數(shù)學(xué)函數(shù)圖像中的對(duì)稱性問題淺析

曹逸帆

G633.6

函數(shù)是我在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中非常重要的一部分，因?yàn)楹瘮?shù)的應(yīng)用幾乎貫穿了整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，它也是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，而高考中對(duì)于函數(shù)的考查也特別多，甚至考查的內(nèi)容可能會(huì)比課本上的知識(shí)更深一點(diǎn)，因此我覺得能不能學(xué)好函數(shù)是在高考中數(shù)學(xué)是否能拿到高分的關(guān)鍵所在。

學(xué)好函數(shù)就要了解函數(shù)的概念和定義，還要熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)——單調(diào)性、周期性以及對(duì)稱性。在這里，我想主要談一下我對(duì)函數(shù)對(duì)稱性的理解。我對(duì)于函數(shù)的對(duì)稱性還是比較感興趣的，從表面上看，函數(shù)的對(duì)稱關(guān)系體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美，因?yàn)閷?duì)稱的圖形總是比較美觀的；往深里說，函數(shù)的對(duì)稱性一直都是各種數(shù)學(xué)類考試的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，而且利用好函數(shù)的對(duì)稱性還能很巧妙地解決數(shù)學(xué)問題。

我把函數(shù)的對(duì)稱性問題進(jìn)行了歸納和總結(jié)后，分成了兩大類，除了常見的自身對(duì)稱（奇偶函數(shù)的對(duì)稱性），兩函數(shù)圖像對(duì)稱（原函數(shù)與反函數(shù)的對(duì)稱性）以外，函數(shù)圖像的對(duì)稱性還有一些圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱和關(guān)于直線對(duì)稱的兩類問題。

雖然將函數(shù)的對(duì)稱性這樣分成兩大類更容易理解與掌握，但其實(shí)在實(shí)際的學(xué)習(xí)過程中，兩函數(shù)圖像關(guān)于某直線對(duì)稱或關(guān)于某點(diǎn)成中心對(duì)稱，還有函數(shù)自身的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心這兩種情況，我們總是容易混淆，從而造成解題失誤。事實(shí)上，這兩種類型是有本質(zhì)區(qū)別的，我想就這個(gè)問題總結(jié)一下相關(guān)的一些結(jié)論。

函數(shù)的對(duì)稱性主要是講奇偶函數(shù)圖像的對(duì)稱性，函數(shù)與反函數(shù)圖像的對(duì)稱性。前者是函數(shù)自身的性質(zhì)，而后者則是函數(shù)的變換問題。

課本中的定理都很明確，那為什么我們總是不能較好地掌握函數(shù)圖象的對(duì)稱性呢？分析一下其中的原因，我覺得有兩個(gè)方面：一個(gè)是在學(xué)習(xí)的過程中我們沒有把“函數(shù)的圖像關(guān)于某點(diǎn)或某直線對(duì)稱”、“兩個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于某點(diǎn)或某直線對(duì)稱”、“平移、周期與對(duì)稱”等這幾個(gè)概念區(qū)分清楚；另一方面就是我們對(duì)函數(shù)圖像的對(duì)稱性沒有進(jìn)行更加系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，知識(shí)點(diǎn)都太分散，所以不能把學(xué)到的性質(zhì)都用到解題的過程中。

所以，當(dāng)我們?cè)诮鉀Q一個(gè)函數(shù)問題時(shí)，首先可以根據(jù)題目畫出函數(shù)的圖像，這一點(diǎn)是很重要的，也是解題的關(guān)鍵所在，我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中應(yīng)當(dāng)養(yǎng)成這個(gè)數(shù)形結(jié)合的習(xí)慣。因?yàn)椋械臅r(shí)候一旦圖像有了，就會(huì)覺得一目了然，問題也就迎刃而解。有些題目，只看函數(shù)的解析式可能不能得出什么，但是當(dāng)我們畫出函數(shù)的曲線，更加直觀地展示出變量間關(guān)系時(shí)，才會(huì)發(fā)現(xiàn)問題并不是很復(fù)雜，可以根據(jù)曲線得出更多的條件，進(jìn)一步得出結(jié)論。所以遇到這樣的題目，一定不能“懶惰”，多畫圖還是有好處的。

對(duì)稱是數(shù)學(xué)高考中的常見問題之一，函數(shù)圖像對(duì)稱和幾何中講的曲線對(duì)稱都屬于圖像的對(duì)稱，也都是關(guān)于點(diǎn)、直線的對(duì)稱。用對(duì)稱方法解決高考題中函數(shù)的運(yùn)算問題，在一定程度上可以降低難度，不但可以更容易解出題目，還可以提高解題速度。因此，掌握好函數(shù)圖像的對(duì)稱性也是很重要的。