柳暗花明又一村

羅彩霞

摘 要：越來越多的高考題目不只是考查學生的某一種解題能力，而是利用其精妙的構思、靈活的解法考查學生的綜合解題能力。導數問題的綜合性比較強，是高考試題中的壓軸題，學生在解題時往往束手無策。要想順利解題，就必須掌握其中的解題規律，將其化難為簡、化繁為易，進而解決之。

關鍵詞：導數；不等式；零點

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9132（2017）05-0043-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.05.026

導數是初等數學與高等數學的重要銜接點，也是近幾年高考的熱點。縱觀近幾年的高考導數試題，我們不難發現導數與數列、不等式的綜合性問題尤其頻繁，這已成為考生們的“老大難”問題。下面筆者結合近幾年高考試題，談談導數問題的基本類型及解題策略。

一、題根（2013年高考試題）

1.證明：當時，；

2.若不等式對恒成立，求a取值范圍。

上題是2013年高考導數綜合問題的一個典型代表。分析2013年各省市的高考數學試題，導數綜合問題基本都是試卷中的壓軸大題，其綜合性強、思維量大，是高考的難點。2013年的導數問題主要考查內容為求曲線的切線方程、判斷函數性質、曲線的零點個數問題及不等式與導數的綜合問題等。

二、題型歸納及解題規律

類型一：不等式的證明問題。

利用導數證明不等式，就是利用不等式與函數之間的聯系，直接或間接等價變形后，結合不等式的結構特征，構造相應的函數。通過利用導數判斷出函數的單調性，將不等式的證明轉化為函數問題。

例1.求證：不等式在上成立。

證明：構造函數，考查的符號知在（）上單調遞增，

又因為，所以，

即成立，

又構造函數，考查，知在（）上單調遞增，

又因為，所以，即成立，

綜上所述，原命題成立。

變式：設，證明：當時，。

證明：令，則

，

令，則當時，考查的符號知在（1，3）內是減函數，

又，所以，

于是當時，。

評析：利用導數證明不等式，就是通過觀察不等式后構造函數，然后利用導數的方法去研究函數的性質，求出函數的最值，經過驗證從而達到證明不等式的目的。

類型二：不等式恒成立問題。

例2.已知函數其中，設函數當時，若總有成立，求實數m的取值范圍。

解析：當a=2時，，，

考慮的符號得其單調性，從而知在區間（0，1）上有，

而“總有成立”等價于“在（0，1）上的最大值不小于在[1，2]上的最大值”。

又在[1，2]上的最大值，， ，則。

變式：已知函數，若，函數在上是單調函數，求a的取值范圍。

解析：函數的定義域是，因為，所以b=2a-1。

所以，要使在上是單調函數，

只要或在上恒成立，

對a進行分類討論，得出a=0、a>0 、a<0時的符號，進而得出其單調性知：a的取值范圍是。

評析：不等式恒成立問題，一般都會涉及到求參數的范圍，通常的方法是通過變量分離將問題轉化成（或 ）的恒成立問題，只需求出的最大值（或的最小值）， （）即可。

類型三：曲線的零點個數問題。

例3.已知函數，，是否存在實數m，使得的圖像與的圖像有且只有三個不同的交點，若存在，求出m的范圍；若不存在，說明理由。

解析：欲使、有三交點，必有三實根，即有三個實根。

設，

考慮函數的單調性：，令得二根：，

當時，時，時 ，

于是得到的單調性：單調遞增，單調遞減，單調遞增，

時取得極大值，時極小值，要使有三實根，

只需將，帶入即得：且即。

變式：已知函數是二次函數，不等式的解集是，且在區間上的最大值是12.

（1）求的解析式；

（2）是否存在自然數m，使得方程在區間（m，m+1）內有且只有兩個不相等的實數根？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由。

解析：（1）因為是二次函數，且<0的解集是 （0，5），根據二次函數的性質，再利用數形結合法得出的解析式為=2x（x-5）=2x2-10。

（2）方程等價于方程 。

構造函數，根據其導函數h'（x）=6x2-20x=2x（3x-10）的符號得出其單調性，再結合函數零點問題得出：在區間，內分別有唯一實數根，而在區間，內沒有實根，所以存在唯一的自然數m=3，使得方程在區間（m，m+1）內有且只有兩個不相等的實數根。

評析：對于解決陌生函數的零點個數問題，若能把已知函數分解成兩個熟悉的函數，那么可利用構造函數法化歸為求兩個熟悉函數圖象的交點個數求解；對于一元高次函數，可利用導數法研究函數圖象的特征，作出函數的圖象，確定圖象與軸交點的情況求解。

在學習導數的過程中，我們必須尋找其中的規律，在備考時做到有的放矢、重點突破，這就要求備考的教師及時地進行總結、歸納，理清思路后引導學生掌握并應用。

參考文獻：

[1] 沈春芳.淺談《數學分析》教學中的反例[J].合肥師范學院學報，2010（3）：4.

[2] 李一淳.極限思想在高中數學解題中的應用[J].中學生理科應試，2013（5）：6.

[責任編輯 房曉偉]