利用恒力矩轉(zhuǎn)動法驗證剛體轉(zhuǎn)動慣量正交軸定理

王錦輝，賀莉蓉，楊文明，周 紅，王宇興

(上海交通大學(xué) 物理與天文系,上海 200240)

普通物理實驗

利用恒力矩轉(zhuǎn)動法驗證剛體轉(zhuǎn)動慣量正交軸定理

王錦輝，賀莉蓉，楊文明，周 紅，王宇興

(上海交通大學(xué) 物理與天文系,上海 200240)

利用恒力矩轉(zhuǎn)動法測量了自制的不銹鋼矩形薄板狀樣品的轉(zhuǎn)動慣量. 沿長、寬，和垂直于板面3個方向的轉(zhuǎn)動慣量分別是7.70×10-4kg·m2, 3.23×10-3kg·m2和3.97×10-3kg·m2. 沿長、寬方向的轉(zhuǎn)動慣量之和基本等于垂直于板面方向的轉(zhuǎn)動慣量，相對偏差僅為0.84%，驗證了剛體轉(zhuǎn)動慣量正交軸定理. 分析了由薄板厚度對長、寬方向的轉(zhuǎn)動慣量貢獻不超過5‰，在實驗中無須考慮厚度的影響. 測量結(jié)果表明:固定螺絲、定位銷對測量結(jié)果影響不大. 此外還分析了空氣阻尼、塔輪半徑和砝碼質(zhì)量等因素對實驗結(jié)果的影響.

剛體；轉(zhuǎn)動慣量；恒力矩轉(zhuǎn)動法；正交軸定理

目前絕大多數(shù)國內(nèi)高校有關(guān)轉(zhuǎn)動慣量的實驗內(nèi)容是測量剛體(如圓盤、圓環(huán))的轉(zhuǎn)動慣量及驗證平行軸定理. 對有關(guān)驗證正交軸定理的實驗少見報導(dǎo). 正交軸定理亦稱為垂直軸定理，其主要內(nèi)容為平面剛體薄板對于垂直它的平面的軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于繞平面內(nèi)與垂直軸相交的任意兩正交軸的轉(zhuǎn)動慣量之和[1]. 測定剛體轉(zhuǎn)動慣量的方法很多，常用的有三線擺、扭擺、復(fù)擺等方法[2]. 本實驗采用恒力矩轉(zhuǎn)動法測定自行加工的薄板狀剛體不同方向的轉(zhuǎn)動慣量，很好地驗證了正交軸定理.

1 實驗方法

1.1 測試樣品

樣品為不銹鋼制作的矩形薄板，板長為214.96 mm, 寬為99.96 mm, 厚為5.00 mm. 板的每個側(cè)邊分別鉆有2個小孔并攻絲，內(nèi)徑為3 mm. 利用固定螺絲將薄板豎直地固定在轉(zhuǎn)動慣量實驗儀[3](型號ZKY-ZS)的轉(zhuǎn)盤上[如圖1(a)～(b)所示]. 螺帽直徑為10.00 mm，螺桿直徑為3.00 mm. 薄板側(cè)邊小孔之間距離與轉(zhuǎn)盤上小孔之間距離一致. 薄板狀剛體中央固定有一定位銷，直徑為5.00 mm，長為12.00 mm，薄板平放在轉(zhuǎn)盤上，定位銷正好插入轉(zhuǎn)盤上的小孔中，使得薄板質(zhì)心位于轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動軸線上. 同時也避免轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動時，薄板產(chǎn)生相對轉(zhuǎn)動. 薄板質(zhì)量為832.0 g，每個螺絲的質(zhì)量為3.5 g，定位銷的質(zhì)量為2.0 g.

(a)x方向 (b)y方向 (c)z方向

1.2 實驗結(jié)果

實驗選用的塔輪槽直徑為50.08 mm，砝碼質(zhì)量為49.5 g. 先測量空轉(zhuǎn)盤勻減速運動(未加砝碼)和勻加速運動(加砝碼)時擋光小棒遮住光電門的時間序列(見表1)，再分別測量加上薄板樣品后沿著不同方向的時間序列(見表2～4).

表1 空實驗臺時間序列

表2 薄板沿x軸轉(zhuǎn)動時間序列

表3 薄板沿y軸轉(zhuǎn)動時間序列

表4 薄板沿z軸轉(zhuǎn)動時間序列

2 數(shù)據(jù)處理

2.1 角加速度計算

通常有2種方法計算勻變速運動的角加速度β. 一種方法由公式[3]

(1)

角加速度計算結(jié)果如表5所示.β1和β2分別為勻減速和勻加速轉(zhuǎn)動時的角加速度.

表5 計算得到的角加速度

2.2 轉(zhuǎn)動慣量計算

根據(jù)公式[3]

(2)

計算不同情況下的轉(zhuǎn)動慣量. (2)式中：m為砝碼質(zhì)量，R為轉(zhuǎn)盤塔輪半徑，由轉(zhuǎn)動慣量疊加原理，可計算出薄板不同方向轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動慣量(見表6，表中J測為測量值，J理為理論值).

表6 薄板樣品轉(zhuǎn)動慣量計算結(jié)果

由表6可知薄板沿x和y方向轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量之和相對沿z方向轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量偏差計算

該結(jié)果很好地驗證了正交軸定理. 另外可以利用公式[4]

計算薄板沿不同方向的轉(zhuǎn)動慣量的理論值，式中l(wèi)1和l2分別是薄板的寬和長.

表6的結(jié)果表明沿x方向?qū)嶒炛蹬c理論值偏差較大，這主要因為沿x方向[見圖1(a)]，薄板質(zhì)量分布在轉(zhuǎn)軸附近，轉(zhuǎn)動慣量較小，薄板面與豎直軸很小偏離也會引起較大誤差.

3 實驗誤差分析

1)手?jǐn)Q螺絲對實驗結(jié)果的影響

假設(shè)螺絲質(zhì)量全部集中在螺帽上，則可計算2個螺絲相對轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動慣量Js為

式中：ms為螺絲質(zhì)量，Rs為螺帽半徑，ds為螺絲離開轉(zhuǎn)軸距離.

在圖1(a)情況下盤上固定螺絲2個小孔之間距離為90.02 mm,Js=1.43×10-5kg·m2,相對沿y軸轉(zhuǎn)動慣量理論值誤差為2.1%.

在圖1(b)情況下,轉(zhuǎn)盤上固定螺絲2個小孔之間距離為180.34 mm,Js=5.70×10-5kg·m2,相對沿y軸轉(zhuǎn)動慣量理論值誤差為1.8%.

上述2種情況計算結(jié)果表明手?jǐn)Q螺絲對薄板樣品轉(zhuǎn)動慣量影響不大.

2)定位銷對實驗結(jié)果的影響

在圖1(c)情況下，定位銷轉(zhuǎn)動慣量為6.25×10-9kg·m2,顯然對薄板沿z軸轉(zhuǎn)動時轉(zhuǎn)動慣量可以忽略不計.

3)空氣阻尼對實驗結(jié)果的影響

在速度較慢的情況下，空氣阻力與轉(zhuǎn)速成正比. 相比轉(zhuǎn)盤所受到的摩擦力矩，空氣阻力引起的誤差對結(jié)果有較小影響. 利用扭擺法測量薄板樣品的轉(zhuǎn)動慣量時，發(fā)現(xiàn)空氣阻力引起的誤差不超過2%[5]. 對于薄板沿y軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量實驗值與理論值相差僅為0.9%，這也意味著空氣阻尼引起的阻力矩相對摩擦力矩小得多.

4)薄板厚度對測量結(jié)果的影響

可用廣義的轉(zhuǎn)動慣量正交軸定理來考慮樣品厚度的影響[6]. 此時定理為

5)塔輪半徑和砝碼質(zhì)量的影響

實驗結(jié)果表明:塔輪半徑取中等大小時誤差最小，砝碼質(zhì)量越大誤差越小. 砝碼質(zhì)量不變時，當(dāng)塔輪半徑較小時，砝碼重力所提供的外力矩并不是遠(yuǎn)大于摩擦阻力矩，阻力矩的波動引起的實驗誤差較大，但當(dāng)塔輪半徑過大時，轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)不了4圈，也會產(chǎn)生誤差；當(dāng)塔輪半徑不變時，砝碼質(zhì)量越大，所提供的外力矩越大，相對而言，摩擦阻力矩的波動影響就越小，相對誤差也就越小. 此結(jié)果與文獻[7]報導(dǎo)不一致.

4 結(jié)束語

利用恒力矩轉(zhuǎn)動法測量矩形薄板樣品不同方向的轉(zhuǎn)動慣量，實驗結(jié)果很好地驗證了轉(zhuǎn)動慣量正交軸定理. 此外還分析了固定螺絲、定位銷、薄板厚度、空氣阻尼、塔輪半徑和砝碼質(zhì)量等因素對實驗結(jié)果的影響.

[1] 趙凱華，羅蔚茵. 新概念物理教程 力學(xué)[M]. 北京：高等教育出版社，1995:178-180.

[2] 劉赟. 教學(xué)用轉(zhuǎn)動慣量測量儀的設(shè)計與實驗[D]. 西安：西安理工大學(xué)，2009:4-6.

[3] ZKY-ZS/TD轉(zhuǎn)動慣量實驗組合儀使用說明書[Z].

[4] 田碩. 剛體轉(zhuǎn)動慣量的幾種計算方法[J]. 中國西部科技，2015，14(6)：82-84.

[5] 孔玥. 阻尼條件下轉(zhuǎn)動慣量測量技術(shù)的研究[D].哈爾濱: 哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2013:31-34.

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[9] 謝亮，張進治，安艷偉，等. 轉(zhuǎn)動慣量測試儀的設(shè)計[J]. 物理實驗，2015,35(7)：27-30.

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[責(zé)任編輯：尹冬梅]

Verifying the perpendicular axis theorem of rotational inertia of rigid body using a constant-torque rotational method

WANG Jin-hui, HE Li-rong, YANG Wen-ming, ZHOU Hong, WANG Yu-xing

(Department of Physics and Astronomy, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

The moment of inertia of a self-made stainless sheet with rectangle shape had been measured using a constant-torque rotational method. The experimental data were 7.70×10-4kg·m2and 3.23×10-3kg·m2for the rotational axis parallel to long and short edge of sheet, respectively, and 3.97×103kg·m2for the rotation axis vertical to the surface of plate. The sum of the moment of inertia along the long and short edge of the sheet was approximately equal to that along the surface normal of the sheet. The relative error was about 0.84%, perfectly proved the perpendicular axis theorem. It was also shown that the improvement of the moment of inertia by considering the thickness of the sheet was less than 5‰, then it was reasonable to omit the effect of thickness. The experimental results indicated the screws and dowel pin played no important role. Moreover, the effects of air damping, radius of cone pulley and mass of weights were discussed.

rigid body; moment of inertia; constant-torque rotational method; perpendicular axis theorem

2016-05-31

王錦輝(1969-)，男，江蘇淮安人，上海交通大學(xué)物理與天文系副教授，博士，主要研究方向為磁性材料.

O313.3

A

1005-4642(2017)03-0011-04

“第9屆全國高等學(xué)校物理實驗教學(xué)研討會”論文