導數在高中物理中的應用*

王朝祥

(北京市第八十中學 北京 100102)

導數在高中物理中的應用*

王朝祥

(北京市第八十中學 北京 100102)

函數對自變量的瞬時變化率，稱為導數.在日常教學中將導數思想滲透入物理課堂，能深化對物理概念和規律的理解，把握物理知識的內在聯系；在解決實際問題時引入導數，能有效解決物理量的非均勻變化問題、極值問題，有利于提升學生應用數學知識處理物理問題的能力.

導數 瞬時變化率 極值問題

微積分的創立為人們研究變量和函數提供了重要的方法和手段.導數是微積分的核心概念之一，在解決實際問題中有著廣泛的應用.

人教版高中數學教材選修2-2講授了導數的概念，介紹了導數的幾何意義、基本初等函數的導數公式及導數的運算法則，這為高中物理學習提供了全新的數學方法.筆者在日常教學中嘗試著將導數思想滲透到物理課堂，教學效果良好，現與讀者分享.

1 導數的數學定義

函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率，稱為函數在該點的導數，記作f′(x0)，即

導數f′(x0)反映函數y=f(x)在x=x0處的增減趨勢和變化快慢.在圖像中，導數f′(x0)的幾何意義為：曲線y=f(x)在x=x0處切線的斜率.

2 結合導數思想深化對物理概念和規律的理解

高中物理中，很多物理量都是通過變化率定義的，如：速度是位移對時間的變化率，加速度是速度對時間的變化率，力是動量對時間的變化率，功率是能量對時間的變化率，電流是電荷量對時間的變化率，感應電動勢是磁通量對時間的變化率.

學過導數以后，學生知道導數就是函數對自變量的瞬時變化率.教師不妨引導學生從導數的角度重新認識瞬時速度、瞬時加速度、瞬時功率、瞬時感應電動勢等物理量，這樣能深化學生對物理概念、物理規律的理解，把握物理知識的內在聯系，體會數學方法與物理思想的完美結合.

例如，在高中物理教材中，法拉第電磁感應定律的呈現形式為

在學生掌握導數的概念和運算法則后，可以將定律拓展到磁感應強度B與有效面積S都隨時間變化的復雜問題，此時磁通量

Φ=B(t)S(t)

代入法拉第電磁感應定律可得

然后分3種情況討論：

(1)若磁場恒定，即

感應電動勢

這種由于回路面積變化而產生的電動勢稱動生電動勢.

(2)若回路的面積保持不變，即

感應電動勢

這種由于磁感應強度變化而產生的電動勢稱感生電動勢.

(3)若B和S都隨時間變化，此時既有動生電動勢又有感生電動勢，感應電動勢是二者的疊加.(參見2003年高考江蘇卷第18題)

上述拓展在借助數學方法打開學生思路的同時不忘回扣課本知識，有助于學生準確地理解法拉第電磁感應定律的內涵.

3 利用導數思想拓展解決問題的思路

分析和解決實際物理問題的過程離不開數學方法.將導數思想引入物理教學，能有效拓寬學生的思路，并能化解僅用初等數學知識難以解決的問題，提升學生運用數學工具處理物理問題的能力.現結合一些常見問題舉例說明.

3.1 利用導數描述和研究物理量的非均勻變化

【例1】如圖1所示，A，B兩物體通過不可伸長的輕質細繩跨過定滑輪相連，物體A在拉力F作用下沿水平地面勻速向右運動，判斷繩子彈力大小的變化情況.

圖1 例1題圖

分析：將物體A的速度記為vA，當右側繩子與豎直方向夾角為θ時，根據速度的合成與分解求得，物體B的速度大小vB=vAsinθ.

將vB對時間t求導，得物體B的加速度大小

aB=vB′=vAωcosθ

分析物體B的受力情況，由牛頓第二定律得，繩子彈力T=mB(g+aB).

由題意，物體A向右運動過程中，繩子與豎直方向的夾角θ增大，繩子轉動的角速度ω減小，物體B的加速度aB減小， 因此繩子的彈力T逐漸減小.

點評：本題中物體B的速度vB隨時間非均勻變化，利用初等數學方法難以計算其加速度，引入導數后，其加速度的計算迎刃而解.

3.2 利用導數研究物理極值問題

【例2】如圖2所示，真空中相距為2r的M，N兩點處分別放置等量的正點電荷，電荷量大小為Q，求兩電荷連線的中垂線上電場強度的極大值.

圖2 例2題圖

分析：取兩電荷連線的中垂線上任意點A，將AM與MN的夾角記為θ，A點的合場強為

將E對θ求導

點評：若函數在某點的一階導數為零，二階導數大于零，函數在該點取極小值；若函數在某點的一階導數為零，二階導數小于零，函數在該點取極大值.本題中，場強E是以θ為自變量的函數，請讀者自行計算E對θ的二階導數，體會函數的極值條件.

*北京市教育科學“十二五”規劃課題“高中創新實驗班物理與數學課程整合實踐研究”成果之一，項目編號：DBB15072

王朝祥(1977- )，男，中教高級，主要從事中學物理教學及研究.

2016-10-26)