章亦邁
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在高中代數中有一塊很重要的內容,那就是二次函數。二次函數概念非常簡單,但它具有豐富的內涵和外延??梢宰鳛楹瘮祦硌芯?,同時可以結合圖形來研究。它是最基本的初等函數,我們可以以它為素材,來研究函數的單調性、奇偶性、最大(?。┲档刃再|,還可建立起二次函數、一元二次方程、一元二次不等式之間的有機聯系;結合圖形,二次函數的圖象是一條拋物線,它可以聯系其它平面曲線討論相互之間的關系。
我們在高中階段,討論這些形式的體形是非常多見的。二次函數復雜的縱橫聯系,使得圍繞二次函數可以編制出多種多樣、復雜多變的數問題。在高中代數的函數及其圖象這一章中,圍繞變化、變量、運動等蘊含著豐富的辯證觀點。通過研究恒量、變量變化和運動的關系,我們也能深刻的認識事物變化的哲學思想,對我們唯物主義世界觀的建立同樣具有很大的幫助。
一、常量與變量以及在運動軌跡的體現
我們在哲學的學習中,馬克思主義辯證法告訴我們,世界是普遍聯系的,也是不斷運動、變化、發展的。常量是相對于某一變化或者某一變量的,是相對的,世界上沒有絕對的常量。我們明白了這個道理,才能理解并準確假設其條件,確定參考系。既然運動是絕對的,靜止時相對的,那么相對的常量也是存在的,而絕對的常量是不存在的。我們可以以勻加速直線運動為例,加速度是常量,而時間和路程是變量;而實際生活中,絕對的勻加速直線運動是不存在的,而隨時可能發生的加速或者急速才是絕對存在的。這反映在圖像中就呈現出曲線的變化,我們通過曲線的軌跡,可以直觀的呈現在眼前,更好的理解這一數學模型的構建。
在學習過程中,我們通過抽象的數學表達式,建立形象的圖像表達,使我們快速直觀的理解其含義。
二、同一參考系中的運動與靜止
前面我們討論過,絕對運動與相對靜止之間的辯證關系。我們研究速度,路程,時間的關系,就必須在同一參考系當中。例如我們看y=2xx+5這樣一個表達式,可以畫出其圖像,但請想一想,圖像看似靜止,你是否可以畫出完整的圖像呢?顯而易見,你永遠無法畫出其完整的圖像,因為它是向兩端無限延伸的,是不斷運動變化發展的,表達式中變量x、y常量2、5都是在同一參考系中存在的。這一例證,也體現了整體與局部的辯證關系這一哲學思想。我們以局部的圖象來表現整體的變化規律。
三、二次函數在高中數學中的重要性
高中數學階段二次函數極其重要,想要完全掌握并且運用的爐火純青就必須從基礎一點點抓起,循序漸進做到得心應手。其重要性表現在:
1.知識點重要,高考出題比重大,出題形式多樣
通常判斷一個函數是不是二次函數,首先觀察它的表達式,形如其中a不等于零。這個是它的一般表達式,另外常用的它還有頂點式跟交點式這兩種,比如f(x)=2(x-1)(x-4)這個是交點式,1跟4分別是函數跟x軸的兩個交點。
(1)利用表達式透露出的知識點
函數表達式中的abc這三個參數決定了函數的性質,二次函數的曲線是拋物線,以x=-b/2a對稱軸,以(-b/2a,(4ac-bb)/4a)為定點的坐標,還可以根據函數二次項參數a的正負來判斷曲線的開口方向,當參數a為正數時向上參數a為負數時向下。函數的判別式為m=bb-4ac,通過判別式中m的符號斷定曲線跟橫軸的交點個數,m為正時是兩個交點,m為負時是沒有交點,m為零時是一個交點,也就是兩個交點重合,曲線相切于橫軸。
以上是基礎知識點,我們可以輕松地解決一些簡單的計算題,比如函數是二次函數,知道函數跟橫軸的交點,我們就可以利用待定系數法求解函數的確切表達式。
(2)二次函數的單調性
高中數學二次函數的學習,單調性是一個重點出題方向。二次函數的單調性以拋物線的對稱軸為界限,分成兩部分,一邊單調遞增,一邊單調遞減。我們學習過程中,理解自變量有范圍比較困難,分段函數在某區間內單調遞增或遞減,此時我們利用圖形來分析,形象直觀容易理解。
(3)二次函數的極值特性
高中數學求極值是常見題型,已經提到二次函數的圖像是拋物線,那么對于不限定自變量范圍的函數,對稱軸處的函數值便是函數的最大值或者最小值,我們要把函數的基礎知識了如指掌,做起題來才事半功倍。。
2.二次函數應用廣泛
(1)與一元二次不等式接軌
中學數學的學習過程中,一元二次不等式的內容也是一個重要的知識點,這也就要求我們學習一元二次函數要打下堅實的基礎。我們根據一致的不等式求解范圍。第一步首先看判別式。第二步把不等式暫且看做等式,求解出變量值。第三步是依據二次項正負判斷開口,畫出大致圖像。最后看圖像找所要求的變量范圍。如果不能掌握二次函數,對于此類題目我們就會束手無策。
(2)與求函數的定義域、值域相融合
例如:已知函數y=lg(xx+2mx+2),求:如果函數的定義域是全部實數集,試得出m范圍;如果值域是全部實數集,試得出m范圍。
第一問:問題等價于xx+2mx+2恒大于零,得出m大于負根號2小于正根號2。
第二問:問題等價于xx+2mx+2大于零恒有解,得出m大于等于根號2或者m小于等于負根號2。
此類問題看似是對數函數,許多同學看了就犯迷糊,感覺無從下手,主要原因還是對二次函數撞我不到位。
四、結束語:
經過以上探討,我們可以看出高中二次函數不僅是我們在考試中的重點,還與許多相關知識點密不可分,若果掌握不到位,就會影響整個高中階段數學的學習。更重要的是二次函數的基礎內容往往是哲學思想的體現,在我們整體構建數學思維上幫助很大,所以二次函數在我們高中的數學學習中應該重點、熟練掌握。