幾何概型與蒲豐投針問題

曹騰之

摘要：1777年，法國科學家蒲豐提出了著名的蒲豐投針問題，將等可能事件的個數從有限拓展到無限，并提出了幾何概型。經典的蒲豐投針問題可以用微積分等多種方法解答，而數學家們在原有問題的基礎上將蒲豐投針問題從二維拓展到了多維情形。由于蒲豐投針問題的結果包含π，因此數學家們也用蒲豐投針問題來模擬π的值，現代也可以利用計算機模擬蒲豐投針過程來估計π。

關鍵詞：蒲豐投針；幾何概型；隨機模擬

G633.6

在蒲豐提出投針問題之前，傳統隨機概型的事件個數是有限的。蒲豐投針問題將隨機事件的個數由有限拓展到無限，并據此提出了幾何概型。傳統蒲豐投針問題的結果可以由微積分等多種方法解得，由于該結果包含無理數π，數學家們也用蒲豐投針過程來模擬估計π的值。通過對蒲豐投針及其推廣問題的解答過程的研究，可以進一步理解幾何概型的含義，同時，通過研究數學家們對投針問題結果的應用，可以更好地理解不同領域之間的相互交叉和共同發展。

一、蒲豐投針問題的突破性提出與概率論發展史

（一）概率論的起源

概率論起源于賭博問題。18世紀，雅各布.伯努利的《猜度術》和亞伯拉罕.棣莫弗的《機遇論》的誕生使得概率論具有了數學基礎，這兩本書中也給出了一系列計算復雜概率問題的方法。伯努利證明了一系列基礎的大數定理，這些定理表明在大量的隨機試驗中，平均結果很可能趨近于均值。在很長的一段時間里，概率論的研究對象都是有限個離散的隨機事件，直到蒲豐投針問題提出，數學家們的研究對象才從古典概型擴展到了幾何概型。

（二）蒲豐投針的突破性提出及其意義

古典概型是指包含有限個等可能隨機事件的概率模型，在很長一段時間內是數學家們的研究主題。1777年法國科學家蒲豐提出了著名的蒲豐投針問題，將隨機事件的個數從有限拓展到無限，并據此提出了幾何概型。

后來數學家們將投針問題擴展到投小圓片等，這一類問題都被稱之為“蒲豐問題”。這些問題都具有無限個等可能的隨機事件。因為蒲豐投針問題的結果恰好和π相關，而當時人們普遍關注π的近似計算，因此蒲豐投針問題獲得了很大進展。曾經有數學家自己進行數千次投針實驗，利用頻率近似等于概率的思想得到無理數π的近似值。在蒲豐提出投針問題的時候，數學家們并沒有預料到這個突破性地引出了幾何概型的經典問題，在未來會被如此之多地應用到無理數π的近似求解中。