B超醫(yī)學圖像去噪模型的快速算法研究

常璐璐，張化朋

(南京郵電大學 理學院，江蘇 南京 210023)

B超醫(yī)學圖像去噪模型的快速算法研究

常璐璐，張化朋

(南京郵電大學 理學院，江蘇 南京 210023)

數(shù)字圖像處理技術(shù)在人們的現(xiàn)實生活中具有廣泛的應用。深入研究基于變分偏微分方程的B超醫(yī)學圖像的噪聲去除問題，既能豐富醫(yī)學圖像的處理方法，促進人們對圖像的深入理解，又能為基于超聲醫(yī)學圖像的診斷治療提供幫助。針對B超醫(yī)學圖像中斑點噪聲的去除問題，根據(jù)Jin等對去除超聲圖像中的乘性噪聲變分模型進行的研究，結(jié)合該變分模型解的框式制約和Split Bregman算法，提出了針對B超醫(yī)學圖像中斑點噪聲變分模型的快速數(shù)值求解算法，并且分析了所提算法的收斂性。對測試圖像進行了數(shù)值仿真實驗，并將文中提出的新方法與現(xiàn)有的算法進行了比較。實驗結(jié)果表明，采用文中算法是可行有效的，能夠在去除B超醫(yī)學圖像中斑點噪聲的同時極大地縮短運算的時間。

圖像處理；B超醫(yī)學圖像；斑點噪聲；Split Bregman算法

0 引 言

超聲(UltraSound,US)、機斷層掃描成像(Computer Tomography,CT)、核磁共振成像(Magnetic Resonance Imaging,MRI)等醫(yī)學圖像在臨床診斷和治療中得到了非常成功的應用。然而,由于超聲成像設備的局限性以及受到各種外界因素的限制，使得B超醫(yī)學圖像容易被干擾，出現(xiàn)含有斑點噪聲等問題。雖然有經(jīng)驗的醫(yī)師憑借專業(yè)知識可以辨別圖像中的病灶，但是斑點噪聲的存在影響了醫(yī)師對病灶嚴重程度等細節(jié)信息的判斷。對B超醫(yī)學圖像去噪，增加視覺效果，既能輔助醫(yī)生對病人進行精確診斷和治療，又能滿足人們希望更加直觀形象地了解病情嚴重程度的迫切需求，為醫(yī)患溝通搭建橋梁，減輕病人焦慮。

Rudin等以及Lysaker等分別提出了二階ROF模型[1]以及四階LLT模型[2]去除加性高斯噪聲。不同于經(jīng)典的加性高斯噪聲，斑點噪聲可以用乘性噪聲模型[3]進行描述。用變分法去除乘性噪聲的思想最早由Rudin，Lions和Osher提出。然而斑點噪聲圖像中大多數(shù)情況下并不服從高斯分布,此時RLO模型[4]并不適用，而且還需考慮B超中壓縮變換對B超圖像的影響。臨床用的B超圖像在經(jīng)過壓縮算法后,圖像的灰度特征產(chǎn)生了很大變化，一種壓縮后的B超圖像模型[5-6]被廣泛應用于B超圖像的描述中。針對B超圖像模型，Krissian等[7]改進了保真約束項，隨后Jin等[8]在其基礎上，研究了去除B超圖像斑點噪聲的模型，并給出了該模型解在BV空間的存在唯一性等理論分析，但文中運用的梯度下降法求解速度緩慢且要求u>0以保證該模型為凸模型。

在Jin等提出的B超醫(yī)學圖像去噪模型基礎上，文中給出與之等價的帶框式制約的凸變分去噪模型。然后依據(jù)解的上下界估計作為框式制約并結(jié)合SplitBregman算法，提出對應的快速算法(BoxConstrainsSplitBregman，BCSB)，并給出該算法的收斂性結(jié)果。利用數(shù)值仿真實驗驗證了該算法的可行性及有效性。

1 模型介紹

Rudin等提出針對乘性噪聲的去噪模型為：

(1)

其中，λ1,λ2為權(quán)重系數(shù),稱它為RLO模型。

Krissian等提出新的保真項模型來處理B超醫(yī)學圖像:

(2)

Jin等結(jié)合ROF模型以及式(2)的保真項，提出如下模型：

(3)

其中，u∈BV(Ω),u>0；f(x)∈L∞(Ω)是給定的；λ>0為權(quán)重參數(shù)。

Jin等給出了該模型解在BV空間的存在唯一性等理論分析，但文中運用的梯度下降法求解速度比較緩慢且有u>0的硬性要求，有：

(4)

Jin等已經(jīng)給出模型(4)的解的存在唯一性定理，如下：

定理1：假設在模型(見式(4))中f(x)∈L(Ω)，并且infΩf(x)>0，那么該變分問題存在唯一的解，滿足：

infΩf(x)≤u(x)≤supΩf(x)

(5)

其中，α=infΩf(x),β=supΩf(x)。

根據(jù)定理1，可以將式(4)寫成如下的等價形式:

(6)

滿足：

α≤u(x)≤β

(7)

由于當u>0時，式(4)為凸模型。因此當式(6)滿足式(7)的約束條件時也為凸模型。

接下來，結(jié)合SplitBregman算法，給出求解上述醫(yī)學B超圖像凸模型(式(6)、(7))的數(shù)值解法，稱為BCSB算法，然后給出新算法的收斂性定理結(jié)果。

2 算法改進及其收斂性結(jié)果

SplitBregman算法[9]是解決能量泛函極小化問題的一種快速算法，可以靈活處理各種噪聲問題。其基本思想是，首先采用算子分裂方法，然后運用Bregman迭代解決分裂問題，將繁復的求解問題轉(zhuǎn)變成解決數(shù)個容易的子問題。文中結(jié)合SplitBregman算法以及解的框式制約條件，給出新模型對應的BCSB算法：

(8)

每次迭代中調(diào)用下面的問題解決方案：

(9)

(10)

利用Shrink算子[10]，得到：

(11)

(12)

那么z滿足：

(13)

求解該一元三次方程，采用卡爾丹公式法得出：

(14)

(15)

那么u滿足：

(16)

采用快速Fourier變換求出u：

(17)

其中，“∧”表示Fourier變換。

該算法求解模型的迭代步驟為：

步驟2：重復如下迭代過程：

(2)zk+1(x)=

(6)k=k+1。

步驟3：當滿足迭代終止條件時，迭代終止，得出模型的解u。

根據(jù)Osher等[11]給出的SplitBregman算法的收斂性定理分析理論,文中的新算法BCSB與帶約束的SplitBregman算法[12]的收斂性證明方法類似，不再重復贅述，直接給出其收斂性結(jié)果。

3 數(shù)值實驗及結(jié)果分析

為了對文中算法去除B超醫(yī)學圖像的效果進行檢驗，引入了定量指標PSNR以及MSE。定義分別為：

(18)

其中，u0為原始圖像；u為去噪后圖像；M和N為圖像尺寸。

對圖1添加標準差為4的噪聲，使之成為噪聲圖像，然后用文中算法進行去噪，并且分別與梯度下降法、ADMM算法[13-14]、SplitBregman算法進行比較。仿真時選取的參數(shù)如下：λ=2,γ1=3,γ2=8。

圖1 四種算法去噪后的效果比較

從圖1可以看出,文中算法的去噪效果更好，既能有效去除噪聲，又能盡可能多地保留原始清晰圖像的紋理細節(jié)特征。

表1列出了分別用梯度下降法、ADMM算法、SplitBregman算法進行去噪后對應的PSNR值、MSE值以及各自的計算速度。

表1 四種算法的實驗比較

表1相當客觀地說明了文中算法的優(yōu)勢,其PSNR值均高于其他三種算法，而MSE值均低于其他三種算法。文中算法添加的框式制約保證了其收斂性，故相對于其他三種算法迭代次數(shù)更少且運行時間更快。

接下來對用上述四種方法去除真實B超圖像之中斑點噪聲的效果進行比較，結(jié)果如圖2所示。

圖2 四種算法去除真實B超圖像噪聲效果比較

從圖2可以看出，文中算法能有效去除真實B超圖像中的斑點噪聲。相對于其他三種算法，文中算法更能夠在去除噪聲的同時保持B超圖像的紋理細節(jié)信息。

4 結(jié)束語

針對B超醫(yī)學圖像中乘性斑點噪聲的去噪問題，在Jin等模型的基礎上，結(jié)合該模型解的框式制約以及SplitBregman算法，提出了B超圖像去噪變分模型的快速數(shù)值求解算法。對模擬圖像以及真實的B超醫(yī)學圖像進行了數(shù)值實驗。結(jié)果表明，文中算法是可行有效的。與其他現(xiàn)有算法相比，不僅能夠有效地去除斑點噪聲，而且圖像去噪速率也更加快速。

[1]RudinL,OsherS,FatemiE.Nonlineartotalvariationbasednoiseremovalalgorithms[J].PhysicaDNonlinearPhenomena,1992,60(1-4):259-268.

[2]LysakerM,LundervoldA,TaiXC.Noiseremovalusingfourth-orderpartialdifferentialequationwithapplicationtomedicalmagneticresonanceimagesinspaceandtime[J].IEEETransactionsonImageProcessing,2003,12(12):1579-1590.

[3]TurM,ChinKC,GoodmanJW.Whenisspecklenoisemultiplicative?[J].AppliedOptics,1982,21(7):1157-1159.

[4]RudinL,LionsPL,OsherS.Multiplicativedenoisinganddeblurring:theoryandalgorithms[M]//Geometriclevelsetsinimaging,visionandgraphics.Berlin:Springer,2003:103-119.

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[8]JinZhengmeng,YangXiaoping.Avariationalmodeltoremovethemultiplicativenoiseinultrasoundimages[J].JournalofMathematicalImagingandVision,2011,39(1):62-74.

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[11]OsherS,BurgerM,GoldfarbD,etal.Aniterativeregularizationmethodfortotalvariation-basedimagerestoration[J].SiamJournalonMultiscaleModeling&Simulation,2005,4(2):460-489.

[12]ShiB,PangZF,WuJ.Alternatingsplitbregmanmethodforthebilaterallyconstrainedimagedeblurringproblem[J].AppliedMathematicsandComputation,2015,250:402-414.

[13]GabayD,MercierB.Adualalgorithmforthesolutionofnonlinearvariationalproblemsviafiniteelementapproximations[J].ComputersandMathematicswithApplications,1976,2(1):17-40.

[14]BoydS,ParikhN,ChuE,etal.Distributedoptimizationandstatisticallearningviathealternatingdirectionmethodofmultipliers[J].FoundationsandTrendsinMachineLearning,2010,3(1):1-122.

Investigation on Fast Algorithm for B Ultrasonic Medical Image Denoising Model

CHANG Lu-lu，ZHANG Hua-peng

(School of Science,Nanjing University of Posts and Telecommunications,Nanjing 210023,China)

Digital image processing technology has a wide range of applications in real life.B ultrasound medical image denoising problem is deeply studied based on variation and partial differential equation，which can not only make the method of medical image processing be rich,promotion of the deep understanding of the ultrasound image,but also be helpful for the diagnosis and treatment based on ultrasound image.For speckle noise removal problem of B ultrasound medical image,according to the study on the variational model of multiplicative noise in ultrasound images by Jin et al,combination of the frame type constraints of the model solution and the Split Bregman algorithm,a fast numerical algorithm is proposed for the variational model of removing the speckle noise in B ultrasound medical image,and its convergence is analyzed.The numerical simulation is carried out on the test image,and the new method is compared with the existing algorithm.The experimental results show that the algorithm proposed is feasible and effective,and the speckle noise in the B ultrasound medical image is removed and the computation time is greatly reduced.

image processing;B ultrasound medical image;speckle noise;Split Bregman algorithm

2016-05-16

2016-09-08

時間：2017-02-17

國家自然科學基金資助項目(11301281)

常璐璐(1991-)，女，碩士研究生，研究方向為圖像處理建模及快速優(yōu)化算法；張化朋，副教授，碩士生導師，研究方向為模糊泛函分析。

http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1450.TP.20170217.1634.084.html

TN911.73

A

1673-629X(2017)03-0057-04

10.3969/j.issn.1673-629X.2017.03.012