線段和的最小值問(wèn)題再探究

陜西師范大學(xué)附屬中學(xué)(710056) 曹艷

線段和的最小值問(wèn)題再探究

陜西師范大學(xué)附屬中學(xué)(710056) 曹艷

初中階段的線段最值問(wèn)題都是以“兩點(diǎn)之間,線段最短”為理論依據(jù)的.同時(shí)實(shí)際運(yùn)用過(guò)程中也用到“三角形兩邊之和大于第三邊”,“三角形兩邊之差小于第三邊”,有時(shí)候還會(huì)結(jié)合“垂線段最短”的結(jié)論.無(wú)論是兩條線段和還是三條線段和的最小值問(wèn)題,最終都要轉(zhuǎn)換為兩點(diǎn)之間線段最短問(wèn)題.

一、利用軸對(duì)稱變換求解線段和最小值

基本模型:

1.“一定一動(dòng)”問(wèn)題:根據(jù)“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中,垂線段最短”,可知已知點(diǎn)到已知線段的最小值為對(duì)應(yīng)垂線段長(zhǎng)度.

2.“兩定一動(dòng)”問(wèn)題:教材中的“牛奶站”問(wèn)題,“將軍飲馬”問(wèn)題等,都是根據(jù)軸對(duì)稱性,結(jié)合“兩點(diǎn)之間,線段最短”來(lái)求線段和的最小值,可以歸結(jié)為“兩定一動(dòng)”問(wèn)題.

3.“一定兩動(dòng)”問(wèn)題:

例1.如圖1,點(diǎn)P位于l1和l2之間,M、N分別在l1和l2上,試確定 M、N 位置使得PM+MN+PN最小.

圖1

分析:這個(gè)問(wèn)題需要作點(diǎn)P關(guān)于l1和l2的對(duì)稱點(diǎn),PM+MN+PN=P′M+ MN+P′′N≥P′P′′,即點(diǎn)P′、M、N、P′′四點(diǎn)共線時(shí)PM+MN+PN最小.這個(gè)模型還可以放至菱形或者等腰三角形中.

例2.如圖2,點(diǎn)P位于l1和l2之間,M、N分別在l1和l2上.試確定M、N位置使得PM+MN最小.

圖2

分析:此題只需作點(diǎn) P關(guān)于 l1的對(duì)稱點(diǎn) P′,有PM+MN=P′M+MN≥P′N,即當(dāng)P′、M、N三點(diǎn)共線時(shí)PM+MN最小,為P′N.點(diǎn)N在l2上運(yùn)動(dòng),由垂線段最短可知,當(dāng)P′N⊥l2時(shí)P′N最小,此時(shí)PM+MN最小.

4.“兩定兩動(dòng)”問(wèn)題:

例3.如圖3,P、Q為定點(diǎn),M為l1上一動(dòng)點(diǎn),N為l2上一動(dòng)點(diǎn),求PQ+PM+MN+NQ的最小值.

圖3

分析:作點(diǎn)P關(guān)于l1的對(duì)稱點(diǎn)P′,點(diǎn)Q關(guān)于l2的對(duì)稱點(diǎn)Q′,則PQ+PM+MN+NQ=PQ+P′M+MN+NQ′≥PQ+P′Q′,當(dāng)P′、M、N、Q′四點(diǎn)共線時(shí)PQ+PM+MN+ NQ最小,為PQ+P′Q′.

有的則需要借助平移來(lái)轉(zhuǎn)化為第(2)種情形.舉例說(shuō)明:

例4.如圖4,P、Q兩點(diǎn)分別位于河流兩側(cè),河寬為a米,l1//l2.需要在河上修建一座橋,使得橋MN垂直于岸邊l1,試問(wèn)MN建在何處使得PM+MN+QN最小.

圖4

分析:將點(diǎn)P沿垂直于l1的方向平移a米,易證四邊形PP′NM為平行四邊形.因此PM+MN+QN= P′N+MN+QN ≥a+P′Q,即P′、N、Q共線時(shí)PM+MN+QN最小.

例5.如圖5,點(diǎn)A、B位于直線l的同側(cè),定長(zhǎng)為a的線段MN在l上滑動(dòng),請(qǐng)問(wèn)MN滑動(dòng)到何處時(shí)AM+MN+BN最小.

圖5

分析:將點(diǎn)A沿平行于l的方向平移a至A′點(diǎn),易證四邊形AMNA′為平行四邊形.作點(diǎn)A′關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′′.因此AM+MN+BN= A′N+MN+BN=A′′N+MN+BN≥a+A′′B,即A′′、N、B三點(diǎn)共線時(shí)AM+MN+BN最小.

圖6

例6.如圖6,在邊長(zhǎng)為10的菱形ABCD中,對(duì)角線BD=16,E為AB的中點(diǎn),P、Q是BD上的動(dòng)點(diǎn),且始終保持PQ=2,則四邊形AEPQ的周長(zhǎng)的最小值為多少?

分析:根據(jù)菱形的對(duì)稱性可知點(diǎn)A關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C,則AQ=CQ.將點(diǎn)E沿BD方向平移2個(gè)單位,則四邊形EPQE′為平行四邊形,故EP=E′Q.則四邊形AEPQ的周長(zhǎng)為AE+EP+PQ+AQ= AE+E′Q+PQ+CQ=5+2+E′Q+CQ≥7+CE′,易求得因此四邊形AEPQ的周長(zhǎng)為

5.“三動(dòng)”問(wèn)題:

例7.如圖7,四邊形ABCD為菱形,已知M、N分別是邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn),P是對(duì)角線BD上一點(diǎn),則PM+PN的最小值是多少?

圖7

分析:由菱形對(duì)稱性可知點(diǎn)N關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)N′在AD上,則PM+PN=PM+PN′≥MN′,即當(dāng)M、P、N′三點(diǎn)共線時(shí)PM+PN最小,為MN′.而只有MN′⊥BC時(shí)MN′最小,因此PM+PN的最小值即為BC和AD之間的距離.

二、利用旋轉(zhuǎn)變換求解線段和最小值

例 8.如圖 8,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,△ABE是等邊三角形,M為對(duì)角線BD(不含B點(diǎn))上任意一點(diǎn),將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接EN,AM,CM,則當(dāng)M在BD上運(yùn)動(dòng)時(shí),(AM+BM+CM)2的最小值為多少?

圖8

分析:若求(AM+BM+CM)2的最小值,即求AM+BM+CM的最小值.在此需要將三條線段轉(zhuǎn)化,利用兩點(diǎn)之間線段最短來(lái)解決.

解析:先轉(zhuǎn)化AM.∵△ABE為等邊三角形,∴BA= BE.∵∠ABM+∠ABN=∠EBN+∠ABN=60°,∴∠ABM=∠EBN.又∵BM=BN,∴△ABM～=△EBN(SAS),∴AM=EN.再轉(zhuǎn)化BM,連接MN.∵BM=BN,∠MBN=60°,∴△BMN為等邊三角形,BM=MN.因此AM+BM+CM=EN+MN+CM,當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線的時(shí)候AM+BM+CM最短,其最小值為EC的長(zhǎng)度.

例9.如圖10,已知正方形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到A、B、C三點(diǎn)的距離之和最小值為,則正方形的邊長(zhǎng)是______.

圖9

分析:該題目的已知條件與所求結(jié)論恰和上例相反,我們可以用類似的方法來(lái)求解.

解析一:如圖 11,不妨在正方形ABCD外部以AB為邊作等邊△ABE,同時(shí)將線段BP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接EN,NP.

圖10

仿照上例我們可以證明將線段AP轉(zhuǎn)化為EN,將BP轉(zhuǎn)化為NP,則有AP+BP+CP= EN+NP+CP,當(dāng)E、N、P、C四點(diǎn)共線時(shí)AP+BP+CP最小,為,即.

圖11

當(dāng)然我們是受到例8的啟發(fā),運(yùn)用相似模型解決了例9的問(wèn)題.如果我們直接運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的特性也可以按照下面的思路進(jìn)行求解.

解析二:不妨以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心,將△ABP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AEN(用緊密虛線顯示),連接BE,BN,NP,如圖12.

圖12

容易證明△APN為等邊三角形,∴AP=NP.又BP=EN,∴AP+BP+CP=NP+EN+CP,當(dāng)E、 N、P、C四點(diǎn)共線時(shí)AP+BP+CP最小,為,即.容易證明△AEB為等邊三角形,其余同上.

我們?cè)诮鉀Q這個(gè)三條線段和最小的問(wèn)題時(shí),將其轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短的問(wèn)題.同時(shí)條件稍作改變之后我們還可以用類似方法去套這個(gè)模型.

數(shù)學(xué)題目千變?nèi)f化,稍作改變就是一道全新的題目,所以提示我們?cè)诮忸}過(guò)程中注意觸類旁通,發(fā)散思維,這樣往往會(huì)有意想不到的效果.而其實(shí)這道題目是費(fèi)馬點(diǎn)的變形.下面我們看看什么是費(fèi)馬點(diǎn):

費(fèi)馬點(diǎn),就是到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn).所謂費(fèi)馬點(diǎn)結(jié)論是這樣的:對(duì)于一個(gè)各角不超過(guò)120°的三角形,費(fèi)馬點(diǎn)是對(duì)各邊的張角都是120°的點(diǎn);對(duì)于有一個(gè)角超過(guò)120°的三角形,費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)(這里不再贅述證明過(guò)程).解決費(fèi)馬問(wèn)題的方法主要就是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換.近幾年,費(fèi)馬問(wèn)題逐漸走進(jìn)了中考的陣地,而這個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題也有很多的變形,本文中的例題恰恰如此,不過(guò)萬(wàn)變不離其宗,解決方法依然是旋轉(zhuǎn)變換.

三、啟示

初中階段學(xué)習(xí)的五種變換:平移變換、軸對(duì)稱變換、中心對(duì)稱變換、旋轉(zhuǎn)變換以及位似變換,其中前四種是全等變換,第五種是相似變換.在求解線段和最小值的問(wèn)題中,我們常用的就是平移變換、軸對(duì)稱變換和旋轉(zhuǎn)變換.不論是哪一種模型,都需要準(zhǔn)確找出變化過(guò)程中的不變量,如軸對(duì)稱變化中的對(duì)應(yīng)線段、旋轉(zhuǎn)變換中的對(duì)應(yīng)線段等等,以此作為解題突破口.此類問(wèn)題可以在等腰三角形、等腰梯形、長(zhǎng)方形、菱形、正方形、正多邊形、圓等基本圖形中出現(xiàn),還可以與二次函數(shù)拋物線相結(jié)合,因此教學(xué)過(guò)程中,可依據(jù)學(xué)生情況適時(shí)引導(dǎo),培養(yǎng)學(xué)生在解題過(guò)程中的觀察力,逐步體會(huì)問(wèn)題實(shí)質(zhì).