因材施教落實學法 備考研教強化專項

李祖興

這次去田陽高級中學（以下簡稱田高）與該校黃美仙老師同課異構，是承載了精準幫扶、探索課改背景下備考復習課教學改革的使命的，但是，到達田高之前，田高學生的基礎怎樣，課堂難度如何把握，筆者心里確實沒底.為了能上出各自的風格，我們雙方在課前也不宜就課程作過多溝通，課前溝通僅限于確定上什么內容和使用什么教輔資料.

一、同課異構備考復習課教學設計思路及教學過程

我們上的是文科班的數學復習課.相對來說，文科生長于形象思維，短于邏輯思維，而數學又是一個邏輯性極強的學科.怎樣講授才易于讓文科生接受和掌握，怎樣發揮文科生的長處，這是本節課要著重解決的兩個問題.

按照該校的教學進度，正好上到立體幾何《空間垂直的判定和性質》.幾何圖像有很好的直觀性，便于發揮文科生長于形象思維的特點.為了體現普遍性，在授課過程中，筆者全部使用課本中的例題，不再另外添加和更換.

高考備考復習課教學的基本套路：復習相關知識及相關方法→講解例題→總結方法和規律→課堂課后訓練.以上幾個教學環節，一環扣一環，從講到練，哪一個環節都不能馬虎.針對本課的教學內容，筆者決定重點處理好下面幾個學習方法.

（一）引導學生運用模型記憶相關定理，指點學生運用解題模式時關注關鍵細節

垂直關系屬于空間中位置關系的特殊情況，在生活實際和工程技術中廣泛存在并有著廣泛的應用.在立體幾何中，很多幾何體的體積、面積、角度、距離等的計算都要用到垂直關系，因而，垂直關系是立體幾何中最重要的關系之一.

空間中的垂直關系涉及線線垂直、線面垂直和面面垂直三種關系.通常情況下，在立體空間，要判定線線垂直，有時要先判定線面垂直；要判定線面垂直，則要先判定另外的線線垂直；要判定面面垂直，則要先判定線面垂直.三種垂直關系的判定方法較多，且都有一定難度，就算是理科生也不易掌握.以往各種資料和很多一線教師都習慣于編成順口溜讓學生記憶，如：線線垂直則線面垂直，線面垂直則線線垂直；線面垂直則面面垂直，面面垂直則線面垂直；等等.但是，實踐證明，學生雖然能背得順口，卻不能把握知識的要領.究其原因，實際應用有難度是一個方面，缺少必要的圖像直觀也在一定程度上阻礙了文科生的準確認知.為了突破這個教學難點，我根據圖像直觀性強及文科生長于形象思維的特點，選擇了用圖像記憶定理的教學方法.

關于線面垂直的判定定理：如果一條直線垂直于一個平面內的兩條相交直線，那么這條直線就垂直于這個平面.用圖像表示，如圖1.

在圖1中，平面α內的兩條相交直線突出地表示了“一條直線垂直于一個平面內的兩條相交直線”的特點.學生一經理解，無須文字，對圖像所包含的意思也會一目了然，因而極易掌握.

關于線面垂直的性質定理：如果一條直線垂直于一個平面，那么，這條直線就垂直于這個平面內的任何一條直線.用圖像表示，如圖2.

在圖2中，平面α內只有一條直線，明顯地表示了“線面垂直則線線垂直”這個要點.學生一經理解，見圖就能生義，知道圖像的內涵.

關于面面垂直的判定定理：如果一條直線垂直于一個平面，那么，經過這條直線的任何一個平面都垂直于這個平面.用圖像表示，如圖3.

關于面面垂直的性質定理：如果兩個平面垂直，那么，在其中一個平面內且垂直于兩個平面的交線的直線垂直于這個平面.用圖像表示，如圖4.

圖像識記，無須繁復的文字表述，直觀簡明，便于理解，也便于識記，而且還為各種變形的形式提供了最直觀簡明的基本模型.

其實，關于線線垂直、線面垂直、面面垂直的判定方法遠不止上面列舉的這些，這些垂直的判定和性質以及各種判定方法等合在一起，還是一個不小的系統，以學生現有的基礎來說，如果僅用順口溜文字記憶，反而容易導致知識點之間的相互干擾，配上圖形以后，結果就大不一樣了，從上面幾例就可以感受到這一點.

當然，如果僅僅這樣羅列定理，盡管配合了直觀的模型，其實還是一種無序的堆砌，要使學生更好地掌握和應用相關的知識，必須有一個總綱，這是不可或缺的兩個細節：第一，在空間，線面垂直、面面垂直最終都要歸結到線線垂直的判定，因而，線線垂直的判定是關鍵；第二，空間中也有平面圖形，因此，對于同在一個平面內的兩條直線的垂直的判定，平面中的判定方法可以照搬過來，如等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊、直角三角形兩直角邊互相垂直等，都是淺顯而又常用的結論.第一點主要為各種垂直的判定指明方向，給出解決問題的思路，有效降低難度，即無論是哪一種垂直的判定，最終都要歸結到線線垂直的判定上；第二點主要用于解決思維的慣性問題，讓學生明確，在空間中也有平面情形，不可對空間中的平面圖形視而不見.有了這兩點，學生做起題來就會有章可循，目標明確，從而減少盲目性.

（二）執果索因和化難為易是解決復雜問題的重要思想方法

俗話說，萬事開頭難.這個開頭包括中間過程每一個問題的切入點，而開頭難多數情況下是方向不明所致.方向不明，便無從入手.因此，引導學生弄清思考的方向、尋找解決問題的切入點是解題的關鍵.筆者決定用下面例題的解決過程，引導學生掌握執果索因的解題方法.

例1 如圖5，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥底面ABCD.

（1）求證：AB∥平面PCD；

（2）求證：BC⊥平面PAC.

以下是教學片段實錄.

師：本節主要是解決垂直的判定問題，且第一問不算難，同學們課后自行解決就可以了，在此，我們重點解決第二個問題.請問，要證明直線BC⊥平面PAC，只要證明什么就可以了？

生：只要證明BC垂直于平面PAC內的兩條相交直線就可以了.

師：哪兩條相交直線？

生：PA和AC.

師：（板書“①BC⊥PA；②BC⊥AC”）你們動筆，逐條來證明一下.（一生上講臺在黑板上證明，過程略；師解釋黑板上的做法和要點后開始提問）黑板上的做法中，證明①用了什么方法？

生：用了線面垂直的性質定理.

師：證明②用了什么方法？

生：用了勾股定理（注：用勾股定理中計算的方法證明垂直關系）.

這個教學過程旨在把學生的思維逐步引導到要解決的基本問題上，方向直指①和②.實際的進程是，這個方向一旦明確了，余下的證明過程學生就能自行完成了.

當然，本例難度不大，但學生在解題前后的表現說明，學生能順利地自行完成，前面方法與細節的梳理很重要，而解題過程中方向的引導起到了至關重要的作用，這個方向引導，便是執果索因的方法引導.執果索因的主要套路：要解決問題A，需先解決問題B；而要解決問題B，又需要先解決問題C；等等.這就好比順藤摸瓜，抓住了藤，就能順著藤一步一步地摸下去，例1便是順著執果索因的“藤”摸到了解決問題①和②的“瓜”.

執果索因的方法不僅容易把握問題方向，而且另有一個重要作用.我們再看一個例題.

例2 如圖6，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中點，證明：

（1）CD⊥AE；

（2）PD⊥平面ABE.

例2中，對于（1）的解題思路引導與例1相仿，在此不再重復.針對（2），要證明PD⊥平面ABE，須先證明PD垂直于平面ABE內的兩條相交直線，從最簡的角度審視，這兩條直線應是AB和AE；而要證明PD⊥AE，必須先證明AE⊥平面PCD，從而必須先證明AE垂直于平面PCD內的兩條相交直線，等等.顯然，這里出現了較多的轉換過程，解題的難度加大了，學生明顯露出了困惑的神情.怎樣引導學生克服這個難點呢？以下是片段實錄.

師：要證PD⊥平面ABE，應先證明什么？

生：先證明PD垂直于平面ABE內的兩條相交直線（判定定理）.

師：哪兩條？（生思考良久后試探性地說出AB和AE；師板書“①PD⊥AB，②PD⊥AE”）怎樣證明①呢？

生：（思考良久）先證明AB⊥平面PAD.（師板書“③AB⊥平面PAD”）

師：怎樣證明②呢？

生：（思考良久，有學生輕聲說出）先證明AE⊥平面PCD.（師板書“④AE⊥平面PCD”）

師：好！只要證明了③和④，就可以解決本題了.現在你們可以仿照例1的方法來完成③和④的證明了.

本例有較大難度，且學生是文科生，有了上面的引導，雖然費了一些周折，但大多數學生最終還是順利完成了證明過程.該解題過程不僅用到了執果索因的方法，而且突出了另一種重要的數學思想，即化難為易的思想.化難為易，就是通過一定的變換，把原來較難解決的問題轉化為另外一個或多個比較容易解決的問題，然后再求解.化難為易的思想方法是解決復雜問題時常用的一種思想方法.

題目之所以難，往往是因為綜合了兩個或兩個以上的知識點，或是條件和結論之間須經多次轉換后才能連通起來.但是，不管是哪種情況，中間過程要解決的問題都不止一個，有時甚至是多個.問題越多，或是過程轉換越多，條件與結論之間的聯系就越不明顯，學生就越難把握其中的邏輯關系.例2（2）中的條件和結論的關系就很不明顯，要解決的問題也不只一個，但是，先把原問題“化難為易”分解出問題①和②，進而分解出問題③和④，然后逐一解決這些簡單的問題，便可最終破解以上困局.這里的分解過程，就是把要解決的復雜問題分解為簡單問題的過程.當一個又一個簡單問題從復雜的問題中拆解出來之后，問題背后的邏輯關系也就慢慢顯現了出來，整個解題思路也就貫通了.

高三學生基本都有了一定的知識和方法儲備，缺少的往往是把握這些知識和方法背后嚴密邏輯的能力.上面兩例對于執果索因和化難為易思想方法的運用，無疑為該校師生提供了一個范例.但是，筆者在課后一直糾結，從一直執教理科班數學課程，到這次冷不丁上了一堂文科班的復習課，而且是上優秀生源流失不少后的文科班的課，盡管筆者對本課內容的難易程度、講解詳略、節奏快慢等都盡量做出了調整，但與實際還是有所偏離，比如在講解例2（2）時，學生的回答出現了明顯的遲疑，目光變得迷惘.顯然，設置這樣難度的問題對學生來說有較大困難，這是筆者預先沒有想到的.這是垂直關系的第一課時，像例2（2）這樣的難度放在第一課時確實是難了點兒.由此筆者突然頓悟：要使課堂高效，教學內容的難度一定要切合學生的實際；而要做到這一點，教師必須在了解學生的基礎上，盡可能地站在學生的角度去思考.教師只有從學生理解和思考問題的角度去分析和預設問題，才能從學生的角度感受到問題的“真實難度”，才能真正知道學生迷茫的根源，也才能夠在真正的關節點上為學生指點迷津、指引方向.我想，學生聽很多老師講課時感到稀里糊涂、不得要領，大概就是這個教師“不解學情”的原因在作怪.課后有一位當地的老師夸我講得真細，這正反映了這種狀態：我們的教師常常覺得問題簡單，以為學生已經掌握，因而復習時不僅不細，甚至只是形式上略略地提一下，這對學生的復習來說是毫無益處的.比如筆者對已學定理的梳理和點撥，如果不那么詳細，如果不配以直觀圖形幫助學生理解，學生對例1的解答就未必有那么順暢.

二、數學學科系統備考建議

因為對多數薄弱學校的實際情況并不了解，關于學科備考，筆者只能憑感受和經驗，簡單談談自己的幾點見解，供大家參考.

（一）以研促教，提高課堂效率

教師幫助學生復習的主陣地在課堂，課堂教學是影響復習效果至關重要的一個環節.筆者感到，如何不斷提高薄弱學校教師的業務水平來保證課堂教學質量，確實是一個非常突出的問題.

筆者這里所說的研究，并不是通常大家理解的要達到一定的知識和能力水平才能進行的研究，而是希望教師們能夠留心琢磨教學中遇到的每一個細節，如內容怎樣選擇、講解怎樣精練、節奏是否符合學生實際、難度如何把握、課后練習如何配備才更有效等，這些是我們每天每節課上都會遇到的問題.教師琢磨問題多了，就會逐漸找出更多更好的方法，不斷提高課堂教學效率.當然，在很多情況下，這樣的研究是不自覺的，甚至是無意識的.此外，學校也可以多組織一些研究課，多開展一些教研活動，引導教師相互取長補短，學習借鑒他人的經驗。長此以往，便會在校內形成一種教研風氣，這種風氣反過來會促進教師的深度思考和教學水平的不斷提高，進而形成教學與教研的良性循環.

（二）編寫適合本校的資料

講授內容、練習資料和測試題目等，過于簡單達不到提高的目的，難度過大則無疑廢料廢題，無論哪一種情況，對學生來說都是無益的，最可怕的是白白浪費了學生寶貴的時間.有句老話說得好，適合的才是最好的.學生的情況，本校的老師最清楚，因此，所用資料只有本校老師編寫的才應該是最適合的.如果過多地依賴外來的資料，就容易造成學生長期得不到恰當的訓練，復習效果就會在無形中大打折扣.當然，這不是說所有資料都須教師親自編寫.但是，本校教師編寫資料確實極其必要，特別是訓練題和測試題.

（三）強化專項訓練

數學高考題的題型有三種，選擇題、填空題和解答題.由于選擇題和填空題只要結果，不需要寫出過程，因而，也就有了一些異于解答題解題過程的方法，甚至有時可以用極其特殊的解法，即“小題不要大做”.這里所說的“小題”，就是指選擇題和填空題，“大做”基本上就是指與解答題一樣的做法.

有些小題沒有特殊解法，只能大做，但每題都大做肯定會出現一連串的問題，一是花費較多的時間，二是因花費了時間而引起心理的焦慮，三是因心理焦慮而影響到解題思路，所謂越急越亂就是如此.

在很多情況下，由于小題的難度確實不是很大，教師很多時候都是由著學生自行完成，或者進行的針對性訓練不多，這都會造成學生小題小做的意識不濃、小題小做的方法不多等.要改變這種情況，教師在引導復習的過程中應小題“大做”，帶領學生大張旗鼓地做起“小題小做”的訓練來.

相應地，解答題也應有專項的強化訓練，時間和方式則須根據本校情況而定，在此不再贅述.

（責編 白聰敏）