把握組題導向,達成高效目標*

廣東高州中學(525200) 劉均鋒

把握組題導向,達成高效目標*

廣東高州中學(525200) 劉均鋒

高三數學復習以診斷式教學為主.我們只有組好題、設計好探究練習,才能全面有效地診斷學生的學習狀況,有針對性地指導學生學,提高復習效率.在復習中如何設計變式訓練題,達成高效復習目標呢?本文結合多年教學實踐,從習題設計導向上談談我的體會.

一、在易混淆處對比設問,讓學生辨清概念

兩件(或兩件以上)性質比較相近的事物放在一起對照比較,最易發現它們的相同點和不同點.高中數學有很多容易混淆的概念、公式、定理、解題方法等,教師可在這些地方設計對比練習,讓學生去辨析.例如在復習導數幾何意義時,我們設計練習:(1)曲線y=x3在點P(2,8)處的切線方程為___;(2)曲線y=x3過點P(2,8)的切線方程為___.

學生在解題時往往忽略“過P點的切線”與“在P點處的切線”的區別,教師在此處設問,可以讓學生加深印象.

二、在思維“盲區”設問,掃除學生知識運用“誤區”

部分學生學習一知半解,導致解題時不分情況亂套公式、定理的現象較普遍.為此我們在設計練習時,有意識地設計一些公式定理不適用時的情況,讓學生提高認識,掃清思維“盲區”.

例如在復習均值不等式時,變量為正與等號成立的條件是學生思維的“盲區”.我們設計如下練習:

(2)y=2?3x?4x(x＞0)的最大值是___;

(3)y=2?3x?4x(x＜0)的最小值是____;

(4)y=sin2x+4sin2x的最小值是___;

通過對比,讓學生在用均值不等式求最值時加深對“一正二定三相等”的認識,同時對不適合用均值不等式求最值時的情況(如(4)、(5))學會換元轉化為利用函數單調性處理.

三、在一題多變中,培養學生發散思維

根據高考數學“源于課本,高于課本”的命題原則,教師在教學或復習過程中可以利用書本上的例題和習題,進行對比、聯想,采取一題多變的形式進行教學,這是提高學生數學學習興趣和發散思維能力的有效途徑.例如在函數的單調性這一知識的復習教學中,我們讓學生先做課本例題:

此題旨在鞏固函數單調性的概念及證明方法,但我認為教學中不應只停留在直接利用定義或導數法證明這一知識層面上,要引導學生步步深入,積極思維,全方位進行開發探究.充分利用這一難得的“變式”契機將單調性定義及應用推向高潮.我們設計變式練習如下:

變式二:判斷并證明函數

(旨在培養學生普遍聯系的辯證思維及化歸思想)

的單調性.(旨在培養學生綜合思維能力,變形轉化技巧,進一步深化對單調性的理解)

的值域.

通過對上述“問題鏈”的分析與思辨,學生對單調性知識的理解與靈活應用必然更進一層.

四、在一題多解中,培養學生思維靈活性

學生2:(分離變量法)“由于這個函數是分數的形式,分子分母都在變,所以我考慮把分子(或分母)中的一個變形為常數,就可以比較容易地觀察出函數值的變化了.”

學生3:(導數法)“這個函數的圖像畫不出來,且定義域為R,我考慮用導數先研究下函數的單調性,然后再求值域.”

通過這三種解題方法,我們以題帶面復習了“函數的定義域、值域、性質”、“三角函數的有界性”等知識,加深了知識間的溝通,同時也培養了大家解題的轉化策略,體現了函數與方程的思想在數學中的作用.

正當我準備往下講時,一位學生突然叫了起來:“老師,還可以用斜率來做!”

“不行的,用斜率的話其中一個cosx應該改成sinx!”看到大多數學生都在點頭,贊成后面那位學生的意見.

“是啊!改一下的話學生就不難發現用斜率來做了!”我心想.盡管這節課時間已經很緊了,但我還是依然停下來讓那位學生繼續往下說.

圖1

這個學生運用轉化及數形結合的思想方法解出了此題,令大家恍然大悟.

五、在多題一法中,讓學生掌握通法

多題一法是培養學生收斂思維的有效辦法.多題一法能提高學生對通性通法的認識,達到舉一反三、觸類旁通、事半功倍的最佳效果.例如“換元法”通過引進新的變量,把分散的條件聯系起來,隱含的條件顯露出來,或者把條件與結論聯系起來,從而化生為熟,化復雜為簡單.它在研究方程、不等式、函數、數列、三角等問題中有廣泛的應用.在復習中我們設計如下題組:

(1)函數y=cos2x+2sinx的值域為___;(整體換元,設t=sinx)

(2)不等式log2(2x?1)·log2(2x+1?2)＜2的解集是____.(整體換元,設t=log2(2x?1))

(6)已知x2+y2=4x,則x+y的范圍是____(三角換元,設x=?2+2cosα,y=2sinα)

以上幾題,把某個式子看成一個整體,用一個變量去代替它,目的是變換研究對象,將問題移至新對象的知識背景中去研究,從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化,變得容易處理.

六、設計探究練習,讓學生學會歸納、發現與創新

數學探究是高中數學課程中引入的一種新的學習方式,有助于學生初步了解數學概念和結論產生的過程,初步理解直觀和嚴謹的關系,初步嘗試數學研究的過程,體驗創造的激情,建立嚴謹的科學態度和不怕困難的科學精神;有助于培養學生勇于質疑和善于反思的習慣,培養學生發現、提出、解決數學問題的能力;有助于發展學生的創新意識和實踐能力.高三復習也要引導學生圍繞某個數學問題,觀察分析數學事實,提出有意義的數學問題,猜測、探求適當的數學結論或規律,給出解釋或證明.舉例如下:

(1)【2015山東理11】觀察下列各式:

分析:可從前四個特殊的等式中觀察、歸納、總結出一般的規律:式子右邊底都為4,指數與左式最后一組合數上標相同.故答案為4n?1.

(2)(2012年江西)觀察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,···,則a10+b10=___.

分析:觀察發現其規律為從第三項起,每項等于其前相鄰兩項的和,所求值為數列中的第十項.據規律繼續寫出此數列為1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,···,第十項為123.答案:123.

(3)某同學在一次研究性學習中發現,以下五個式子的值都等于同一個常數.

(1)sin213°+cos17°?sin13°cos17°;

(2)sin215°+cos215°?sin15°cos15°;

(3)sin218°+cos212°?sin18°cos12°;

(4)sin2(?13°)+cos248°?sin(?13°)cos48°;

請將該同學的發現推廣為一個三角恒等式:

分析:如何找到常數?可從簡單的入手,發現三角恒等式,再進行嚴格的論證、推廣.

教學藝術的本質,不僅在于傳授知識,關鍵在于激勵,喚醒和鼓舞.求知欲是學生主動探究問題和深入研究問題的原動力,教師應該努力培養學生的求知欲.高三復習要通過題組教學,組織探究活動,滿足學生的好奇心和表現欲,讓學生主動發現問題,提出問題,解決問題,從而高效達成教學目標.

[1]何小亞:建構良好的數學認知結構的教學策略[J];數學教育學報; 2002年01期

[2]何小亞:《中學數學教學設計(第二版)》[M].科學出版社,2012(7)

圖6

變式4.鐵路上A,B兩點之間相距25千米,C,D為兩個村莊,DA⊥AB,CB⊥AB.已知DA=15千米,CB=10千米,現要在鐵路上建一個土特產收購站E,若要使得C,D兩村莊到E站的距離相等,則E站應建在距A站多少千米處?

分析:本題的兩個直角三角形沒有公共邊,但它們的斜邊相等,以此為切入點,學生也能列出方程解決問題,公共邊到等邊,思維進一步拓展.

圖7

通過以上幾個例子的分析,思考,學生基本上熟悉了方程法在解決幾何問題上的作用,以后他們還會學到相似三角形,三角函數等更快捷的方法,但方程法的數形結合,幾何代數化的思路,也開拓了學生的思維,提供了思維方向.

*本文為廣東省教育廳強師工程課題《“立體引學”模式的探索與應用研究》(2012YQJK219)成果.