空溝對平面縱波隔離效果的理論解答

徐 平

(鄭州大學 水利與環境學院，鄭州 450001)

空溝對平面縱波隔離效果的理論解答

徐 平

(鄭州大學 水利與環境學院，鄭州 450001)

借助復變函數的保角變換法將有限長度的空溝映射變換為單位圓，根據空溝四周完全自由的邊界條件，運用波動函數展開法得到了空溝對縱波(P波)和剪切波(SV波)隔離的理論解答。引入位移比值(屏障后某點由入射波波、散射波產生的總位移與入射波單獨產生的位移之比)，以入射P波為例，計算了溝寬0.4 m、溝長分別為3.0 m、4.0 m、5.0 m和6.0 m共4條空溝的位移比值，通過比較發現：隨著空溝長度的增加，最佳隔振效果明顯提高，區域明顯增大；當空溝長度達到6.0 m時，靠近空溝的區域的隔振效果超過了70%，隔振效果比較理想。最后對比了空溝和單排柱腔列的隔振效果，結果表明：由于單排柱腔列產生波的透射和繞射，而空溝僅產生波的繞射，6.0 m長空溝的最佳隔振效果與8根半徑1.0 m的單排柱腔列相當，因此在場地和施工條件都允許的前提下，宜優先考慮空溝進行隔振。

空溝；平面縱波；隔離效果；保角映射；隔振設計

隨著我國城鎮化的迅猛發展，各種建筑和交通設施(交通干道、地鐵、高架等)都得到大量的建設，居民區、商業中心、工業區和交通干道逐漸形成一個立體的交通網，使得我們整個城市幾乎每時每刻都在產生著頻率高、荷載循環次數大的人工振動[1]。人工振動已經成了一種新形式的環境污染，并被列為世界七大環境公害之一。

屏障是緩解人工振動強度的主要措施，屏障一般分為連續屏障和非連續屏障兩種形式[2]。目前，關于空溝和填充溝等形式的連續屏障已經進行了大量的試驗和數值模擬：① 試驗方面：RICHART[3]通過空溝隔振試驗提出了隔振效果評價指標；ERKAN等[4]采用電動搖振器產生激振荷載，通過測試和對比加速度信號研究了空溝的隔振效果；徐平等[5]采用FWD(落錘式彎沉儀)的重錘產生沖擊荷載，通過對比測試和對比豎向位移分析了空溝的隔振效果；ULGEN等[6]采用總重80 kN、偏心重10 kN的振動壓路機產生激振荷載，分析了頻率、土層參數和空溝尺寸等對空溝隔振效果的影響；② 在數值模擬方面：ADAM等[7]采用FEM-BEM耦合方法研究了空溝對列車荷載的隔振問題；淳慶等[8]采用ANSYS軟件模擬了空溝對強夯施工的隔振問題，通過數值擬合給出了空溝隔振效果的近似公式；王曉等[9]運用ANSYS軟件模擬了上海自由電子激光工程的三維空溝隔振問題。

上述研究結果表明，空溝對強夯施工、交通荷載、沖擊振動等都具有比較理想的隔振效果，溝深是影響空溝隔振振效果的主要因素，而溝寬對隔振效果影響不大。連續屏障和非連續屏障等被動隔振機理可以從波動理論作出定性解釋：在振源與保護建(構)筑物之間設立屏障，阻斷振動波傳播途徑，消耗振動波攜帶的能量，進而達到隔振或減振的目的。但當前關于空溝隔振的研究主要集中于試驗和數值模擬，而未見基于波動理論開展的研究報道。本文借助復變函數的積分變換法將有限長度的隔振溝變換為單位圓，運用波函數展開法建立空溝對平面P波和SV波隔振的理論解答，以入射平面P波為例，分析了空溝的隔振效果，最后從波的傳播機理上對比了空溝與單排柱腔列屏障的隔振效果。

1 空溝對P波的散射解答

土體內傳播兩種彈性波：P波(傳播方向和偏振方向一致)和S波(傳播方向和偏振方向垂直)，而S波又可進一步分解成SH波(偏振方向水平)和SV波(偏振方向豎直)。SH波散射時只包含SH波成分，而P波和SV波會產生耦合散射，即散射波同時包含P波和SV波成分，因此關于空溝對P波和SV波隔離問題的研究思路是一致的，本文首先給出空溝對P波隔離問題的解答。

將土體視為各向同性的無限均質彈性體，不計空溝深度的影響，采用復變函數的保角變換方法[10]，引入保角變換z=ω(η)可將寬度為a、長度為b的空溝從Z平面映射為η平面內的單位圓，如圖1所示。

在η平面內取η=rexp(iθ)，其中，r和θ為η點的極坐標，r和x軸的夾角為γ，如圖2所示。

圖2 極坐標系和直角坐標系的關系Fig.2 Relationships between polar and rectangular coordinate system

對于頻率為ω的入射P波，在直角坐標系(x,y)下，其勢函數可以寫成

φinc=φ0exp[ikp(xcosα+ysinα)]

(1)

(2)

采用保角變換z=ω(η)，式(2)可進一步寫成

(3)

(4a)

(4b)

采用z=ω(η)保角變換后，式(4)可進一步寫成

(5a)

(5b)

在極坐標系(r,θ)下，正應力σr和剪應力τrθ的求解公式為[11-12]

(6a)

(6b)

假定空溝四周完全自由，即應力為零

(7)

將式(3)、(5)和(6)代入式(7)，經過整理可得關于待定復系數An和Bn的無窮線性方程組

(8)

上式簡寫成

(9)

式中：λ*=λ/μ。

將式(9)左右兩端同乘以e-imθ，并對變量θ在區間[-π,π]上求積分，則得到關于待定復系數An和Bn的理論解的無窮線性方程組

(10)

(11a)

(11b)

在極坐標系(r,θ)下，徑向位移ur和環向位移uθ的求解公式為[11-12]

(12a)

(12b)

將式(3)和(5)代入式12(a)和12(b)可得任意一點處由入射P波、散射P波和SV波引起的位移

(13a)

(13b)

(13c)

(13d)

2 空溝對SV波的散射解答

(14)

(15a)

(15b)

3 隔振效果分析

3.1 空溝隔振效果分析

入射P波和SV波的結論比較接近，限于篇幅，本文只給出入射平面P波的數值計算結果。

對于極坐標系下的任一點(rj,θj,)，uy和u0可由下式確定

(16a)

(16b)

土體內波縱和橫波的波速分別取cp=160 m/s和cs=100 m/s，固有圓頻率取ω=75 Hz；空溝寬度a取0.4 m，長度b分別取3.0 m、4.0 m、5.0 m和6.0 m。通過計算得到空溝后一定區域內(-10 m≤x≤10 m，0≤y≤200 m)的|uy/u0|等值線，如圖3所示。

從圖3可以看出，當空溝長度b由3.0 m增大到6.0 m時，相同|uy/u0|等值線所占的區域面積明顯增大，以|uy/u0|≤0.6(即隔振效果≥40%)為例，區域面積分別為4 m2、400 m2、900 m2和3 400 m2；特別是當b=6.0 m時，隔振效果比較理想，空溝后y≤100 m區域的隔振效果超過了50%，y≤80 m區域的隔振效果超過了60%，y≤50 m區域的隔振效果超過了70%，空溝后近處的隔振效果好于遠處。

(a) b=3.0 m

(b) b=4.0 m

(c) b=5.0 m

3.2 空溝與單排柱腔屏障隔振效果對比

作為對比，根據文獻[13]，取單排柱腔組成的非連續屏障參數如下：柱腔數為8、半徑為1.0 m、間距為s=3.0 m，整體寬度為23.0 m。單排柱腔和空溝的尺寸如圖4所示。

圖4 單排柱腔屏障和空溝示意圖Fig.4 A row of cylindrical cavities and an open trench

圖5 單排柱腔屏障后的|uy/u0|等值線Fig.5 Contours of |uy/u0| behind a row of cylindrical cavities

比較圖5和3(d)可以發現，8根半徑為1.0 m的柱腔列構成的非連續屏障(屏障的整體寬度為23.0 m)對P波的隔離效果與長度為6.0 m、寬度為0.4 m的空溝基本相當，在y≤100 m區域的隔振效果均超過50%，屏障后近處的隔振效果均好于遠處，上述現象可從彈性波的傳播機理上可以進行如下解釋，單排柱腔列的隔振效果主要取決于彈性波在柱腔之間空隙的透射，而空溝的隔振效果主要取決于彈性波在空溝兩端的繞射，盡管空溝(連續屏障)的長度低于單排柱腔列的整體長度，但不產生透射，能更有效地截斷彈性波的傳播途徑，因此空溝比單排柱腔列更有利于隔振。

4 結 論

運用復變函數的保角映射方法和波場勢函數展開法，建立了有限長度的空溝對P波和SV波隔離問題的理論解，并給出了空溝對P波隔離的數值解答，通過對比分析得到以下主要結論：

(1) 隨著空溝長度的增加，有效隔振效果明顯提高，區域明顯增大，對于寬度為0.4 m、長度為6.0 m的空溝，其對P波的隔離效果比較理想，屏障后y≤50 m區域的隔振效果超過70%；

(2) 由于空溝(連續屏障)不產生透射，在空溝長度遠低于單排柱腔列(非連續屏障)整體長度的情況下，空溝對P波的隔振效果與單排柱腔列相當，因此，在場地和施工條件都允許的前提下，宜優先采用空溝進行隔振。

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Theoretical analysis for isolation effect of an open trench on plane longitudinal waves

XU Ping

(School of Water and Environment, Zhengzhou University, Zhengzhou 450001, China)

An open trench with finite length was transformed to a unit circle with the conformal mapping method of complex functions, the boundaries of the trench were considered as free, theoretical solutions to isolation problems of longitudinal waves (P waves) and shear waves (SV waves) with an open trench were obtained based the wave function expansion method.The normalized displacement amplitudes were introduced, they were the ratios of displacement amplitudes of soil behind a barrier caused by both incident P or SV waves and scattering P and SV waves to those only by incident P or SV waves.Only incident P waves were taken as examples, and 4 trenches with a width of 0.4 m and lengths of 3.0 m, 4.0 m, 5.0 m and 6.0 m were analyzed.The results showed that the isolation effect and effective isolation zones increase obviously when the trench length increases from 3.0 m to 6.0 m, and the isolation effect exceeds 70% behind the trench when its length is 6.0 m, it reaches the in-situ test results of an open trench to isolate the impact loads.Finally, the isolation effect of an open trench and that of a discontinuous barrier composed of a row of cylindrical cavities were compared, and the results showed that because wave diffracting and trasmitting occur in a row of cylindrical cavities while only wave diffracting occurs in a trench, so the isolation effect of a trench with length of 6.0 m is equivalent to that of a row of 8 cylindrical cavities with a radius of 1.0 m, and so an open trench is the first and the best choice for the vibration isolation under the permission of field and operation conditions.

open trench; plane longitudinal waves; isolation effect; conformal mapping method; vibration isolation design

國家自然科學基金(51475164)；河南省高校科技創新人才支持計劃(14HASTIT050)

2015-09-07 修改稿收到日期：2015-11-07

向玲 女，博士,教授，1971年生

TU435

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.05.011