基于理想氣體多方過程的摩爾熱容計算

張金鋒，代 凱，公丕鋒，袁五屆

(淮北師范大學，安徽 淮北 235000)

基于理想氣體多方過程的摩爾熱容計算

張金鋒，代 凱，公丕鋒，袁五屆

(淮北師范大學，安徽 淮北 235000)

根據(jù)熱力學第一定律和理想氣體狀態(tài)方程推導(dǎo)了多方過程方程，在此基礎(chǔ)上，計算并討論推廣了多方過程摩爾熱容量。這種推導(dǎo)和計算方法有利于加深對理想氣體多方過程及其摩爾熱容量的理解和認識。

理想氣體；多方過程；熱力學第一定律；摩爾熱容量

0 引言

真實氣體所經(jīng)歷的熱力學過程，往往既非等溫過程也非絕熱過程，而是介于等溫過程與絕熱過程之間，物理學上稱之為多方過程[1,2]。理想氣體多方過程在熱力工程中具有非常重要的應(yīng)用價值，但在大多數(shù)大學物理教材中，直接將絕熱過程的過程方程推廣得到多方過程方程，并沒有多方過程方程的推導(dǎo)過程[3,4]。然而關(guān)于理想氣體熱力學過程的摩爾熱容量的計算,都是由其過程方程和熱力學第一定律推導(dǎo)而來的[5,6]。因此，對于初學大學物理的學生來說，他們并不清楚理想氣體多方過程方程的由來，并對多方過程摩爾熱容量知之甚少，經(jīng)常容易引起一些誤解。因而對理想氣體多方過程方程及其摩爾熱容量的計算顯得非常重要，本論文研究有利于學生從根本上掌握理想氣體多方過程摩爾熱容的計算方法，進而激發(fā)學生學習物理的興趣。

1 理想氣體多方過程方程推導(dǎo)過程

根據(jù)熱力學第一定律的微分方程

dQ=dE+pdV

(1)

可得

(2)

(3)

將(2)、(3)式聯(lián)立消去dT得

(4)

上式中的Cv、Cp分別為摩爾等體熱容和等壓熱容，由于理想氣體的多方過程是介于等溫過程和絕熱過程之間的熱力學過程，因而多方過程的摩爾熱容大小也介于等溫過程和絕熱過程的熱容量之間，即Cm為0～∞之間的常數(shù)，令

(5)

則n為取-∞～+∞之間的常數(shù)，對式(4)做不定積分得

pVn=C

(6)

其中C為常數(shù)，n為多方指數(shù)，這類過程稱為理想氣體多方過程方程[7]。

2 理想氣體多方過程摩爾熱容計算

2.1 利用多方過程推導(dǎo)過程計算摩爾熱容

在理想氣體過程方程推導(dǎo)過程中得到公式(5)，可知多方過程的多方指數(shù)n的大小與摩爾熱容Cm密切相關(guān)。

(7)

當多方指數(shù)n為已知的情況下，通過上式可計算多方過程的摩爾熱容，即為：

(8)

2.2 利用摩爾熱容的定義計算多方過程的摩爾熱容

對理想氣體多方方程pVn=C做全微分得

npdV+Vdp=0

(9)

由理想氣體狀態(tài)方程微分式(5)及多方過程方程微分式(9)，可知理想氣體在多方過程中系統(tǒng)對外界所做的元功。

(10)

由熱力學第一定律及理想氣體內(nèi)能公式可知

(11)

利用摩爾熱容的定義可知

(12)

上式為理想氣體多方過程摩爾熱容表達式[8]。

2.3 討論與推廣

由理想氣體摩爾等體熱容與等壓熱容關(guān)系：Cp=Cv+R，Cp/Cv=γ可知

(13)

(14)

其中γ為比熱容比，其大小取決于理想氣體分子的自由度，將式(13)帶入理想氣體多方過程摩爾熱容公式得

(15)

①當n=0時，理想氣體的多方過程的特征方程pVn=C轉(zhuǎn)化為等壓過程的特征方程p=常數(shù)，多方過程的摩爾熱容Cm轉(zhuǎn)化為式(14)，即為等壓過程中的摩爾等壓熱容Cp；

②當n=1時，理想氣體的多方過程方程式(6)轉(zhuǎn)化為等溫過程的特征方程pV=C，相應(yīng)地多方過程的摩爾熱容Cm→∞，此即等溫過程的摩爾熱容量；

③當n=γ時，理想氣體的多方過程方程式(6)轉(zhuǎn)化為絕熱過程的特征方程pVγ=C，多方過程的摩爾熱容Cm=0，此即絕熱過程中的摩爾等壓熱容；

3 結(jié)語

理想氣體的多方過程是大學物理熱力學的重要組成部分，在工程技術(shù)領(lǐng)域也具有重要的應(yīng)用。本文利用熱力學第一定律和理想氣體狀態(tài)方程系統(tǒng)推導(dǎo)了多方過程方程及其摩爾熱容。此外，當多方指數(shù)n分別為0、1、γ、∞時，多方過程分別為等壓過程、等溫過程、絕熱過程、等容過程。通過本文的研究，可進一步加深學生對理想氣體多方過程方程及其摩爾熱容的理解。

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Calculation on the Molar Heat Capacity of Ideal Gas in the Polytropic Process

ZHANGJin-feng,DAIKai,GONGPi-feng,YUANWu-jie

(HuaibeiNormalUniversity,Huaibei235000,China)

Firstly, the formula of ideal gas polytropic process is deduced according to first law of thermodynamics and state equation of ideal gas. And then, the molar heat capacity of ideal gas in the polytropic process is calculated and discussed on the basis of the results mentioned above. This deduction and calculation method is helpful to understand the knowledge about equation and molar heat capacity of ideal gas polytropic process.

ideal gas; polytropic process; first law of thermodynamics; Molar heat capacity

2016-11-02

國家自然科學基金項目(51502106)；淮北師范大學校級教研項目(jy15129)

張金鋒(1980-)，男，博士，淮北師范大學物理與電子信息學院講師，研究方向：半導(dǎo)體納米光催化材料。

O414

A

1674-3229(2017)01-0050-02