關于高中數學概率論探究

李泓顥

G633.6

縱觀數學發展的歷史，數學這門科學曾出現三次重大的飛躍.第一次是從算數到代數的過度，第二次是常量數學到變量數學的過度，第三次就是從確定數學到隨機數學的過度。從哲學的角度講，世界是變化的，世界唯一不變的本質就是無時無刻在變化。現實世界的隨機本質使得各個領域從確定性理論轉向隨機理論成為自然；而隨機數學就是研究事物變化的最主要的數學工具。概率論是隨機數學中最基礎的部分，使我們高中學生所必修的一門基礎課.但我們已經習慣了用確定思維方式去學習數學，在學習概率論時時常會感覺到基本概念抽象難以理解，思維難以發散展開。這些都使得我們對這門課望而生畏，甚至有放棄的念頭。我認為在概率論的學習過程中建立學習隨機數學的思維方法就十分重要。作為高三生，在學習過程中有一些心得在這里想跟大家探討。

一、了解數學的發展歷史，概率論產生的時代背景

這不僅是了解一點點知識，而是從應用的角度，生活的角度宏觀的了解這門學科的實用意義 ，也是思維中建立數學模型的一個基礎。比如說概率論中最重要的分布——正態分布，就是在18 世紀，為解決天文觀測誤差而提出的.在17到18 世紀，由于觀測儀器不完善以及經驗缺乏等原因，天文觀測誤差很大，是天文學發展的重要問題，科學家投入了大量的研究。1733年，由德國的數學家和天文學家德莫弗（DeMoivre）首次提出正態分布概念，德國數學家高斯（Gauss）率先將正態分布應用于天文學研究，他指出正態分布可以很好地“ 擬合” 誤差分布，故正態分布又叫高斯分布。時至今日，正態分布公認為最重要的一種概率分布，也是應用最廣泛的一種連續型分布。我們知道概率論中，古典概型要求樣本空間有限，而幾何概型恰好可以消除這一條件，這兩種概型我們不難理解。但是繼而出現的概率公理化定義，我們總認為抽象、難以理解。尤其是概率公理化定義里出現的σ 代數這一概念：設Ω 為樣本空間，若Ω 的一些子集所組成的集合？ 滿足下列條件：（1）Ω∈？ ；（2）若A∈ ？ ，則A∈ ？ ；（3）若∈ n A ？ ，n =1， 2，？？，則∈∞=nnA ∪1？ ，則我們稱 ？ 為Ω 的一個σ 代數。我們怎樣才能更好的理解這一概念呢？很多同學相比之下更適合形象思維，于是我們引入幾何概型的一點歷史，幫助理解為什么要建立概率的公理化定義，為什么需要σ 代數。幾何概型計算方法是19 世紀末新發展起來的，是在古典概型基礎上進一步的發展，是等可能事件的概念，從有限向無限的延伸。1899 年，法國學者貝特朗提出了所謂“ 貝特朗悖論” ，矛頭直指幾何概率概念本身.這個悖論是：給定一個半徑為1 的圓，隨機取它的一條弦，問：

弦長不小于3 的概率為多大？對于這個問題，我們假定端點在圓周上均勻分布，結果概率等于1/3；假定弦的中點在直徑上均勻分布，得出概率為1/2；假定弦的中點在圓內均勻分布，隨之概率又等于1/4。同一個問題，竟有3 種不同的答案，原因在于取弦時采用了不同的等可能性假定！這3 種答案針對的是3 種完全不同的隨機試驗，于各自的隨機試驗而言，都是正確的.因此在使用“ 隨機” 、“ 等可能”、“ 均勻分布” 等條件概念時，應明確其含義，這又因試驗而不同而不同.也就是說我們在假定端點在圓周上均勻分布時，就不能考慮弦的中點在直徑上均勻分布或弦的中點在圓內均勻分布所對應的事件。換言之，我們在假定端點在圓周上均勻分布時，只把端點在圓周上均勻分布所對應的元素看成為事件。

二、廣泛運用案例學習法

案例與一般例題不同，它有產生問題的實際背景，并能夠為我們所理解。我們通過案例引導到實際問題中去，通過分析和討論，提出解決問題的途徑和方法。我們可以從直觀性、趣味性和易于理解的角度把概率論基礎知識加以認知。條件概率一節時有一個有趣的案例——“ 瑪麗蓮問題” ：十多年前，美國的“ 瑪利亞幸運搶答”

了這樣一道題在電臺公布：三扇門的背后，我們分別定義為1號、2號、3號，分別藏了兩只羊與一輛小汽車，如果你猜對了藏汽車的門，汽車就歸你所有。如果你第一個選擇了1 號門，然后主持人打開了剩余兩扇門其中的一個，這扇門背后是只羊，你看到了，接著問你是否應該重新選擇，以增大猜對汽車的概率？

這個問題與類似于當前電視上一些娛樂競猜節目，我們很容易積產生興趣。討論的結果是這個問題的答案與主持人是否知道所有門背后的東西相關，這樣就可以很自然的理解條件概率。在這樣熱烈的氣氛里學習新的概念，一方面使得我們積極性高漲，另一方面讓我們認識到所學的概率論知識與我們的日常生活息息相關。因此在學習概率論基礎知識時，關注有關經典的案例，會幫助我們理解。例如看電影《賭神》時，我們分析撲克牌出現三A的概率或者同花順的概率；再比如我們看世界杯時分析某支球隊的奪冠概率等。

總之，在概率論的學習中，建立學習隨機數學的思維方法，通過信息手段的多樣化，來豐富的所學內容，加深我們對客觀隨機現象的理解與認知。概率論在我們的生活中應用廣泛，我們必須掌握這些知識，以便于我們今后的工作和學習中靈活運用。