不失一般性，追求簡捷性

甘肅省會寧縣第五中學 薛蓮花

不失一般性，追求簡捷性

甘肅省會寧縣第五中學 薛蓮花

追求簡捷是數學解題永恒的主題，簡捷美是數學美的基本特征, 簡捷性原則是數學思維的優化，解題實踐的優化，體現著數學的內在美。追求解題的簡捷，是根據一般性寓于特殊性之中的原則進行的，在不失一般性的前提下，根據不同題型選擇最佳方案，避繁就簡，使問題迅速得到求解。在解題時對于簡捷美的追求,不僅能激發鉆研數學的興趣,而且往往可以獨辟蹊徑,發現優美而簡捷的妙解。

簡捷性；問題特殊化；數形結合；巧妙代換

簡捷性原則是數學思維的優化，解題實踐的優化，體現著數學的內在美。追求解題的簡捷，是根據一般性寓于特殊性之中的原則進行的，在不失一般性的前提下，根據不同題型選擇最佳方案，避繁就簡，使問題迅速得到求解。

一、應用概念，法則解題

數學概念通常是以定義、性質的形式表達的，而法則、結論又是概念推理的結晶。因此，利用定義、性質、法則和結論的鑰匙，能溝通數學問題的內在聯系，使解答簡捷明快。

例1 已知過拋物線y2=2px(p＞0）的焦點F的直線l依次交拋物線及其準線于A,B,C三點，若，求拋物線的方程。

分析：分別過A,B兩點作AD,BG垂直準線于點D，G。

∴拋物線方程為y2=3x。

二、問題特殊化

在某些情況下，特殊化方法能認識事物的本質，個性寓于共性之中。選擇題和填空題的特征值法，就是基于這個原則。

例2 E、F分別是△ABC的邊AB、AC的中點，△AEF和梯形EFCB繞BC旋轉一周所得的幾何體的體積分別是V1、V2，則V1，V2的大小關系是_________。

分析：如圖1所示，設BE=DF=r，BC=h，

注：本題既是形的特殊化，又是量的特殊化，兩者結合，獨辟蹊徑，干脆利落。

圖1

三、數形結合

數與形緊密聯系，相輔相成。華羅庚說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微?！庇行盗拷柚趫D形，可使抽象的概念和復雜的關系直觀化、形象化、簡單化。特別是那些不要求表示推理計算過程的選擇題和填空題，更宜于運用圖象直接答題。

分析：求出函數f(x)的表達式，畫出f(x)的圖象，數形結合求解。

圖2

四、仔細觀察，先入為主

觀察是解題的第一步，許多優美的解法正是來自于深刻、敏銳的觀察。仔細審題，分清條件和結論，然后打破常規，迅速解答。

例4 已知正四面體的棱長為a，求此四面體對棱上兩點的最短距離。

分析：異面直線上兩點間距離公垂線段最短。易證正四面體對棱中點的連線就是其公垂線段。因此，所求的最短距離是。

注：求最（極）值一般先建立目標函數，再求函數的最（極）值，本題繞過了建立目標函數這一步，妙不可言。

五、整體思維，巧妙代換

中學數學是由代數、三角函數、立體幾何、平面解析幾何等有機結合的一個整體，各種量之間也有著內在的聯系。因此，解題中從全局著眼，整體把握條件和結論，擺脫局部細節中一時難以弄清的數量關系的糾纏，常常會收到事半功倍之效。

例5 在球面上有P、A、B、C的四點，若PA、PB、PC兩兩垂直，且PA＝PB＝PC＝a，那么此球面的面積是多少？

分析：解本題時，大都先設法求出過A、B、C的圓半徑，再根據球截面有關性質求球半徑而得球表面積。若從局部到整體，以PA、PB、PC為棱構成球內接正方體，從整體出發考察，球的直徑恰好是此正方體的對角線長，這樣可立即求得球面積為3a2。

[1]王淼生.追求簡捷是數學解題永恒的主題——從均值不等式在競賽題中的應用談起[J].中學數學月刊，2013（6）.

[2]齊紅.數學的簡捷美及其在解題中的應用[J].新課程：教育學術，2011（3）：109-110.