淺談一般數列的求和問題

李政廷

G634.6

數學是高中階段的主要學科，對我們高中生的高考有直接的影響，而數列問題又是數學課程的重要組成部分。因此，在高中階段的數學學習中，數列求和是高中數學教學中的重要課題，也是我們學生學習的重點內容，我們須對數列求和問題要有足夠的重視。而如何借助有效的方法解答求和問題，切實提高學生學習效率和學習效果，使學生掌握好這一重要知識，也是每位數學老師努力鉆研的目標。在本文中我對數列求和問題的方法進行了歸納，希望可以為當前的高中生學習數學提供有益的借鑒。

數列作為一種特殊的函數，是反映自然規律的基本數學模型。學生將通過對日常生活中大量實際問題的分析，建立等差數列和等比數列這兩種數列模型，探索并掌握它們的一些基本數量關系，感受這兩種數列模型的廣泛應用，并利用它們解決一些實際問題。從歷年高考的情況我們可以發現，高考數列綜合試題往往呈現以下特點：以知識和方法立意考查等差、等比數列的有關知識，以求數列的通項公式和前n項和公式為主線，考查數列中的重要方法。 數列求和問題的解決，既可以采用基本的公式法，也可以采用技巧性更強的其他方法，如裂項相消法、分組相加法、倒數相加法等，要根據具體問題具體分析和應用不同解題方法。下面我們來了解一下數列求和的基本知識和方法。

一、牢固掌握數學基礎知識

數列求和問題是高中數學重要的組成部分，要掌握好這部分知識，應當要求學生牢固掌握最基本的數列知識。如數列的定義、性質和基本公式等。我們要牢記掌握等差數列和等比數列的概念。等差數列：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數，則這個數列叫作等差數列；等比數列：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，則這個數列叫作等比數列。

二、利用數列基本公式進行求和

在牢固掌握數列知識的基礎上，遇到數列求和問題時，可首先分析是否可以套用公式進行解答，是數列求和問題中較為容易的一類。在利用數列基本公式進行數列求和時，要注意公式的準確性，如果公式不正確，答案自然也南轅北轍。因此，學生一定要認真記憶公式。 利用公式法求和是數列求和問題中較為簡單的一種，一般來說，這類題型可以直接套用公式，或只需要簡單的分類合并，再套用公式進行解答。在教學過程中，老師們應該要求學生牢固掌握這類解題方法，在考試中，這類問題是很容易得分的題型。

三、采用錯位相減法求和

錯位相減法是一種常用的數列求和方法，應用于等比數列與等差數列相乘的形式。如An=BnCn，其中Bn為等差數列，Cn為等比數列；分別列出Sn，再把所有式子同時乘以等比數列的公比，即kSn；然后錯一位，兩式相減即可。當有待定系數時，要進行分類討論。乘以公比，錯位相減，數準項數，計算細心，確保結論正確。錯位相減法求和是數列求和的重要方法，是高考的常考重點。

需要注意的是，錯位相減法比公式法的難度有較大提高，是學生得分較低的一類題型，在解題過程中，要注意對問題分析并尋找規律，避免漏項或書寫錯誤，從而得到問題的正確答案。老師們在講解這個方法時，也可以結合學生常犯的錯誤，并按照一定的流程進行講解，讓更多的學生掌握這種求和方法。

四、借助裂項相消法求和

利用解析式變形，將一個數列分成若干個可以直接求和的數列，進行拆項重組，或將通項分裂成幾項的差，通過相加過程中的相互抵消，最后剩下有限項的和。在學習過程中，應當教育學生掌握“裂項相消求和法”的幾個特征：（1）通項的分母是因式相乘的形式；（2）每項裂成兩個式子的差；（3）相鄰兩項裂開后，前一項的后式與后一項的前式互為相反數；（4）裂項的關鍵是緊抓相鄰兩項的相同項。裂項相消法求和是一種非常常見的題型，也是高考中的熱點考題。相對于其他題型來說，這種題目的難度大，有一定的思維能力，對于培養學生的思維能力有很大幫助。

運用此種方法時，需要同學們注意的是：在解答此類問題時，應當多寫一些項，然后進行觀察，才可能看出抵消的規律，從而使用該方法解決求和問題。

五、借助倒序相加法求和

在數列求和中，如果和式到首尾距離相等的兩項和有其共性或數列的通項與組合數相關聯，那么可考慮選用倒序相加法。利用倒序相加法解決數列求和問題，大都是利用等差數列、等比數列以及函數的重要性質，從而順利地解答問題。在使用倒序相加法時要注意不斷變形。

綜上所述，作為高中數學重點內容的數列求和問題，其解答方法有很多種，如公式法、錯位相減法、裂項相消法以及倒序相加法。此外，還可以利用其他求和法，如歸納猜想法、奇偶法等。以上幾種方法雖然各有其特點，有時有些數列求和問題甚至可能用到幾種求和方法，但總的原則是要善于改變原數列的形式結構，使其能進行消項處理或能使用等差數列或等比數列的求和公式以及其它已知的基本求和公式來解決，只要很好地把握這一規律靈活運用，就能使數列求和化難為易，迎刃而解。

六、結束語

數列是高中代數的重要內容，又是學習高等數學的基礎，在高考和數學競賽中都占有十分重要的地位。數列求和問題是數列的基本內容之一，也是近年來高考命題的熱點和重點。數列求和問題題型多變，思維要求高，是數列的一個難點。在面對較為復雜的數列求和問題時，我們應當認真分析，將復雜的問題轉化為我們熟悉的等比、等差數列，然后根據題型采取不同的解答方法。這些方法體現了等價轉化思想在數學中的運用，能夠有效促進高中生門數學思維的發展和能力的提升。同時，解題過程中，我們還應當掌握每個方法的本質，而不能生搬硬套，否則問題答案南轅北轍。要想達到良好的學習效果，同時也需要老師們與我們互相配合，才能不斷提高學習數學的效率和學習質量。