通過歸一化信噪比、角度誤差和漢明距離3個指標的仿真，證明了其在信道噪聲不可知的情況下，具有優秀的重構性能。通過誤警、虛警指標的仿真，進一步證明了它在稀疏信號位置信息這個重要的應用場景中具有絕對優勢。

與各類軟判決算法相比，硬判決算法的重構性能較差。但由于硬判決算法具有運算實現簡單、資源開銷小等特點，在未來的1-bit壓縮感知領域仍具有較大的研究價值。

[1] DONOHO D L. Compressed sensing[J]. Information Theory, IEEE Transactions on, 2006, 52(4): 1289-1306.

[2] P BOUFOUNOS ， R BARANIUK.1-bit compressive sensing[C].in Proc Conf Inf Sc Sys (CISS), Princeton, NJ,Mar,2008.

[3] T BLUMENSATH, M E DAVIES.Iterative threhsolding for sparse approximations[J].Fourier Anal Applicat,2008,14(5):629-654.

[4] JACQUES L, LASKA J N, BOUFOUNOS P T, et al. Robust 1-bit compressive sensing via binary stable embeddings of sparse vectors[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2013, 59(4): 2082-2102.

[5] YAN M, YANG Y, OSHER S. Robust 1-bit compressive sensing using adaptive outlier pursuit[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2012, 60(7): 3868-3875.

[6] LI F, FANG J, LI H, et al. Robust one-bit Bayesian compressed sensing with sign-flip errors[J]. IEEE Signal Processing Letters, 2015, 22(7): 857-861.

(責任編輯：杜能鋼)

何晶(1987-)，男，四川成都人，四川大學電子信息學院碩士研究生,研究方向為壓縮感知信號處理; 李智(1975-)，男，四川成都人，博士，四川大學電子信息學院副教授、碩士生導師，研究方向為壓縮感知。本文通訊作者為李智。

10.11907/rjdk.162785

TP312

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