探究利用導數研究切線問題的解題視角

江蘇省南京市金陵中學高三（6）班 顧宇婧

探究利用導數研究切線問題的解題視角

江蘇省南京市金陵中學高三（6）班 顧宇婧

導數是高中數學限定選修課中的重要內容，是聯系中學數學與大學數學的紐帶，為以后進一步學習微積分奠定基礎。導數作為一種重要的數學解題工具，為研究高中函數問題提供了廣闊的思維空間，經過高考復習一個階段的學習，深感到導數在高考中的地位，尤其是解決與切線有關的問題成為歷年高考的熱點之一。為此，本文探究利用導數研究切線問題的幾個解題視角，供同學們復習時參考。

一、研究導數的幾何意義——切線的斜率問題

解題視角：利用導數的幾何意義k=f(x0)表示曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0)) 處切線的斜率，從而結合斜率與傾斜角正切函數的關系以及斜率與兩條直線位置的關系等知識解決問題。

二、研究切線的方程問題

解題視角：（1）求曲線切線方程的步驟：①求出函數y=f(x)在x=x0處的導數，即曲線y=f(x)在點P(x0，f(x0))處切線的斜率；②由點斜式方程求得切線方程為y-y0＝f(x0)·(x-x0)。（2）研究曲線的切線方程時需注意兩點：①要分清題設中是“在某點”還是“過某點”，當切點坐標未知時，應首先設出切點坐標，再求解；②恰當利用隱含條件：切點在切線上，切點也在曲線上以及導數與斜率公式結合使用。

三、研究公切線問題

例5 （2013高考新課標I卷）已知函數f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點P(0，2)，且在點P處有相同的切線y=4x+2。（1）求a，b，c，d的值；（2）略。

分析：由已知得：

解題視角：本題中兩個函數“在”同一點，說明切點就是該點且該點也是兩個函數的公共點。兩個函數在同一點的公切線方程的求解，可轉化為解方程組但要注意如果切點不在同一點時，不可以用該方程組，而是需要求兩次切線方程，并證明切線方程重合。

四、研究切線的條數問題

在3條直線與曲線相切”等價于“有3個不同零點”，g(x)=12x2-12x=12(x-1)，列表可以求得：g(0)=t+3是g(x)的極大值，g(1)=t+1是g(x)的極小值，借助于圖形討論綜合可知：當過點存在3條直線與曲線相切時，t的取值范圍是(-3,-1)。

五、研究與切線有關的綜合問題

例9 （2015江蘇高考） 某山區外圍有兩條相互垂直的直線形公路，為進一步改善山區的交通現狀，計劃修建一條連接兩條公路的山區邊界的直線形公路，記兩條相互垂直的公路為l1，l2，山區邊界曲線為C，計劃修建的公路為l，如圖所示，M，N為C的兩個端點，測得點M到l1，l2的距離分別為5千米和40千米，點N到l1，l2的距離分別為20千米和2.5千米，以l1，l2所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標系xoy，假設曲線C符合函數（其中a，b為常數）模型。

（1）求a，b的值；

（2）設公路l與曲線C相切于P點，P的橫坐標為t。

①請寫出公路l長度的函數解析式f(x)，并寫出其定義域；

②當t為何值時，公路l的長度最短？求出最短長度。

解題視角：有關切線的綜合問題，首先利用導數的幾何意義k=f(x0)表示曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0)) 處切線的斜率，或利用點斜式求出切線的方程，然后結合其他章節知識綜合求解問題。

總之，由于高考對導數考查的深度與廣度在不斷增加，所以要深刻理解導數的幾何意義及有關性質，導數作為一種解題工具，充分體現了數形結合、函數與方程、轉化與化歸等數學思想,尤其對函數圖象的切線的研究更是彰顯了其獨特魅力。