微位移系統中壓電陶瓷驅動器遲滯建模*

呂雪軍， 李國平， 邱 輝， 李劍鋒

(寧波大學 機械工程與力學學院，浙江 寧波 315211)

微位移系統中壓電陶瓷驅動器遲滯建模*

呂雪軍， 李國平， 邱 輝， 李劍鋒

(寧波大學 機械工程與力學學院，浙江 寧波 315211)

針對超精密微位移系統中壓電陶瓷驅動器的遲滯非線性問題，提出了一種基于遺傳反向傳播(BP)神經網絡的壓電陶瓷遲滯非線性建模方法。通過電渦流位移傳感器獲取壓電陶瓷驅動器不同電壓值下所對應的位移值；利用六次多項式擬合獲得遲滯的數學模型，從而建立基于遺傳BP神經網絡的遲滯模型。實驗結果顯示：該遲滯模型在神經網絡測試下的最大誤差為 0.082 1 μm，平均絕對誤差為0.015 8 μm。表明，所建的遲滯模型能夠較精確地反映出壓電陶瓷驅動器的遲滯特性，同時為微位移控制系統設計提供了一定的理論基礎。

壓電陶瓷驅動器； 電渦流位移傳感器； 微位移系統； 神經網絡； 遲滯非線性

0 引 言

目前，壓電陶瓷驅動器[1]相較于其他精密定位與位移輸出驅動器，執行單元具有帶寬大，加速度大，定位精度高等優點。在超精密微位移系統中，十分需要壓電陶瓷驅動器的這些優點。但是壓電材料的非線性與遲滯[2]等特點也給其應用帶來不便。遲滯嚴重影響執行器的輸出精度，會引起10 %～15 %的輸出位移誤差。消除誤差的常用方法是建立遲滯模型[4]，其中較為常用的遲滯模型主要有Preisach模型[5]、Maxwell模型[6]、Krasnosel’skii-Pokrovshii模型[7]、Prandtl-Ishlinskii模型[8]等。

本文采用六次多項式[9,10]對壓電陶瓷遲滯非線性進行描述[11,12]，分別對遲滯主環的上升段和下降段、次環的上升段和下降段進行擬合，并通過Matlab軟件運行得到擬合函數。然后，基于擬合得到的遲滯數學模型來構建擴張輸入空間，將多對多映射關系轉變為一對一的映射關系，由此建立起雙輸入單輸出的基于遺傳BP神經網絡的壓電陶瓷遲滯模型[13,14]。

1 基于多項式擬合函數的非線性模型

1.1 建立多項式擬合非線性模型

通過實驗獲取壓電陶瓷驅動器不同電壓值下所對應的位移值。使用驅動電壓對壓電陶瓷驅動器輸入間隔為0.625 V的0～150 V,150～0 V,0～75 V,75～0 V的三角波電壓信號。利用電渦流位移傳感器[15]得到壓電陶瓷驅動器對應的遲滯回線，其中圖1為向壓電陶瓷驅動器輸入三角波電壓得到的遲滯回線圖。

圖1 壓電陶瓷驅動器的遲滯回線

對遲滯曲線進行多項式擬合來建立數學模型，實現方法是Matlab編程，屬于非線性回歸。對于像壓電陶瓷驅動器這樣復雜的非線性可用高階多項式近似表達，可用式(1)擬合

Y=b0+b1x+b2x2+…+bnxn

(1)

式中x為電壓輸入值，y為輸入x電壓時對應的位移值。如果令

Xi1=x,Xi 2=x2,…,Xin=xn,i=1,2,…,n

則式(1)可以轉化為多元線性方程

Y=b0+b1Xi1+b2Xi 2+…+bnXin

(2)

根據多元線性回歸，可以得到對應的系數b0,b1,b2,…,bn。令

(3)

則回歸模型為

Y=Xβ

(4)

式中Y為觀測向量;X為設計矩陣，假設列滿秩時為X,即rank(X)=m；β為待定估計的未知參數向量。

通過計算可得β的點估計為

(5)

對于回歸方程來講，多項式的階數與實際數據的擬合程度密切相關，階數越高，擬合程度就越高，但是計算過程中的誤差也會因階數的變大而變大。由此可見，階數n應當取合理的值，過高或過低都會使回歸方程的精度降低，使結果出現較大誤差。為了提高擬合效果并獲得盡可能小的計算誤差，經實驗比較，該遲滯回線在六次多項式擬合的情況下所得到的擬合效果最好。通過Matlab曲線擬合即可建立擬合函數模型，其中對主環上升曲線進行方差分析得到表1。

表1 主環的上升曲線方差分析表

根據主環的上升曲線實驗數據，由式(5)得

主環的上升曲線模型為

y=4.244 6×10-12x6-1.771 1×10-9x5+3.085 1×

10-7x4-3.356 7×10-5x3+0.002 538 2x2+

0.130 93x-0.046 753

(6)

根據擬合結果分析，0.999 96的可決系數表明擬合效果很好。分析擬合的方差數據，擬合的顯著性為高度顯著。按照上面的實驗方法再對主環的下降曲線進行擬合，以及對次環的上升與下降曲線進行擬合，所得的實驗結果分別為0.999 97，0.999 92，0.999 79的可決系數，由此可見，擬合效果都很好。遲滯非線性模型分別如下：

主環的下降曲線模型

y=-7.441 3×10-12x6+3.452 5×10-9x5-5.880 6×

10-7x4+4.553 2×10-5x3-0.002 255 77x2+

0.338 94x+0.017 408

(7)

次環的上升曲線模型

y=-3.187 6×10-10x6+7.633 4×10-8x5-6.759 6×

10-6x4+0.000 257 87x3-0.002 696 9x2+

0.171 95x-0.003 622 9

(8)

次環的下降曲線模型

y=-3.424 7×10-10x6+8.129×10-8x5-7.499 8×

10-6x4+0.000 337 92x3-0.008 666 5x2+

0.383 97x-0.130 73

(9)

1.2 六次多項式擬合模型誤差分析

將六次多項式擬合模型與輸入三角波電壓下的位移曲線相比較，可以得到以下數據。給壓電陶瓷驅動器輸入三角波電壓，得到誤差曲線如圖2。

圖2 模型值與測量值的誤差曲線

由實驗數據可以得到六次多項式擬合模型在三角波電壓下的最大誤差為Emax=0.223 8 μm,最大建模誤差為0.67 %；平均絕對誤差為Eavg=0.042 7 μm；平均建模誤差為0.14 %。

2 壓電陶瓷驅動器遲滯建模

2.1 遺傳算法優化BP神經網絡建模

壓電陶瓷驅動器是非線性系統，設計復雜，一般的數學方法很難做到準確建模。在這樣的背景下，提出了基于BP神經網絡的非線性器件建模方法。采用該方法無需了解器件的具體運行程序，只需將器件的系統看作一個黑盒子，通過數據的輸入輸出訓練BP神經網絡，直到未知函數可以通過網絡來表達，再對系統的輸出進行BP神經網絡的預測。由于壓電陶瓷過于復雜的非線性特征，在進行預測時會產生較大的誤差，表明擬合結果存在較大的局限性。需要解決的問題是，如何提高BP神經網絡在壓電陶瓷驅動器遲滯性建模中的準確度，因此，提出遺傳算法。

優化過程包括五大要素，分別為種群的初始化、調用適應度函數、選擇、交叉和變異。

1)種群初始化:采用實數編碼對個體進行編碼，將個體視為一個實數串，由輸入、輸出、隱含層連接權值；輸入、輸出層值、隱含層閾值組成。任意個體都具有神經網絡的全部閾值與權值，若網絡結構是確定的，便可組成一個既定的神經網絡。

2)適應度函數:根據個體得出BP神經網絡對應的初始值與閾值，通過實驗數據對BP神經網絡進行訓練后，對系統輸出進行預測，對比模型的預測輸出值與期望輸出值，并計算兩者的誤差絕對值以及個體的適應度值F如下

(10)

式中n為網絡輸出節點數；yi為BP神經網絡第i個節點的期望輸出；oi為第i個節點的預測輸出；k為系數。

3)選擇操作:遺傳算法中常見的選擇操作包括錦標賽法、輪盤賭法等。本文在遲滯建模中使用輪盤賭法，該選擇操作以適應度比例為準，其中pi為每個個體i的概率

fi=k/Fi

(11)

(12)

式中Fi為個體i的適應度值，根據適應度值要小的原則，對個體進行選擇前計算適應度值的倒數；k為系數；N為種群個體數目。

4)交叉操作：在種群初始化時采用了實數編碼，為保證一致性，采用實數交叉法進行交叉操作，其中,ak為第k個染色體，al為第l個染色體，兩者在j位進行交叉操作的方法為

(13)

式中b為[0,1]間的隨機數。

5)變異操作:對第i個個體進行變異操作，變異該個體的第j個基因aij，其變異操作為

(14)

式中amax為基因aij的上界；amin為基因aij的下界；f(g)=r2(1-g/Gmax)；r2為一個隨機數；g為當前迭代次數；Gmax為最大進化次數；r為[0,1]間的隨機數。

通過六次多項式擬合后，得到該模型的輸出位移為y，系統輸入電壓為u，將這兩者作為神經網絡的輸入數據，進行遺傳算法優化時，將實際位移輸出d作為輸出數據，這樣確保BP神經網絡在訓練時擁有豐富的信息量，使建立的BP神經網絡模型準確度更高。遲滯模型建立流程如圖3。

圖3 遲滯模型建立流程圖

上述分析可知，本次模型的建立設置了一個輸出參數，兩個輸入參數，由此可確定2—5—1為本次BP神經網絡的結構，該結構表示模型的輸入層有兩個節點，輸出層有一個節點，隱含層有5個節點，并可得出權值為15個，閾值為 6個，根據以上參數可計算出遺傳算法的編碼長度為21。根據實驗得到的輸入輸出數據有724組，從中抽取500組用于神經網絡訓練，剩下的數據用于測試。個體適應度值即為訓練數據預測誤差絕對值和。

2.2 遲滯模型誤差分析

神經網絡訓練時，訓練的性能指標以網絡輸出的均方差為依據，圖4為網絡訓練過程中對應的輸出誤差變化曲線。

圖4 神經網絡誤差曲線

從圖4的數據可知，本次遺傳算法優化進行了91次的迭代，最終得到最小的輸出誤差值8.255 4×10-7，結果表明該神經網絡具有較好的誤差性能。

抽取了500組訓練數據，對BP神經網絡進行訓練，在訓練過程中記錄網絡的輸出數據以及相應的期望輸出數據，并得到如圖5所示的線性回歸分析。

圖5 線性回歸分析圖

由圖5可知，經過遺傳算法優化后，得到R=0.999的模型預測輸出位移值與期望位移值相對應的復合相關系數，表明該模型具有較好的擬合程度。

對建立好的遲滯模型進行224組數據的測試，測試結果如圖6所示，為遲滯模型的誤差圖。

圖6 遲滯模型的誤差圖

由圖6實驗數據可以得到該遲滯模型的最大誤差為ErrorMAX=0.082 1μm,最大建模誤差為0.24 %；平均絕對誤差為ErrorAVG=0.015 8μm；平均建模誤差為0.05 %。

3 結束語

本文針對壓電材料需要補償的遲滯特性，并具體分析了遺傳算法在BP神經網絡建模中體現出的諸多優點，提出了基于六次多項式擬合的遺傳算法對BP神經網絡進行優化來建立壓電陶瓷遲滯模型。實驗驗證：基于多項式擬合的遺傳算法優化BP神經網絡遲滯模型在神經網絡測試下的最大誤差為ErrorMAX=0.082 1μm；最大建模誤差為0.24 %；平均絕對誤差為ErrorAVG=0.015 8μm；平均建模誤差為0.05 %。結果表明：該遲滯模型能夠準確地反映出壓電陶瓷驅動器的遲滯特性，并為微位移控制系統設計提供了理論依據。

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Hysteresis modeling of piezoelectric ceramic actuator in micro displacement system*

Lü Xue-jun， LI Guo-ping， QIU Hui， LI Jian-feng

(Faculty of Mechanical Engineering and Mechanics,Ningbo University,Ningbo 315211,China)

Aiming at problem of hysteresis nonlinearity of piezoelectric ceramic actuator in ultra precise micro displacement system,a nonlinear hysteresis modeling method based on genetic back propagation(BP)neural network is proposed.Get the piezoelectric actuator corresponding displacement values under different voltage values by current eddy displacement sensor;secondly,mathematical model of hysteresis is obtained using six polynomial fitting,so as to establish hysteresis model based on genetic BP neural network.Experimental results show that the maximum error of the hysteresis model is and the average absolute error is.It shows that the hysteresis model can reflect the hysteresis characteristics of piezoelectric actuator accurately,and provides a theoretical basis for the design of micro displacement control system.

piezoelectric ceramic actuator; eddy current displacement sensor; micro displacement system; neural network; hysteresis nonlinearity

10.13873/J.1000—9787(2017)04—0027—04

2017—02—06

浙江省自然科學基金資助項目(LY15E050005)

TP 391.7

A

1000—9787(2017)04—0027—04

呂雪軍(1993-),男，碩士研究生,研究方向為精密加工與測控。

李國平(1967-)，男，博士，教授，主要從事精密加工與機電測控、振動控制的研究工作，E—mail:liguoping@nbu.edu.cn。