關(guān)于連續(xù)函數(shù)極值求法的分析

朱鵬翚

（安徽大學江淮學院，安徽合肥230000）

關(guān)于連續(xù)函數(shù)極值求法的分析

朱鵬翚

（安徽大學江淮學院，安徽合肥230000）

無論是在自然科學中還是社會科學中，都存在較多的函數(shù)極值問題.連續(xù)函數(shù)極值，就是連續(xù)函數(shù)在一定區(qū)域內(nèi)的極大值和極小值.而連續(xù)函數(shù)可以被劃分為一元連續(xù)函數(shù)和多元連續(xù)函數(shù)，在極值求取時則可以進行分別討論.基于這種認識，本文在解釋連續(xù)函數(shù)和極值定義的基礎(chǔ)上，分別對一元連續(xù)函數(shù)和多元連續(xù)函數(shù)的極值問題進行了分析，并提出了連續(xù)函數(shù)的極值求法，以期為關(guān)注這一話題的人們提供參考.

連續(xù)函數(shù)；極值；求法

在自然界中，氣溫變化、植物生長等現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映就是函數(shù)的連續(xù)性.而在現(xiàn)實社會的各個研究鄰域，連續(xù)函數(shù)極值問題也都得到了廣泛研究.其中，一元函數(shù)和二元函數(shù)與實踐有著緊密聯(lián)系，所以得到了更多研究.但實際上，多元連續(xù)函數(shù)也能夠得到應(yīng)用，所以也應(yīng)對其極值求解問題展開分析.因此，還應(yīng)加強連續(xù)函數(shù)極值求法的分析，以便更好的解決連續(xù)函數(shù)的極值問題.

1 連續(xù)函數(shù)及極值的定義

1.1 連續(xù)函數(shù)

從定義上來看，假設(shè)函數(shù)f(x)在點x0鄰域內(nèi)存在定義，并且滿足，就可以認為函數(shù)在該點連續(xù)，并且將該點當成是函數(shù)的連續(xù)點.假設(shè)該函數(shù)在(a,b]內(nèi)有定義，并且在x=b左極限存在f (x)=f(b)，則函數(shù)在點b左連續(xù).假設(shè)該函數(shù)在[a,b)內(nèi)有定義，并且在x=a右極限存在f(x)=f(a)，則函數(shù)在點a右連續(xù).假設(shè)該函數(shù)在(a,b）內(nèi)有定義，并且在a點和b點連續(xù)，可認為函數(shù)在[a,b]整個定義域內(nèi)連續(xù)，因此可以認為函數(shù)為連續(xù)函數(shù)[1].由上述定義可知，想要使函數(shù)在某點連續(xù)，應(yīng)確保其在該點左右都連續(xù).

由極限的定義，可以將上述定義轉(zhuǎn)化為另一個定義，即假設(shè)x從初值x1變到終值x2，其在x1處的增量為△x=x2-x1.而△x既可以為正數(shù)，也可以為負數(shù).在變量發(fā)生變化的條件下，函數(shù)值也隨之變化，得到的增量為△y.如果△x=x-x0，可以將x→x0等價為△x→0，因此.結(jié)合極限定義，可知|f(x0+△x)-f(x0)|=|△y|，可得函數(shù)連續(xù)另一個定義.由這一定義可知，在自變量在某點的增量無限接近0時，函數(shù)值增量也無限接近0，因此可以說明函數(shù)在該點連續(xù).

1.2 函數(shù)極值

極值的概念，實際上就是數(shù)學應(yīng)用中的最大值和最小值問題.在數(shù)學概念中，函數(shù)的極大值與極小值被一同稱為函數(shù)的極值.假設(shè)在x0附近存在函數(shù)f(x)，并且該函數(shù)有定義.如果函數(shù)在x0的去心鄰域中存在f（x）＜f（x0），可認為f(x0)為函數(shù)的一個極大值；如果函數(shù)在x0的去心鄰域中存在f（x）＞f（x0），可認為f(x0)為函數(shù)的一個極小值，因此函數(shù)對應(yīng)的極值點為x0.而極值點就是函數(shù)取得極值的點，在有界區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)應(yīng)存在最大值和最小值，但是如何確定函數(shù)在哪些點取得最大值或最小值卻是值得考慮的問題.如果極值點不為邊界點，就一定為內(nèi)點，所以還應(yīng)考慮內(nèi)點成為極值點的必要條件.假設(shè)函數(shù)的某一點在一個鄰域中，并且函數(shù)在該鄰域中每個點都存在定義，同時該點函數(shù)為最大值或最小值，說明該點為函數(shù)極值點.如果該點的函數(shù)值比鄰域內(nèi)其他各點的函數(shù)值都大或都小，說明該點為極值點[2].此外，在極值點的左右，函數(shù)有不同的增減性.假設(shè)極值點左方鄰域內(nèi)函數(shù)呈單調(diào)遞增，右方就為單調(diào)遞減.從函數(shù)圖像上來看，極值點為極大值或者極小值點的橫坐標.但是，極值雖然為函數(shù)在一個區(qū)間內(nèi)的取值，卻不一定為整個函數(shù)定義域內(nèi)的最大值或最小值.

2 連續(xù)函數(shù)極值問題的提出

在連續(xù)函數(shù)極值求解方面，多數(shù)研究都集中在一元連續(xù)函數(shù)和二元連續(xù)函數(shù)的極值問題分析上，多利用求導方法進行函數(shù)極值點的判斷，然后進行函數(shù)極值求取.但在現(xiàn)實生活中，三元以上連續(xù)函數(shù)極值問題也將給人們探索極值問題帶來了困擾.而根據(jù)連續(xù)函數(shù)在極值點的微分特征，不僅能夠?qū)σ辉B續(xù)函數(shù)和二元連續(xù)函數(shù)的極值點進行確定，還能進行三元以上連續(xù)函數(shù)極值的求取.因此，還應(yīng)從微分角度對連續(xù)函數(shù)的極值問題展開分析，以便完成連續(xù)函數(shù)極值求法的總結(jié)和分析.

2.1 一元連續(xù)函數(shù)極值問題

在求解一元連續(xù)函數(shù)的極值問題時，還應(yīng)先確認極值存在的第一充分條件.即設(shè)f(x)在x0處連續(xù)，并在其去心鄰域U（x0）處可導，則可以得到：

若x∈(x0-δ，x0)時，f'(x)＞0，x∈(x0，x0+δ)，f'(x)＜0，則x0處的f(x)值極大；若x∈(x0-δ，x0)時，f'(x)＜0，x∈(x0，x0+δ)，f'(x)＞0，則x0處的f(x)值極小；若x∈(x，δ)時，f'(x)符號沒有變化，則不存在極值.

從可微角度分析一元連續(xù)函數(shù)的極值問題，一元函數(shù)的極值點可能為駐點或不可導點，假設(shè)x=x0，函數(shù)在點x的去心鄰域內(nèi)可導，而△x為函數(shù)在點x0處的增量，其為負增量時x0+△x為左鄰域點，反之則為右鄰域點.為簡化問題的分析，可假設(shè)函數(shù)自變量微分dx與△x擁有相同正負符號，所以在點x0+△x上存在dy=f'（x0+△x）△x.

首先，如果x0為函數(shù)極大值，則會在該點形成圖像上凸情況，函數(shù)左鄰域?qū)栏襁f增，可得dy＜0.同時，函數(shù)右鄰域?qū)栏襁f減，dy＜0，因此在極大值點去心鄰域內(nèi)的任意一點，函數(shù)微分dy均為負值.

其次，如果x0為函數(shù)極小值，則會在該點形成圖像下凹情況，函數(shù)左鄰域?qū)栏襁f減，可得dy＞0.同時，函數(shù)右鄰域?qū)栏襁f增，dy＞0，因此在極大值點去心鄰域內(nèi)的任意一點，函數(shù)微分dy均為正值.

再者，如果x0不是函數(shù)極值點，在x0的某鄰域內(nèi)，該點兩側(cè)函數(shù)擁有相同單調(diào)性，所以可得dy≥0或dy≤0.由于假設(shè)自變量微分為正負，所以dy可能為正數(shù)、負數(shù)或零.

通過綜合分析可以發(fā)現(xiàn)，對于一元連續(xù)函數(shù)來講，x0為駐點或不可導點，△x為足夠小的增量，使得函數(shù)在x0的去心鄰域中可導.如果△x為負增量，x0+△x為左鄰域點，反之則為右鄰域點.在該鄰域內(nèi)，任意一點x0+△x的微分dx都有對應(yīng)△x.若dy＜0，可得x0為極大值點；若dy＞0，可得x0為極小值點；若微分dy可能為正值、負值或零，可得x0不是函數(shù)極值點.由此可見，極值點出現(xiàn)在函數(shù)的駐點或不可導點處.

2.2 多元連續(xù)函數(shù)極值問題

在多元連續(xù)函數(shù)極值問題分析方面，二元連續(xù)函數(shù)極值問題是常見問題.從空間圖像角度來看，二元連續(xù)函數(shù)為連續(xù)曲面，極值點應(yīng)為駐點或不可微點.但是，這些點卻并不一定是二元連續(xù)函數(shù)的極值點[3].在極值點的位置，二元連續(xù)函數(shù)圖像同樣會出現(xiàn)向極值點擠逼的情況，所以該點的圖像會是上凸或下凹形狀.如果二元連續(xù)函數(shù)的駐點或不可微點處的圖像未出現(xiàn)這些現(xiàn)象，說明這些點不是極值點.由于二元連續(xù)函數(shù)單調(diào)性分析較為復雜，所以可以利用函數(shù)微分進行極值點的分析.在極值點的去心鄰域內(nèi)，各點對應(yīng)函數(shù)值應(yīng)均比極值點大或小.因此，針對極值點的某可微去心鄰域，其中任意點都能通過約定自變量微分確定其屬于負值或正值.比如針對極大值點的可微去心鄰域，就可以認定任意點自變量微分為負值[4].針對極小值點的可微去心鄰域，可認定任意點自變量微分為正值.針對非極值點可微去心鄰域，可知任意點自變量微分無法確保正負一致.

在求解二元連續(xù)函數(shù)的極值問題時，還應(yīng)先確認極值存在的第一充分條件.即設(shè)z=f(x，y)在(x0,y0)的去心鄰域有一階和二階連續(xù)偏導數(shù)，且滿足fx (x0,y0)=0和fy(x0,y0)=0，需要令A=fxx(x0,y0)，B=fxy(x0,y0)，C=fyy(x0,y0)，則可以得到：AC-B2＞0時，存在極值，若A＜0，存在極大值，若A＞0，存在極小值；若AC-B2＜0，則不存在極值；若AC-B2=0，則不確定是否存在極值.

從可微角度分析一元連續(xù)函數(shù)的極值問題，應(yīng)假設(shè)二元連續(xù)函數(shù)z=f(x,y)的駐點或不可微分點為（x0,y0），該點處任意足夠小的自變量x,y的增量分別為△x和△y，使函數(shù)在該點的去心鄰域內(nèi)可微[5].約定附加條件：函數(shù)在點（x0+△x,y0+△y）處微分取△x和△y，所以該區(qū)域任意點微分為dz=f'x（x0+△x,y0+△y）△x+f'y（x0+△x,y0+△y）△y.在dz小于0的條件下，點（x0,y0）為函數(shù)極大值點；在dz大于0的條件下，點（x0,y0）為極小值點；在dz的值不確定的條件下，點（x0,y0）不為極值點.

針對三元以上連續(xù)函數(shù)，也可以采用類似的方法進行極值問題的分析.例如針對三元連續(xù)函數(shù)u=f(x,y,z)，駐點或不可微分點為（x0,y0,z0），該點處任意足夠小的自變量x,y,z的增量分別為△x、△y和△z，使函數(shù)在該點的去心鄰域內(nèi)可微.約定附加條件：函數(shù)在點（x0+△x,y0+△y，z0+△z）處微分取△x、△y和△z，所以該區(qū)域任意點微分為du=f'x（x0+△x,y0+△y,z0+△z）△x+f'y（x0+△x,y0+△y,z0+△z）△y+f'z(x0+△x,y0+△y,z0+△z)△z.在du小于0的條件下，點（x0,y0,z0）為函數(shù)極大值點；在du大于0的條件下，點（x0,y0,zo）為極小值點；在du的值不確定的條件下，點（x0,y0,z0）不為極值點.

3 連續(xù)函數(shù)極值求法分析

3.1 一元連續(xù)函數(shù)極值求法

在實際進行一元連續(xù)函數(shù)單變量函數(shù)的極值求解時，可以采用一階導數(shù)進行函數(shù)可能極值點的求取，然后利用一階導數(shù)完成函數(shù)在這些點的兩側(cè)單調(diào)性的判斷.具體來講，就是先求導數(shù)f'(x)，然后求方程f"(x)=0的根，最后檢查f'(x)在函數(shù)圖象左右的值的符號[6].經(jīng)過檢查，如果左正右負，可得函數(shù)這個根為極大值點.如果出現(xiàn)左負右正的情況，函數(shù)的這個根為極小值點.另外，也可以借助二階導數(shù)在駐點的取值情況進行函數(shù)必然極值點的確定，以完成函數(shù)極值的求解.

例1已知函數(shù)y=f(x)=(x2-1)3+1，求函數(shù)極值.

解：f'(x)=6x(x+1)2(x-1)2.由f"(x)=0，可得函數(shù)有-1、0和1這三個駐點，無可導點.在x0+△x處，如果x0=-1，則dy=6（△x-1）（△x-2）2△3x.在增量△x為正，并且小于1的條件下，dy小于0；在增量△x為負的條件下，dy大于0；因此dy可能為正值或負值，-1不是函數(shù)極值點.如果x0=1，則dy=6（△x+1）（△x+2）2△3x.在增量△x為正，并且小于1的條件下，dy大于0；在增量△x為負的條件下，dy小于0；因此dy可能為正值或負值，1不是函數(shù)極值點.如果x0=0，則dy=6（△x+1）（△x-1）2△3x＞0，因此0是函數(shù)極值點.經(jīng)過計算，函數(shù)極小值為0.

由此可見，連續(xù)函數(shù)的極值點必為函數(shù)駐點，函數(shù)駐點卻不一定為函數(shù)極值點.因此，想要求解一元連續(xù)函數(shù)的極值時，還要對求導無意義的點進行討論.在實際求解時，還要先將dy=0的根和無意義點進行求解，然后將這些點列為可疑點，并利用極值點定義進行判斷[7].

3.2 多元連續(xù)函數(shù)極值求法

針對二元連續(xù)函數(shù)，在求取極值時還要利用一階導數(shù)完成駐點求取，然后利用其連續(xù)的二階偏導數(shù)對駐點的取值情況進行分析，以實現(xiàn)駐點是否為極值點的判斷.具體在分析過程中，假設(shè)二元連續(xù)函數(shù)z=f(x,y)，應(yīng)先設(shè)f'x(x,y)=0和f'y(x,y)=0，然后進行所有實數(shù)解的求取，以獲得一切駐點.針對各駐點(x0,y0)，應(yīng)進行二階偏導數(shù)值的求解[8].根據(jù)二階偏導數(shù)值的正負，可判定f(x0,y0)是否是極值，從而確定函數(shù)的極值點.

例2已知函數(shù)z=f(x,y)=x3+y3-3xy，求函數(shù)極值.

解f'x(x,y)=3x2-3y,f'x(x,y)=3y2-3x.由f'x(x,y)=0和f'y(x,y)=0，可得函數(shù)有（0,0）和（1,1）這兩個駐點，無不可微點.在（x0+△x,y0+△y）處，如果x0=y0=0，則dz=3（△x-△y）2+3△2x（△x+1）+3△2y（△y+1）.在增量△x大于-1，并且△y也大于-1時，dz大于0，所以（1,1）是函數(shù)極小值點.經(jīng)過計算，該二元連續(xù)函數(shù)的極小值為-1.

采取一元連續(xù)函數(shù)和二元連續(xù)函數(shù)的極值求法，同樣也可以求解多元連續(xù)函數(shù)極值問題.例如，在求解三元連續(xù)函數(shù)的極值時，可以先進行函數(shù)一階偏導數(shù)的求解[9].而通過計算可以發(fā)現(xiàn)，該函數(shù)無駐點，但存在（0,0,0）這一不可微點.為判斷該點是否為函數(shù)極值點，還應(yīng)在任意點（x0+△x,y0+△y，z0+△z）處進行微分du的計算.經(jīng)過計算可得，du大于零，所以該點為函數(shù)的極小值點，函數(shù)極小值則為0.

4 結(jié)論

極值作為函數(shù)的一個重要性質(zhì)，得到了廣泛應(yīng)用.而在實際應(yīng)用連續(xù)函數(shù)極值時，還應(yīng)掌握極值的求法，才能真正利用函數(shù)極值求解實際問題.從本文的分析來看，在求解連續(xù)函數(shù)極值問題時，由于極值點應(yīng)為駐點或不可微點.所以可以通過求導進行函數(shù)極值點的判斷，然后進行函數(shù)極值求取.采取該種方法，不僅能夠完成一元連續(xù)函數(shù)和二元連續(xù)函數(shù)的極值求取，也能解決三元以上連續(xù)函數(shù)的極值求取問題.

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：1673-260X（2017）03-0008-03

2016-11-26

池州市非金屬材料研究中心項目(XKY201406)