“節外”未必“生枝”
——兩角和與差的余弦的教學掠影及反思

江蘇省句容市實驗高中 劉洪志

“節外”未必“生枝”
——兩角和與差的余弦的教學掠影及反思

江蘇省句容市實驗高中 劉洪志

《三角恒等變換》是蘇教版普通高中課程標準試驗教科書必修4中的一章，是前面所學任意角三角函數、誘導公式的延伸和發展，是培養學生推理能力和運算能力的重要素材?！皟山呛团c差的余弦”是本章的起始內容，是后續學習兩角和與差的正弦、正切以及二倍角公式的知識基礎和方法源泉。由于向量還沒有學習，所以在教學過程中要引導學生采用單位圓，利用兩點間的距離公式推導兩角差的余弦公式，由于教學的對象是三星級普通高中的學生，有一定的邏輯思維能力，對用一般到特殊、數形結合、化歸與轉化、方程思想已經有了一定基礎，但遠遠未達到綜合運用這些方法自主探究和證明兩角和與差余弦公式的水平，因此在課的設計上先利用幾何法得出公式，再利用單位圓進行嚴格證明。

下面是筆者本節教學中的部分實錄，藉此闡明課堂教學中尊重學生的發現，體現學生學習的主體性。

一、新課引入部分

師：我校正在進行校園安全檢查安裝工程，工人師傅加固學校的空調外機，發現他們把墻上的小支架（如圖1）焊接改造成大支架（如圖2）,為了增加穩定性，再增加一個焊點，使立柱CE⊥AD。

已知：在Rt△ABD中，∠ABC=90°，∠AEC=90°，∠DAB=α,∠CAB=β,AC=1，求AE的長。

圖1

圖2

師：大家思考能不能用α，β的三角函數表示？（學生通過小組討論，有同學展示討論結果）

生2：AE=AD-DE，分別在兩個直角三角形：△ABD，△CDE中來解決問題。

投影學生的解法如下：

師：根據“算兩次”的思想方法，兩個式子都表示AE，所以有：

思考：魯賓斯基曾經說過：“對于形成任何一種能力，都必須首先引起對某種類型活動的十分強烈的需要。”教學中要多些出自身邊的問題、學生感興趣的問題，使他們倍感親切，躍躍欲試，尤其是解直角三角形問題，學生可以有很大的思考和活動的空間，為一般化證明奠定了目標基礎。

二、公式證明部分

師：同學們已經有了處理任意角三角函數問題的，體驗了誘導公式的證明，我們是利用了什么圖形解決的？

生（全體）：利用單位圓。

師：要證明這個等式對任意角都成立，如果找不到其他辦法，不妨就回到我們熟悉的單位圓中來解決問題。

師：請同學們根據下面問題進行小組交流：

問題1：如何在單位圓中做出角α，β，α-β的終邊呢？

問題2：角α，β，α-β的終邊與單位圓交點P1，P2，P3的坐標是什么？

問題3：如何將角α，β，α-β的終邊與單位圓的交點P1，P2，P3的坐標與聯系起來？怎樣建立這種等量關系呢？

獨白：現行的教學理念很崇尚學生探究，實際教學當中如果放手學生自主探究，很多時候會變成漫無目的的探索，常常是無疾而終，在數學教學當中要提升教學的有效性，應該注重數學教學的四個原則：即數學化的原則，適度形式化的原則，問題驅動化原則和滲透數學思想方法的原則。在此環節的處理上采用了“活動單”的方式，布置學生進行小組合作探究，逐步展開，降低公式推導理解難度，進而解決問題，并請同學展示自己的研究成果。先與學生共同確定要探究的內容和目標，明確探究的方法再讓學生進行探究，排除更多的無關因素的干擾，力求學生把更多精力放在公式的尋找和證明當中。

（學生經過8分鐘左右的討論，有一個小組發表了自己的研討結果）

生1：我是這樣作圖的（如圖3所示）：

由三角函數的定義得到：

我發現點P1，P2，P3的坐標有公式中的三角函數，我想要把坐標聯系起來。

圖3

由兩點間的距離公式得：

（這位學生數學成績很好，平常肯鉆研，講解非常清楚，全體同學也都表示了充分肯定。就在課程將要繼續時，又有一位同學舉手示意，我們稱為學生2，學生2數學成績一般，但是很刻苦，為了鼓勵學生積極思考，我示意他回答。）

學生2：老師，我的作圖和學生1類似，我也是找兩條線段相等，我找的是P0P2=P1P3。

列出式子: