小波變換的閾值圖像去噪算法改進

張小燕，吐爾洪江·阿布都克力木

(新疆師范大學 數學科學學院，新疆 烏魯木齊 830017)

小波變換的閾值圖像去噪算法改進

張小燕，吐爾洪江·阿布都克力木

(新疆師范大學 數學科學學院，新疆 烏魯木齊 830017)

通過分析研究發現D.L.Donoho提出的小波閾值去噪方法，以及文中提及的已構造出的小波閾值函數在圖像去噪方面仍存在問題。為了進一步改善這些問題，綜合典型的小波閾值函數的優點與一些改進方法，提出一種改進的新閾值函數。該閾值函數不僅在閾值處連續，而且含有參數，可通過調整參數來調節閾值化小波系數和原始小波系數之間的恒定偏差，同時其還具有可微性便于計算。為了突出表現構造的新閾值函數的優越性，通過仿真實驗對文中提出的幾種小波去噪方法的均方差(MSE)和峰值信噪比(PSNR)進行對比。實驗結果表明，利用新構造的閾值函數去噪，去噪后的圖像無論是視覺效果還是在均方差、峰值信噪比等的性能上都比傳統的軟、硬閾值和已有的閾值去噪效果好。

小波變換；閾值函數；圖像去噪；均方差；峰值信噪比

0 引 言

無論在科學研究或現實生活中，圖像難免受噪聲污染，噪聲對圖像處理有很大的影響，故要對圖像進行后續分析，就必須對圖像進行去噪。一些典型的圖像去噪方法根據圖像特點、圖像頻譜分布規律或噪聲統計特性對圖像進行去噪，如均值濾波、中值濾波、Wiener線性濾波等[1]。這些濾波方法具有一定的局限性，僅在頻域或僅在空間域具有局部分析的能力[2]。小波變換是一種信號時間-尺度分析方法，具有多分辨率分析特點，其在時域和頻域都具有較好的局部化特性。

1995年，D.L.Donoho首次提出小波閾值概念[3]，此方法在硬、軟閾值函數[3-6]中得到了廣泛應用，但該方法也存在一定不足。

文獻[7-8]提出的兩個閾值函數，雖對軟、硬閾值函數進行了一定改進，但效果不是特別明顯，重構后圖像與原圖逼近程度不是很高。

文中通過綜合軟、硬閾值函數和文獻[7-8]中各閾值函數的優缺點，提出改進后的新的閾值函數。該閾值函數表達式簡單，是已有閾值函數的推廣，通過調整參數來調節閾值化小波系數和原始小波系數之間的恒定偏差，同時還具有可微性便于計算。

1 二維小波分解與重構

(1)

對應的二維小波分解為：

(2)

二維重構算法為：

(3)

對一幅二維圖像進行二維小波變換，可將它分解到各層各個分辨率上的近似分量(如Ac1),水平方向細節分量(如Hc1)，垂直方向細節分量(如Vc1)，對角線方向細節分量(如Dc1)。二層小波圖像分解[10]和重構過程分別如圖1和圖2所示。

圖1 小波圖像分解過程

圖2 小波圖像重構過程

2 小波閾值去噪

小波閾值去噪是圖像去噪中具有代表性的一種方法。最早的閾值去噪方法是由D.L.Donoho提出的萎縮(VisuShrink)法[4]，其方法實質是：將含噪信號通過小波變換得到相應的小波系數，而小波系數在小波域上對噪聲起作用。針對信號設定一個閾值，當小波系數小于該閾值時，就認為該信號由噪聲引起，不含有信息分量，故舍棄該信號；當小波系數大于該閾值時，認為該信號是由信號自身和噪聲作用的結果，則將該信號直接保存下來(硬閾值方法)或按照某種固定量向零收縮(軟閾值方法)，用新的小波系數進行小波重構得到去噪后的小波系數。

設一個大小為m×n的數字圖像F(i,j)，在圖像上加一個服從(0,δ2)的高斯白噪聲ε(i,j)，f(i,j)表示從F(i,j)中恢復的原始圖像：

F(i,j)=f(i,j)+ε(i,j)，i=0,1,…,m-1，j=0,1,…,n-1

(4)

小波閾值去噪一般分為三步[11]：

(1)對帶噪信號進行小波變換，得到相應小波系數Fj,k；

其中，小波閾值去噪方法的關鍵是閾值選取和閾值量化處理。選取正確、合理的閾值和量化方法，才能保證在濾除噪聲小波系數的同時盡可能保留原圖像小波系數，故閾值的選取和閾值量化處理直接關系去噪后的圖像質量。

文中所提閾值函數有硬閾值函數、軟閾值函數、軟硬閾值折中閾值和已改進閾值函數。

硬閾值函數：

(5)

軟閾值函數：

(6)

軟硬閾值折中閾值函數[5]：

(7)

已有的改進閾值函數[6]：

(8)

3 進一步改進的閾值函數

針對上述閾值可知，硬閾值函數估計的小波系數在±λ處不連續，但其與真實小波系數無偏差；軟閾值函數在小波空間域連續，但其估計出的小波系數與真實的小波系數之間存在恒定偏差，該偏差將影響小波重構，導致小波重構精度降低[12]；改進閾值函數相比于傳統閾值函數克服了它們的一些缺點，但仍存在一定的局限性，對圖像噪聲的處理存在一定的依賴性，圖像能量的分布不夠均勻，在圖像去噪中要使圖像去噪和邊緣保留達到相應的平衡，若一味尋求圖像去噪效果，勢必在邊緣存在一定模糊。理想小波閾值去噪方法[13-14]：小波進行去噪時既要使小波系數的偏差盡可能小，又要使小波系數在小波空間連續，還具有高階導數。依據這種要求，構造了新的小波閾值函數，在一定條件下可以克服這種不足，從而達到較好的去噪效果。

新的閾值函數為：

(9)

其中，a和b為可調參數。

考察函數

(10)

當x>0時，有：

(11)

當x<0時,有：

(12)

同時

(13)

當a=1時,有：

(14)

根據改進的閾值函數可知，當a=0或者b=∞時，改進的閾值函數為硬閾值函數；當a=1且b=1時，改進的閾值函數為軟閾值函數。由此可見，改進的新閾值函數介于軟、硬閾值之間。由于新閾值函數具有光滑性，能更接近信號和噪聲的小波系數的物理本質，從而在對圖像進行去噪處理時，去噪效果比軟、硬閾值要好。

4 仿真實驗與分析

為了突出新的閾值函數在圖像去噪中所表現出的優越性和有效性，分別對傳統的軟、硬閾值函數，折中閾值及改進的和新的閾值函數進行數字圖像的去噪對比實驗。

采用的小波是db5與db3，分解層為3層，其中參數(b=1,b=2,b=3)。實驗采用的是標準Lena圖，加入Gaussian噪聲，測試結果見表1和表2。

由圖3可看出，利用文中算法去噪的圖像具有較好的視覺效果。通過表1和表2中的數據，也可以看出文中算法去噪效果具有明顯優越性。

表1 測試結果(Lena(db5))

表2 測試結果(Lena(db3))

圖3 五種不同算法對Lena圖像去噪結果比較

5 結束語

傳統的軟、硬閾值和文獻[7-8]提出的兩個閾值函數，無法有效地表達能量分布，需要在去噪和保留邊緣信息中尋求平衡。文中提出的改進閾值函數克服了已有閾值函數圖像去噪時有偏差，去噪后圖像模糊或紋理不夠清晰或邊緣模糊的缺點，同時還具有能量自適應性。通過仿真實驗表明，該方法對圖像進行處理后得到較小的均方誤差并且在一定程度上可得到較好的圖像細節，其與傳統的閾值函數以及改進閾值函數相比無論在視覺效果還是在去噪后圖像的信噪比上都有明顯提高。

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Improvement of Threshold Image Denoising Algorithm with Wavelet Transform

ZHANG Xiao-yan,Turghunjan ABDUKIRIM TURKI

(School of Mathematical Sciences,Xinjiang Normal University,Urumqi 830017,China)

There are many problems for wavelet threshold denoising method proposed by D.L.Donoho and constructed wavelet threshold function mentioned in this paper in image denoising through analysis and research.In order to improve these problems,a new improved threshold function has been presented which integrates the advantages of classical wavelet threshold function and other improved methods.This function is not only continuous at a specific threshold,but also involves parameters.Thus,constant deviation between threshold wavelet coefficients and original wavelet ones can be adjusted by regulating the parameters.Meanwhile,it is of differentiability convenient for calculations.In order to highlight the advantages of the threshold function constructed,Mean Square Errors (MES) and Peak Signal to Noise Ratios (PSNR) of several wavelet denoising methods are compared with proposed method in simulation experiment.Results of the experiment show that the images denoised with new threshold function are better than those with traditional soft and hard threshold functions and existent threshold functions,either in visual effect or performance parameters such as MES and/or PSNR.

wavelet transform;threshold function;image denoising;MSE;PSNR

2016-04-22

2016-08-03

時間：2017-02-17

國家自然科學基金資助項目(11261061，61362039，10661010)；新疆維吾爾自治區自然科學基金資助項目(200721104)

張小燕(1991-),女，碩士研究生，研究方向為小波分析及其應用;吐爾洪江·阿布都克力木,博士，教授，通訊作者，研究方向為小波分析與模式識別。

http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1450.TP.20170217.1628.026.html

TP301.6

A

1673-629X(2017)03-0081-04

10.3969/j.issn.1673-629X.2017.03.017