巧構直角坐標系 妙解平面向量題

江蘇 韓文美 陸東標

(作者單位：江蘇省張家港職業教育中心)

巧構直角坐標系 妙解平面向量題

平面向量是銜接數學中代數與幾何的紐帶，溝通“數”與“形”的橋梁，是數形結合的典范．其優勢在于可以將幾何問題坐標化、符號化、數量化，從而將幾何推理轉化為代數運算，這也決定了向量法在解題中有著廣泛的應用．而在解決平面向量問題中，通過巧妙構造直角坐標系，利用直角坐標法來求解相應的平面向量問題，也是高考中比較常見的一類技巧方法．

1．巧構坐標系，妙求參數值

【分析】通過三角形形狀的特殊化，并結合構造平面直角坐標系，利用平面向量的坐標運算來轉化對應的線性運算，進而求解相應的參數值問題．

【解析】不妨設AC⊥AB，且AB=4，AC=3，以A為坐標原點，AB，AC所在直線分別為x軸、y軸建立直角坐標系，圖略.

【點評】解決此類平面向量的參數值問題時，常規方法是結合平面幾何圖形，利用平面向量中的三角形法則，通過平面向量的線性運算進行轉化，對比平面向量的線性關系式來求解相應的參數值，過程比較繁雜，計算量也大．而通過平面圖形的特殊化思維，結合平面直角坐標系的巧妙構造，利用特殊化情況下坐標運算來處理一般性問題，目標性強，方法巧妙，解答簡單．

【解析】不妨設AD⊥AB，且AB=4，AD=3，以A為坐標原點，AB，AC所在直線分別為x軸、y軸建立直角坐標系.

2．巧構坐標系，妙解模問題

【分析】根據題目條件確定兩平面單位向量的夾角，通過建立相應的平面直角坐標系，設出平面向量b的坐標，利用平面向量的數量積分別確定坐標參數，進而求解平面向量b的坐標，即可求解相應的模．

設b=(x，y)，則由b·e1=b·e2=1，

【點評】解決平面向量的模問題，往往可以通過平面向量的數量積公式來求解．而利用題目條件建立相應的平面直角坐標系，利用平面向量的坐標結合模的定義來確定相應的模問題是非常巧妙的一種方法．關鍵是合理構造直角坐標系，結合條件建立與坐標有關的參數關系式.

【變式2】已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a·b=1，若平面向量c滿足a·c=b·c=2，則|c|=________．

設c=(x，y)，則由a·c=b·c=2，

3．巧構坐標系，妙解數量積

【分析】通過建立平面直角坐標系，設出點B，A的坐標，結合相關平面向量的坐標，利用平面向量的數量積來轉化，通過求解所設的坐標值的整體代換即可達到求解相應向量的數量積問題．

【解析】以D為坐標原點，BC為x軸，BC的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，設B(―a，0)，A(b，c)，則C(a，0)，

【點評】解決平面向量的數量積問題，往往通過平面線性的線性運算，結合平面向量數量積的定義與關系式來轉化．在解決平面向量數量積問題中，通過巧妙構造坐標系，利用坐標法來求解相應的平面向量問題，也是高考中比較常見的一類技巧方法．

4．巧構坐標系，妙求代數式

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【分析】結合菱形的特征建立平面直角坐標系，利用平面向量的坐標法以及數量積公式建立相應的方程組，進而通過方程組的轉化來達到求解代數式的值．

【點評】解決平面向量中的代數式問題，往往利用平面向量的線性運算及數量積等相關知識來處理．而通過建立平面直角坐標系，把幾何問題轉化為代數問題，通過平面向量的坐標代數式，利用平面向量的數量積來轉化與應用，進而達到求解代數式的值的目的．

5．巧構坐標系，妙解最值題

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【分析】結合題目條件加以分析判斷△ABC的形狀特征，通過構造平面直角坐標系，把平面向量的線性關系轉化為坐標關系，結合兩點間的距離公式，利用三角函數的圖象與性質來確定平面向量的最值問題．

【點評】解決平面向量中的相關最值問題，通過巧妙構造坐標系，利用坐標法來求解相應的向量問題，把平面向量的線性運算、模、數量積等問題加以轉化，利用平面向量的幾何意義、函數的性質、三角函數或不等式等來確定對應的最值問題，有效轉化，思路清晰，解法巧妙．

( )

A．13 B．15 C．19 D．21

【解析】以A點為坐標原點，AB，AC所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系(圖略)，

6．巧構坐標系，妙求范圍題

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【分析】根據條件聯想到通過建立平面直角坐標系來解決，主要是觀察到A，B1，P，B2構成一個矩形，而向量與坐標有著密切的聯系，通過已知向量的模的不等式來建立相應的不等式，結合模的定義，利用不等式的性質來轉化與應用，進而達到確定相關模的取值范圍的目的．

【解析】根據條件知A，B1，P，B2構成一個矩形AB1PB2，

以AB1，PB2所在直線為坐標軸建立直角坐標系，

又由(x-a)2+y2=1，

得x2+y2+a2=1+2ax≤1+a2+x2，則y2≤1，

同理由x2+(y-b)2=1得x2≤1，即x2+y2≤2，②

故答案為D．

【點評】解決平面向量中的相關取值范圍問題，往往結合題目條件，經過求解轉化，應用排除法來分析與求解．另外,建立平面直角坐標系，通過把問題坐標化，關鍵是應用不等式性質與平面向量中的相關幾何意義來確定與之有關的取值范圍．

【解析】由圓周角的性質得點B是在以AC為直徑的圓O上，

以AC所在直線為x軸，AC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，如圖所示，

則有A(-1，0)，C(1，0)，P(2，0)，

設B(x，y)，x∈[-1，1]，x2+y2=1，

7．巧構坐標系，妙解創新題

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A．7 B．5 C．3 D．1

【分析】通過建立平面直角坐標系，進而確定各相應點的坐標，利用平面向量的數量積的坐標運算來分析，結合數量積的不同結合，達到應用的目的．

【解析】以A為坐標原點，AB所在直線為y軸建立平面直角坐標系，對應的點A(0，0)，B(0，2)，P1(0，1)，P2(1，0)，P3(1，1)，P4(1，2)，P5(2，0)，P6(2，1)，P7(2，2)，

【點評】解決平面向量的創新應用問題，往往要結合題目條件，選擇最恰當的方法來處理創新問題．而涉及與平面幾何有關的平面向量問題，可采用平面直角坐標系的巧妙建立，把平面向量問題與平面幾何問題加以有效轉化，可以使創新問題的解決朝著方便簡捷的方向轉化．

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A．7 B．5 C．3 D．1

(作者單位：江蘇省張家港職業教育中心)