淺談二次函數在高中數學學習中的重要性

章亦邁

G633.6

在高中代數中有一塊很重要的內容，那就是二次函數。二次函數概念非常簡單，但它具有豐富的內涵和外延。可以作為函數來研究，同時可以結合圖形來研究。它是最基本的初等函數，我們可以以它為素材，來研究函數的單調性、奇偶性、最大（小）值等性質，還可建立起二次函數、一元二次方程、一元二次不等式之間的有機聯系；結合圖形，二次函數的圖象是一條拋物線，它可以聯系其它平面曲線討論相互之間的關系。

我們在高中階段，討論這些形式的體形是非常多見的。二次函數復雜的縱橫聯系，使得圍繞二次函數可以編制出多種多樣、復雜多變的數問題。在高中代數的函數及其圖象這一章中，圍繞變化、變量、運動等蘊含著豐富的辯證觀點。通過研究恒量、變量變化和運動的關系，我們也能深刻的認識事物變化的哲學思想，對我們唯物主義世界觀的建立同樣具有很大的幫助。

一、常量與變量以及在運動軌跡的體現

我們在哲學的學習中，馬克思主義辯證法告訴我們，世界是普遍聯系的，也是不斷運動、變化、發展的。常量是相對于某一變化或者某一變量的，是相對的，世界上沒有絕對的常量。我們明白了這個道理，才能理解并準確假設其條件，確定參考系。既然運動是絕對的，靜止時相對的，那么相對的常量也是存在的，而絕對的常量是不存在的。我們可以以勻加速直線運動為例，加速度是常量，而時間和路程是變量；而實際生活中，絕對的勻加速直線運動是不存在的，而隨時可能發生的加速或者急速才是絕對存在的。這反映在圖像中就呈現出曲線的變化，我們通過曲線的軌跡，可以直觀的呈現在眼前，更好的理解這一數學模型的構建。

在學習過程中，我們通過抽象的數學表達式，建立形象的圖像表達，使我們快速直觀的理解其含義。

二、同一參考系中的運動與靜止

前面我們討論過，絕對運動與相對靜止之間的辯證關系。我們研究速度，路程，時間的關系，就必須在同一參考系當中。例如我們看y=2xx+5這樣一個表達式，可以畫出其圖像，但請想一想，圖像看似靜止，你是否可以畫出完整的圖像呢？顯而易見，你永遠無法畫出其完整的圖像，因為它是向兩端無限延伸的，是不斷運動變化發展的，表達式中變量x、y常量2、5都是在同一參考系中存在的。這一例證，也體現了整體與局部的辯證關系這一哲學思想。我們以局部的圖象來表現整體的變化規律。

三、二次函數在高中數學中的重要性

高中數學階段二次函數極其重要，想要完全掌握并且運用的爐火純青就必須從基礎一點點抓起，循序漸進做到得心應手。其重要性表現在：

1.知識點重要，高考出題比重大，出題形式多樣

通常判斷一個函數是不是二次函數，首先觀察它的表達式，形如其中a不等于零。這個是它的一般表達式，另外常用的它還有頂點式跟交點式這兩種，比如f（x）=2（x-1）（x-4）這個是交點式，1跟4分別是函數跟x軸的兩個交點。

（1）利用表達式透露出的知識點

函數表達式中的abc這三個參數決定了函數的性質，二次函數的曲線是拋物線，以x=-b/2a對稱軸，以（-b/2a，（4ac-bb）/4a）為定點的坐標，還可以根據函數二次項參數a的正負來判斷曲線的開口方向，當參數a為正數時向上參數a為負數時向下。函數的判別式為m=bb-4ac，通過判別式中m的符號斷定曲線跟橫軸的交點個數，m為正時是兩個交點，m為負時是沒有交點，m為零時是一個交點，也就是兩個交點重合，曲線相切于橫軸。

以上是基礎知識點，我們可以輕松地解決一些簡單的計算題，比如函數是二次函數，知道函數跟橫軸的交點，我們就可以利用待定系數法求解函數的確切表達式。

（2）二次函數的單調性

高中數學二次函數的學習，單調性是一個重點出題方向。二次函數的單調性以拋物線的對稱軸為界限，分成兩部分，一邊單調遞增，一邊單調遞減。我們學習過程中，理解自變量有范圍比較困難，分段函數在某區間內單調遞增或遞減，此時我們利用圖形來分析，形象直觀容易理解。

（3）二次函數的極值特性

高中數學求極值是常見題型，已經提到二次函數的圖像是拋物線，那么對于不限定自變量范圍的函數，對稱軸處的函數值便是函數的最大值或者最小值，我們要把函數的基礎知識了如指掌，做起題來才事半功倍。。

2.二次函數應用廣泛

（1）與一元二次不等式接軌

中學數學的學習過程中，一元二次不等式的內容也是一個重要的知識點，這也就要求我們學習一元二次函數要打下堅實的基礎。我們根據一致的不等式求解范圍。第一步首先看判別式。第二步把不等式暫且看做等式，求解出變量值。第三步是依據二次項正負判斷開口，畫出大致圖像。最后看圖像找所要求的變量范圍。如果不能掌握二次函數，對于此類題目我們就會束手無策。

（2）與求函數的定義域、值域相融合

例如：已知函數y=lg（xx+2mx+2），求：如果函數的定義域是全部實數集，試得出m范圍；如果值域是全部實數集，試得出m范圍。

第一問：問題等價于xx+2mx+2恒大于零，得出m大于負根號2小于正根號2。

第二問：問題等價于xx+2mx+2大于零恒有解，得出m大于等于根號2或者m小于等于負根號2。

此類問題看似是對數函數，許多同學看了就犯迷糊，感覺無從下手，主要原因還是對二次函數撞我不到位。

四、結束語：

經過以上探討，我們可以看出高中二次函數不僅是我們在考試中的重點，還與許多相關知識點密不可分，若果掌握不到位，就會影響整個高中階段數學的學習。更重要的是二次函數的基礎內容往往是哲學思想的體現，在我們整體構建數學思維上幫助很大，所以二次函數在我們高中的數學學習中應該重點、熟練掌握。