與正整數(shù)n-color有序分拆相關(guān)的一些恒等式

郭 育 紅

( 河西學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 甘肅 張掖 734000 )

與正整數(shù)n-color有序分拆相關(guān)的一些恒等式

郭 育 紅*

( 河西學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 甘肅 張掖 734000 )

首先給出了正整數(shù)自反的n-color有序分拆數(shù)與Fibonacci數(shù)、Lucas數(shù)之間的幾個(gè)關(guān)系式．然后利用其中的一個(gè)關(guān)系式給出了正整數(shù)ν的右端分部量不等于11的n-color有序分拆數(shù)與正整數(shù)的分部量是1、2的有序分拆數(shù)、分部量是奇數(shù)的有序分拆數(shù)、分部量大于1的有序分拆數(shù)之間的一些恒等式，并給出了組合證明．

n-color有序分拆；Fibonacci數(shù)；Lucas數(shù)；恒等式；組合證明

0 引 言

在整數(shù)分拆理論中，MacMahon[1]第一次定義了正整數(shù)的有序分拆，即在正整數(shù)的分拆中考慮了分部量的次序．例如，3的無(wú)序分拆有3，2+1，1+1+1共3個(gè)；而3的有序分拆有3，2+1，1+2，1+1+1共4個(gè)．Agarwal等在文獻(xiàn)[2]中拓廣了正整數(shù)無(wú)序分拆的概念，給出了正整數(shù)的n-color無(wú)序分拆．即在正整數(shù)ν的無(wú)序分拆中對(duì)于每一個(gè)分部量n著n種不同的顏色．他們將這n種顏色用下標(biāo)表示為n1，n2，…，nn．例如，3的n-color無(wú)序分拆有31，32，33，21+11，22+11，11+11+11共6個(gè)．在2000年，Agarwal[3]又定義了n-color有序分拆．例如，3有8個(gè)n-color有序分拆：31，32，33，21+11，22+11，11+21，11+22，11+11+11．并在文獻(xiàn)[3]中給出：ν的n-color有序分拆數(shù)等于第2ν個(gè)Fibonacci數(shù)，即C(ν)=F2ν．近年來，對(duì)于正整數(shù)的n-color有序分拆產(chǎn)生了許多研究成果[3-7]．

2006年，Narang等在文獻(xiàn)[8]中又定義了自反的n-color有序分拆，并給出了自反的n-color有序分拆的相關(guān)性質(zhì)．他們?cè)谖墨I(xiàn)[8]中還給出了奇數(shù)2ν+1的自反的有序分拆數(shù)等于第2ν+1個(gè)Lucas數(shù)L2ν+1，即A2ν+1=L2ν+1．在文獻(xiàn)[8]中同樣給出了偶數(shù)2ν的自反的n-color有序分拆數(shù)等于3倍的ν的n-color有序分拆數(shù)，即A2ν=3C(ν)．

而本文作者又將n-color有序分拆的分部量做了約束，研究了自反的n-color偶有序分拆[9]、自反的n-color奇有序分拆[10]．同時(shí)還研究了自反的n-color有序分拆與n-color有序分拆之間的關(guān)系，在文獻(xiàn)[11-12]中給出了關(guān)于奇數(shù)2ν+1的自反的n-color有序分拆數(shù)、偶數(shù)2ν的自反的n-color有序分拆數(shù)與ν的n-color有序分拆數(shù)之間的關(guān)系式．

2013年，Shapcott在文獻(xiàn)[13]中給出了正整數(shù)的n-color有序分拆的一種符號(hào)表示，他利用一串符號(hào)“×”和“-”表示正整數(shù)的n-color有序分拆，即對(duì)于分部量λi，1≤i≤λ，用一串含有λ-1個(gè)“-”和一個(gè)“×”來表示，其中“×”所在的第i個(gè)位置表示分部量著第i種顏色；而兩個(gè)分部量之間用一個(gè)“×”分割．例如，n-color有序分拆21+11可表示成“-×××”．利用這種“×”和“-”表示，Shapcott建立了正整數(shù)的n-color有序分拆數(shù)與分部量是1或2的稱為1-2有序分拆的分拆數(shù)、分部量是奇數(shù)的稱為奇有序分拆的分拆數(shù)、分部量大于1的有序分拆數(shù)之間的一些恒等式．Shapcott在文獻(xiàn)[14]中將正整數(shù)ν的n-color有序分拆做了推廣，給出了分部量和著色集都是任意非負(fù)整數(shù)集上的C-color有序分拆，并且給出了關(guān)于自反的n-color有序分拆數(shù)與Fibonacci數(shù)Fn之間的一個(gè)結(jié)果．

最近，文獻(xiàn)[12]又給出了關(guān)于正整數(shù)的自反的n-color有序分拆數(shù)與偶數(shù)個(gè)Fibonacci數(shù)F2n、奇數(shù)個(gè)Lucas數(shù)L2n+1之間的關(guān)系式，并討論了與自反的n-color有序分拆相關(guān)的一些恒等式．

本文將進(jìn)一步研究正整數(shù)ν的自反的n-color有序分拆數(shù)與奇數(shù)個(gè)Fibonacci數(shù)F2n+1、偶數(shù)個(gè)Lucas數(shù)L2n之間的關(guān)系式，并進(jìn)而討論正整數(shù)ν的右端分部量不等于11的n-color有序分拆數(shù)與正整數(shù)的1-2有序分拆數(shù)、奇有序分拆數(shù)、分部量大于1的有序分拆數(shù)之間的一些恒等式．

1 定義和引理

1.1 定 義

定義1[8]如果正整數(shù)的一個(gè)n-color有序分拆的分部量從左向右讀和從右向左讀相等，則這個(gè)分拆叫自反的n-color有序分拆．

例如，3有4個(gè)自反的n-color有序分拆，它們是31，32，33，11+11+11．

定義2[8]Fibonacci數(shù)列是指F0=0，F(xiàn)1=1，且滿足Fn=Fn-1+Fn-2，n≥2．

定義3[8]Lucas數(shù)列是指L0=2，L1=1，且滿足Ln=Ln-1+Ln-2，n≥2．

1.2 引 理

引理1[13]正整數(shù)ν的n-color有序分拆數(shù)等于2ν-1的1-2有序分拆數(shù)．

引理2[13]正整數(shù)ν的n-color有序分拆數(shù)等于2ν的奇有序分拆數(shù)．

引理3[13]正整數(shù)ν的n-color有序分拆數(shù)等于2ν+1的分部量大于1的有序分拆數(shù)．

引理4[14]設(shè)Aν表示正整數(shù)ν的自反的n-color有序分拆數(shù)，F(xiàn)n表示第n個(gè)Fibonacci數(shù)．則

A2ν+1=F2ν+1+2F2ν

(1)

A2ν=3F2ν

(2)

這里ν>0．

引理5[12]設(shè)Aν表示正整數(shù)ν的自反的n-color有序分拆數(shù)，則

A2ν+2=3A2ν+1-A2ν

(3)

這里ν>0．

2 主要結(jié)果

首先給出正整數(shù)ν的自反的n-color有序分拆數(shù)與Fibonacci數(shù)、Lucas數(shù)之間的幾個(gè)關(guān)系式．

定理1 設(shè)Aν表示正整數(shù)ν自反的n-color有序分拆數(shù)，F(xiàn)n表示第n個(gè)Fibonacci數(shù)，Ln表示第n個(gè)Lucas數(shù)．則

A2ν+1-A2ν=F2ν-1

(4)

A2ν-A2ν-1=F2ν+1

(5)

A2ν+1-A2ν-1=L2ν

(6)

A2ν+2-A2ν=3F2ν+1

(7)

這里ν>0．

證明 式(4)的證明：由引理4及Fibonacci數(shù)的性質(zhì)有

A2ν+1-A2ν=F2ν+1+2F2ν-3F2ν=F2ν+1-F2ν=F2ν-1

式(5)的證明：由引理5及奇數(shù)2ν+1的自反的n-color有序分拆數(shù)與Lucas數(shù)及Fibonacci數(shù)的關(guān)系有

A2ν-A2ν-1=3A2ν-1-A2ν-2-A2ν-1= 2A2ν-1-A2ν-2= 2L2ν-1-3F2ν-2= 2(L2ν-1-F2ν-2)-F2ν-2= 2F2ν-F2ν-2=F2ν+1

式(6)的證明：由奇數(shù)2ν+1的自反的n-color有序分拆數(shù)與Lucas數(shù)的關(guān)系有

A2ν+1-A2ν-1=L2ν+1-L2ν-1=L2ν

式(7)的證明：由偶數(shù)2ν的自反的n-color有序分拆數(shù)與Fibonacci數(shù)的關(guān)系有

A2ν+2-A2ν=3F2ν+2-3F2ν=3F2ν+1

由定理1的式(7)及偶數(shù)2ν的自反的n-color有序分拆數(shù)與ν的n-color有序分拆數(shù)之間的關(guān)系，不難得到下面的一個(gè)結(jié)論，以推論的形式給出．

推論1 設(shè)C(ν)表示正整數(shù)ν的n-color有序分拆數(shù)，F(xiàn)n表示第n個(gè)Fibonacci數(shù)，則

C(ν+1)-C(ν)=F2ν+1

(8)

推論1中的C(ν+1)-C(ν)恰好是正整數(shù)ν+1的右端分部量不等于11的n-color有序分拆數(shù)，再結(jié)合Fibonacci數(shù)與正整數(shù)的1-2有序分拆、奇有序分拆、分部量不等于1的有序分拆之間的關(guān)系(引理1～3)，得到下面的幾個(gè)恒等式．

定理2 正整數(shù)ν的右端分部量不等于11的n-color有序分拆數(shù)等于2ν-2的1-2有序分拆數(shù)．

證明 用類似于Shapcott在文獻(xiàn)[13]中的方法證明．對(duì)于正整數(shù)ν的右端分部量不等于11的任意一個(gè)n-color有序分拆α，先寫出α的“×”和“-”符號(hào)圖Γ．由于分拆α的右端分部量不是11，在“×”和“-”符號(hào)圖Γ中，右端的符號(hào)要么是“-”，要么右端連續(xù)的兩個(gè)符號(hào)是“-×”．于是做如下變換：若Γ中右端是“-”，將“-”換成“×”；若Γ中右端符號(hào)是“-×”，直接將“×”刪掉，然后再在新的“-”和“×”符號(hào)圖中按照從左向右的順序，將“×”換成1，將“-”換成2．于是就得到了2ν-2的1-2有序分拆．這是因?yàn)樵讦偷暮衪個(gè)分部量的n-color有序分拆寫成的“-”和“×”符號(hào)圖中有2t-1個(gè)“×”，ν-t個(gè)“-”．做第一種變換后，“×”的個(gè)數(shù)增加了一個(gè)，即有2t個(gè)“×”；而“-”的個(gè)數(shù)減少了一個(gè)，即有ν-t-1個(gè)“-”．于是，得到的有序分拆的分部量之和是1×2t+2×(ν-t-1)=2ν-2；做第二種變換后，“×”的個(gè)數(shù)減少了一個(gè)，即有2t-2個(gè)“×”，而“-”的個(gè)數(shù)沒變，還是ν-t個(gè)，于是，得到的有序分拆的分部量之和是1×(2t-2)+2×(ν-t)=2ν-2．

例如，4的右端分部量不等于11的n-color有序分拆11+11+21產(chǎn)生6的1-2有序分拆1+1+1+1+1+1的過程如下：11+11+21→×××××-→××××××→1+1+1+1+1+1．

顯然，上述變換過程是可逆的，故結(jié)論成立．

□

以ν=3為例用表1給出定理2中的對(duì)應(yīng)關(guān)系．

表1 與1-2有序分拆的對(duì)應(yīng)關(guān)系

定理3 正整數(shù)ν的右端分部量不等于11的n-color有序分拆數(shù)等于2ν-1的奇有序分拆數(shù)．

證明 用類似于Shapcott在文獻(xiàn)[13]中的方法．對(duì)于正整數(shù)ν的右端分部量不等于11的任意一個(gè)n-color有序分拆α，先寫出α的“×”和“-”符號(hào)圖Γ．由于分拆α的右端分部量不是11，在“×”和“-”符號(hào)圖Γ中，右端的符號(hào)要么是“-”，要么右端連續(xù)的兩個(gè)符號(hào)是“-×”．于是做如下變換：若Γ中右端是“-”，將“-”換成“×”；若Γ中右端符號(hào)是“-×”，直接將“×”刪掉．

例如，4的右端分部量不等于11的n-color有序分拆11+11+21產(chǎn)生7的奇有序分拆1+1+1+1+1+1+1的過程如下：11+11+21→×××××-→××××××→-×-×-×-×-×-×-→1+1+1+1+1+1+1．

顯然，上述過程是可逆的，故結(jié)論成立．

□

以ν=3為例用表2給出定理3中的對(duì)應(yīng)關(guān)系．

表2 與奇有序分拆的對(duì)應(yīng)關(guān)系

定理4 正整數(shù)ν的右端分部量不等于11的n-color有序分拆數(shù)等于2ν的分部量大于1的有序分拆數(shù)．

證明 用類似于Shapcott在文獻(xiàn)[13]中的方法．對(duì)于正整數(shù)ν的右端分部量不等于11的任意一個(gè)n-color有序分拆α，先寫出α的“×”和“-”符號(hào)圖Γ．由于分拆α的右端分部量不是11，所以在“×”和“-”符號(hào)圖Γ中，右端的符號(hào)要么是“-”，要么右端連續(xù)的兩個(gè)符號(hào)是“-×”．于是做如下變換：若Γ中右端符號(hào)是“-”，將“-”換成“×”；若Γ中右端符號(hào)是“-×”，直接將“×”刪掉．

例如，4的右端分部量不等于11的n-color有序分拆11+11+21產(chǎn)生8的分部量大于1有序分拆的過程如下：11+11+21→×××××-→××××××→××××××××→8．上述過程顯然是可逆的，故結(jié)論成立．

□

以ν=3為例用表3給出定理4中的對(duì)應(yīng)關(guān)系．

表3 與分部量大于1的有序分拆的對(duì)應(yīng)關(guān)系

3 結(jié) 語(yǔ)

本文研究了正整數(shù)ν的自反的n-color有序分拆數(shù)與奇數(shù)個(gè)Fibonacci數(shù)F2n+1、偶數(shù)個(gè)Lucas 數(shù)L2n之間的關(guān)系，給出了幾個(gè)關(guān)系式．利用其中的一個(gè)關(guān)系式給出了正整數(shù)ν的右端分部量不等于11的n-color有序分拆數(shù)與正整數(shù)的1-2有序分拆數(shù)、奇有序分拆數(shù)、分部量大于1的有序分拆數(shù)之間的一些分拆恒等式，并給出了組合證明．理論上豐富了整數(shù)分拆恒等式．

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Some identities related to positive integern-color compositions

GUO Yuhong*

( School of Mathematics and Statistics, Hexi University, Zhangye 734000, China )

Firstly, some relations about the number of the self-inversen-color compositions of positive integer, the Fibonacci number and the Lucas number are given. Furthermore, using one relation, some identities about the number of then-color compositions of positive integerνwithout part 11on the right end, the number of the compositions with parts of size 1 and 2, the number of the compositions with odd parts and the number of the compositions with parts (>1) are obtained. And combinatorial proofs of identities are presented.

n-color compositions; the Fibonacci number; the Lucas number; identity; combinatorial proof

2016-04-28；

2016-11-28．

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11461020).

郭育紅*(1970-)，女，碩士，教授，E-mail:gyh7001@163.com.

1000-8608(2017)02-0216-05

O157

A

10.7511/dllgxb201702016