基于改進的馬爾科夫鏈模型的河流徑流預測研究

劉曉哲

（遼寧省水文局，遼寧沈陽110003）

基于改進的馬爾科夫鏈模型的河流徑流預測研究

劉曉哲

（遼寧省水文局，遼寧沈陽110003）

針對傳統馬爾科夫鏈模型不能考慮各因子權重的局限，文章引入自相關系數作為各因子權重，對傳統馬爾科夫鏈模型進行改進，并將改進的馬爾科夫鏈模型進行徑流預測。研究結果表明：改進馬爾科夫鏈模型可提高方程的收斂性和預測精度，改進的馬爾科夫鏈模型徑流預測精度明顯好于傳統馬爾科夫鏈模型的預測精度，預測值與實測值相關系數高于傳統馬爾科夫鏈模型。研究成果對于區域徑流的數學模型預測具有較好的參考價值。

改進馬爾科夫鏈模型；傳統馬爾科夫鏈模型；加權權重；徑流預測

馬爾科夫鏈模型可以表述隨機系列的動態變化，可通過不同變量之間的狀態變化的轉移概率來預測系統未來的變化。由于模型具有明確的數學意義，當前被廣泛用于不同變量的預測。近些年來，隨著計算技術的不斷發展，數學模型也不斷地被用于水文序列變量的模擬預測，并取得一定的研究成果［1-6］。這些數學模型包括灰色系統模型、神經網絡模型法以及其他時間序列模型法，但在這些模型中，馬爾科夫鏈模型可以通過不同變量之間的轉移概率來反映不同隨機變量之間的影響程度，可以較好的模擬不同狀態變量之間的相互聯系，近些年來，被許多學者應用于水文序列的模擬中，取得較好的預測模擬成果［7-10］。但這些成果都表明馬爾科夫鏈模型存在收斂精度不高，且未能考慮不同因子之間的權重，為此有學者對傳統馬爾科夫鏈模型進行改進，引入權重系數，對各個因子設定不同的權重，提高了模型的收斂精度以及變量預測的精度。但改進的馬爾科夫鏈模型只是對降水系列進行了模擬，還未在天然徑流進行預測，而天然徑流是水資源評價的重要依據。為此本文引入改進的馬爾科夫鏈模型，結合水文站還原的天然徑流資料，對比分析改進的馬爾科夫鏈模型和傳統的馬爾科夫鏈模型的徑流預測精度。研究結果對于數學模型在流域徑流中的應用研究提供參考價值。

1 加權馬爾科夫鏈模型原理

1.1 馬爾科夫鏈

馬爾科夫鏈先計算一組隨機變量序列，｛x，t∈ T｝為隨機生成的一組隨機序列，在隨機序列中，

對于任意時間變量t≥0以及隨機變量的狀態值j，i0，i1，i2，i3….it-1，i1∈E。都代表

則表示｛x，t∈T｝為馬爾科夫鏈。通過馬爾科夫鏈的表達式可以看出，馬爾科夫鏈表示的系統含義是t+s時刻變量的一個狀態值只和前個t時刻的狀態相關，而和t時刻以前的狀態無任何關聯。

傳統的馬爾科夫鏈未能考慮各個變量因子之間的權重系數，在收斂計算時存在收斂異常的情況，為此本文引入改進的馬爾科夫鏈。改進的馬爾科夫鏈主要是通過建立各個因子不同的轉移概率權重，利用標準化的各因子的自相關系數作為轉移概率權重，將變量的某一個時刻的狀態轉移概率進行加權，以加權后的概率作為變量在某個時刻的預測值。從而預測該變量標準化因子所處在的變量值。改進的馬爾科夫鏈變量的徑流預測的主要步驟：

（1）通過建立各個變量因子的不同等級的標準以及各因子變化轉移的概率系數，采用標準方差法進行不同等級的標準化。通過這種方法來確定徑流預測不同時刻的狀態值。因為需要計算不同等級下的各因子的變化轉移的權重系數，所以需要對各個因子的概率權重系數進行相關計算。

（2）各因子不同相關系數及標準。通過對各個影響因子進行相關系數的計算，相關系數計算公式為：

式中，xi表示的第i個時刻的變量狀態值，在文中表示為徑流值，x-表示為徑流的平均值。

對各個變量因子進行標準化處理，標準化處理公式為：

式中，m代表的物理意義為模型預測計算的最大因子數。

（3）結合前面2個步驟中不同時刻的計算值作為初始的狀態值，對應各個變量的轉移概率加權權重系數，可以推算出下個時刻不同的狀態變量值，其中K表示的模型計算時段的步長，本文選用年、月2個時間步長。

（4）將處在同一個時間變量的狀態預測值和各個因子的權重進行疊加計算，可以表示某個變量在該狀態下的概率預測值，表達式為：

該時刻的計算最大概率值表示預測時刻對應下的狀態值。

（5）基于模糊數學的理論，通過各個狀態變量不同權重系數可以得到各因子的權重矩陣wi，則得到年徑流的預測值，表達式為：

式中，T和B分別表示的變量狀態的上下邊界。

（6）結合改進的馬爾科夫鏈的游歷和方程穩定的特點，可以計算不同狀態的變量概率值。

2 實例應用

2.1 數據說明

選用遼寧二道河子水文站1980～2010年經過還原的天然徑流數據，運用改進前后的馬爾科夫鏈進行徑流預測，其中1980～2000年徑流數據用于模型訓練分析，2000～2010年徑流數據用于模型預測，結合實測水文數據對比分析改進的馬爾科夫鏈模型和傳統馬爾科夫鏈模型預測精度，模擬的時間尺度分為年尺度和月尺度。

2.2 模擬結果對比分析

2.2.1 年徑流預測結果對比分析

基于改進的馬爾科夫鏈和傳統的馬爾科夫鏈分別對遼寧二道河子水文站2000～2010年天然徑流進行預測，并和水文站實測結果進行對比分析。模擬結果見表1和圖1。

表1 改進的馬爾科夫鏈模型模擬徑流量年尺度預測對比成果

從表1中可以看出，改進的馬爾科夫鏈預測的徑流和實測的徑流值誤差5.6%～13.2%之間，相對誤差的平均值為8.29%，而傳統的馬爾科夫鏈預測的徑流值和實測的徑流值相對誤差在10.7%～18.1%之間，相對誤差的平均值14.96%，可見改進的馬爾科夫鏈提高了徑流預測的精度。其次從圖1中也可以看出，改進的馬爾科夫鏈預測的年尺度徑流值和實測的徑流值的相關系數為0.8534，而傳統的馬爾科夫鏈預測的年尺度徑流值和實測的徑流值的相關系數為0.6806，可見在年尺度上改進的馬爾科夫鏈預測的徑流值和實測的徑流值相關度更高。

2.2.2 月徑流預測結果對比分析

由于徑流在各個月份的值均不同，為此本文結合改進的馬爾科夫鏈對月尺度的徑流值進行預測，也和傳統的馬爾科夫鏈進行對比分析，結果見表2和圖2。

表2 改進的馬爾科夫鏈模擬徑流月尺度預測對比成果

從表2中可以看出，改進的馬爾科夫鏈預測的月尺度徑流和實測的徑流值相對誤差在6.6%～13.2%之間，相對誤差的平均值為11.2%，而傳統的馬爾科夫鏈預測的月尺度徑流值和實測的徑流值相對誤差在14.2%～28.6%之間，相對誤差的平均值20.2%，可見改進的馬爾科夫鏈明顯提高了月尺度徑流預測的精度。其次從圖2中也可以看出，改進的馬爾科夫鏈預測的月尺度徑流值和實測的徑流值的相關系數為0.8477，而傳統的馬爾科夫鏈預測的年尺度徑流值和實測的徑流值的相關系數為0.6422，可見在月尺度上改進的馬爾科夫鏈預測的徑流值和實測的徑流值相關度更高。

圖2 改進的馬爾科夫鏈模型徑流預測月尺度精度對比

3 結語

本文通過引入加權系數，對傳統馬爾科夫鏈模型進行改進，并應用改進的馬爾科夫鏈模型進行徑流預測，研究得出以下結論：

（1）改進的馬爾科夫鏈模型解決了傳統馬爾科夫鏈模型不能考慮各因子的權重的局限，改善模型計算收斂性。

（2）改進的馬爾科夫鏈模型在徑流預測精度上明顯好于傳統馬爾科夫鏈模型，在年尺度徑流模擬相關系數提高近0.17，月尺度徑流模擬相關系數提高近0.21。

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P338

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1008-1305（2017）01-0085-03

DO I:10.3969/j.issn.1008-1305.2017.01.026

2015-12-21

劉曉哲（1983年—），男，工程師。