柯西不等式的多種變式及其應用

重慶魯能巴蜀中學(400025) 鮮智宇

柯西不等式的多種變式及其應用

重慶魯能巴蜀中學(400025) 鮮智宇

柯西不等式以其結構優美,應用廣泛而引人注目.由于柯西不等式的本質含義不容易理解,存在多種變化形式,使得許多數學愛好者望而卻步.本文在給出柯西不等式的幾何含義及常見的5種變式的基礎上,舉例分析柯西不等式及其變式在不等式證明等方面的作用.

1 柯西不等式的及其幾何含義

柯西不等式可以簡單的表述為:相同項數的平方和之積大于等于對應項乘積之和的平方.

為了進一步理解柯西不等式的本質,我們先引進向量及相關概念.

定義1 既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的模(長度).在n維坐標系下,向量可表示為模.

由此我們給出柯西不等式的幾何含義:兩個向量模的平方之積大于等于該兩個向量內積的平方,當且僅當兩向量平行(共線)時等號成立.

2 柯西不等式的5種變式

為了更好地運用柯西不等式,下面我們用推論的方式給出幾種常見5種變式.

3 柯西不等式及其變式的應用

柯西不等式及其推論在不等式證明,求最值等方面有著廣泛的應用,下面我們舉例說明常見的幾種應用方法.

3.1.直接帶入法

例1 設a,b,x,y∈R+,a+b=1,求證:(ax+by)(bx+ ay)≥xy.

分析:不等式左邊可以看著是兩個完全平方和之積,可以考慮直接應用柯西不等式.

分析:不等式左邊可以看著是一個完全平方與一個非負數之比的和,分母之和2,可以考慮直接使用推論3.

例3 設a,b,x,y∈R+,求證:

分析:條件與不等式左邊滿足推論4的情況,可以直接應用推論4進行驗證.

分析:本例結論中含有常數項n,可以考慮將不等式左邊變形后,通過構造常數因子并綜合應用柯西不等式及其推論.

證明 將不等式左邊變形后應用推論3,可得

3.2構造因子法

例5設x,y,z∈R,x2+4y2+9z2=4,求x?4y+6z的最值,并給出相應的x,y,z值.

分析:根據柯西不等式的結構,需要將所求表達式與條件中的對應項聯系起來,構造相應的系數因子.

3.3變量代換法

例6 設0≤x≤13,求證:

分析:由題意可知,由于根號下三個的和不是常數,需要進行變量代換,然后可以考慮轉化為柯西不等式及其推論的情況進行解決.

柯西不等式及其變式在數學中應用十分廣泛,應用方法也十分靈活.一般需要根據問題的條件與結論,結合柯西不等式及其變式的特點,在類比、聯想的基礎上,構造因子、變量代換等多種方法的組合應用,以達到簡便快速解題的目的.

致謝 作者衷心感謝姚旭、薛運鵬老師在學習與寫作方面的指導.

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