基于凸優(yōu)化的圖像隱藏信息重構(gòu)方法

趙震震， 楊曉飛， 黃 俊， 劉書朋

(1.中國科學(xué)院 上海高等研究院 公共安全中心，上海 201210；2.上海大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，上海 200444)

基于凸優(yōu)化的圖像隱藏信息重構(gòu)方法

趙震震1,2， 楊曉飛1， 黃 俊1， 劉書朋2

(1.中國科學(xué)院 上海高等研究院 公共安全中心，上海 201210；2.上海大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，上海 200444)

針對圖像信息隱藏最不重要位(LSB)算法抗攻擊性弱的缺點(diǎn)，提出了一種將凸優(yōu)化的矩陣重建理論運(yùn)用于所提取的隱密圖像中的重建方法。對所提取的隱密圖像作離散余弦變換(DCT)，使變換后的數(shù)據(jù)稀疏化，利用奇異值迭代算法重構(gòu)數(shù)據(jù)，通過逆運(yùn)算得到精度較高的隱秘圖像，實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了方法的可行性。

最不重要位； 凸優(yōu)化； 矩陣重建； 稀疏； 離散余弦變換

0 引 言

為了保證含有載體信息的圖片信息能夠在不可感知的情況下有效地傳輸[1～4]，研究在變換域中對信息隱藏和提取[5],通過置亂原始信息達(dá)到加密的目的。然而，在變換域下的圖片信息隱藏雖然具有一定的魯棒性，但是在嵌入位置的選擇上具有先天的局限性，因此，可嵌入的信息量很少，且經(jīng)過置亂的信息在傳輸過程中受到干擾，為隱密信息的提取帶來更大的麻煩。此外，圖片在變換域變換的同時(shí)，本身會(huì)缺少一部分信息，也為圖片信息的隱藏帶來不必要的信息缺失。

經(jīng)典的最不重要位(least significant bits,LSB)算法相比于變換域的算法具有嵌入量大的優(yōu)點(diǎn)，但是在傳輸過程中容易受到噪聲等信息的干擾而導(dǎo)致提取的信息不精確。本文針對LSB的缺點(diǎn)，充分利用圖片相鄰像素點(diǎn)的相關(guān)性，依靠從壓縮感知發(fā)展而來的凸優(yōu)化的矩陣重建理論[6]，對提取到的二維圖片信息進(jìn)行稀疏化處理，利用凸優(yōu)化的思想對二維圖片信息進(jìn)行重構(gòu)，最終得到精度更高的傳輸結(jié)果。

1 空域下的LSB算法

對于256灰度的圖像，每個(gè)像素值的灰度值ρ∈{0,1,2,…,255}，每一個(gè)像素值都可以用8 bit的二進(jìn)制來表示。因此，灰度圖像可以按照比特位分解為從高到低依次排列的βτ個(gè)位面，βτ∈{7,6,…,0}。對于一幅自然圖像而言，相鄰的灰度值具有很強(qiáng)的相關(guān)性，位面越高，對灰度值的貢獻(xiàn)就越大，相鄰比特位的相關(guān)性也就越強(qiáng)，而最低位面則表現(xiàn)類似于隨機(jī)噪聲，即最不重要比特位，為信息的隱藏提供了空間。

待嵌入的秘密消息比特序列為m={m1,m2,…,mL}，其中，L為比特序列的長度。載體圖像像素集合c={c1,c2,…,cN}，其中N為像素個(gè)數(shù)。從集合c中選取L大小的一個(gè)子集cσ={cσ1,cσ2,…,cσL}(L≤N,1≤σk≤N,1≤k≤L)，并對子集中的所有元素做替換運(yùn)算LSB(ck)=mk(1≤k≤L)，其中LSB(x)，表示x為最低有效位。

2 凸優(yōu)化的矩陣填充理論

矩陣填充針對的問題是當(dāng)矩陣中只有一小部分的數(shù)據(jù)值可知，而且可能含有噪聲或者誤差的情況下，如何準(zhǔn)確合理地重建出整個(gè)矩陣。在文獻(xiàn)[7]中，Candès在壓縮感知的基礎(chǔ)上，詳細(xì)證明了什么樣的矩陣可以重建以及在一定條件下的重建概率。假設(shè)待填充的矩陣是有信息冗余即低秩的，即其數(shù)據(jù)可以用一個(gè)低位的線性子空間表示[8]。矩陣填充的問題可以表示為

minrank(x)

subjecttoXij=Mij,(i,j)∈Ω

(1)

式中M為只觀測到一部分元素的矩陣，X為待重建的矩陣，Ω為觀測到的已知元素的下標(biāo)的集合。這個(gè)數(shù)學(xué)公式的意義在于：將矩陣缺失的元素填充后，使得矩陣的整體結(jié)構(gòu)盡可能好，即矩陣的秩盡可能低。然而，這是一個(gè)NP難問題，無法得到數(shù)學(xué)上的最優(yōu)解[7]。由于一個(gè)矩陣的秩r與它非奇異值的個(gè)數(shù)相同，因此用矩陣的奇異值的和，即核范數(shù)，來近似代替矩陣的秩，于是式(1)可以優(yōu)化為

min‖X‖*

subjecttoXij=Mij,(i,j)∈Ω

(2)

3 算法描述

3.1 離散余弦變換

離散余弦變換(DCT)屬于正交變換，它將空間域變換到頻域，將信號(hào)的能量集中到為數(shù)不多的中低頻系數(shù)上。具體公式為：

DCT正變換

(3)

式中 0≤μ≤M-1,0≤v≤N-1,c(μ)和c(v)的表達(dá)式為

(4)

DCT反變換

(5)

式中A(i,j)為對應(yīng)圖像像素點(diǎn)的灰度值，Q(μ,v)為變換到DCT域后形成的矩陣的對應(yīng)元素值。

3.2 奇異值分解

奇異值分解(SVD)是矩陣分解中非常重要的方法。通過奇異值分解，將一個(gè)非常復(fù)雜的矩陣用更小更簡單的幾個(gè)子矩陣相乘來表示，分解后的奇異值越大，代表這個(gè)元素越重要[11]。奇異值分解可以描述為

(6)

即A=UHVT，其中U為左奇異向量組成的矩陣，V為右奇異向量組成的矩陣，U和V中的向量均相互正交。其中,H除了對角線上的奇異值外，其它均為0，可表示為H=diag(σ1,σ2,σ3,…,σr)，r為矩陣A的秩。

3.3 算法設(shè)計(jì)

輸入：圖片載體矩陣EM×N待隱藏的圖片矩陣CP×Q

1)將矩陣CP×Q轉(zhuǎn)換為一維的向量W→。

3)根據(jù)密鑰，在X中找出嵌入隱藏信息的像素點(diǎn)，并提取出隱藏的信息，并最終生成C′P×Q，對該矩陣進(jìn)行稀疏化處理，得到C″P×Q，并使Y0=0。

4)計(jì)算如下式子

Xk=Dτ(Yk-1),Yk=Yk-1+δkPΩ(E′-Xk)

當(dāng)X=UHVT時(shí)，Dτ(X)=USτ(H)VT。δk為迭代步長，PΩ為投影算子，Sτ為收縮算子。

6)結(jié)束循環(huán)后，得到X，做DCT的逆變換和二值化處理，得到最終的隱藏信息X′。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

文中采用經(jīng)典的Lena圖像作為載體圖像，二值化圖像作為待隱藏的信息。同時(shí)，模擬圖像在傳輸過程中可能會(huì)受到的高斯噪聲、椒鹽噪聲等的攻擊，對重構(gòu)圖像的衡量標(biāo)準(zhǔn)為歸一化相關(guān)系數(shù)(normalizedcoefficients,NC)和均方根誤差(root-mean-squareerror,RMSE)。其中NC的公式定義如下

(7)

RMSE公式為

(8)

實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1。

圖1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖

指標(biāo)NCRMSE/%凸優(yōu)化前0.872.1凸優(yōu)化后0.990.4

從圖1可以看出，由于嵌入隱藏信息的圖像受到噪聲的攻擊，使得原有的圖像含有很多不準(zhǔn)確的像素點(diǎn)，以至于提取到的水印圖像相比于原水印圖像有很大誤差。經(jīng)過凸優(yōu)化處理后，隱藏圖像不精確的像素點(diǎn)大大減少。從表1可以看出，圖片的NC從0.87提高到0.99，RMSE從2.1 %降低到0.4 %。實(shí)驗(yàn)結(jié)果達(dá)到了預(yù)期目標(biāo)，驗(yàn)證了凸優(yōu)化算法的可行性。

5 結(jié) 論

經(jīng)過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證：本文算法在加密圖像受到噪聲干擾的情況下，依舊能夠較為精確地重構(gòu)出原始隱密圖像，相比于原始方法提高了提取圖像與原始隱密圖像的相似度，為圖像信息隱藏提供了新的方法和思路。

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Image hiding information reconstructing method based on convex optimization

ZHAO Zhen-zhen1,2, YANG Xiao-fei1, HUANG Jun1, LIU Shu-peng2

(1.Public Security Center, Shanghai Advanced Research Institute,Chinese Academy of Sciences,Shangha,201210,China; 2.School of Communication and Information Engineering,Shanghai University,Shanghai 200444,China)

Aiming at shortcomings of weak attack resistance of image information hiding least significant bits(LSB)algorithm,a reconstructing method which applies matrix reconstructing theory based on convex optimization to extracted hiding image is proposed.The method makes discrete cosine transform(DCT)on extracted hiding image,to make transformed data spare,singular value iteration algorithm is used to reconstruct data and hiding image is obtained through inverse operation,feasibility of the method is verified by experimental result.

least significant bits(LSB); convex optimization; matrix reconstruction; spare; discrete cosine transform(DCT)

10.13873/J.1000—9787(2017)04—0054—03

2016—06—21

TP 391

A

1000—9787(2017)04—0054—03

趙震震(1990-)，男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)閳D像處理。

楊曉飛(1975-)，男，通訊作者,博士，高級工程師，博士生導(dǎo)師，主要從事圖像處理方面研究工作，E—mail:yxf@sari.ac.cn。