自適應正則化反演研究

周寧+紀偉+屈佳欣

摘 要：大地電磁測深（MT）是一種以天然電磁為場源勘探地下介質的電性結構，它的原理是以不同頻率電磁波趨膚深度來測量地表由高到低的不同電磁響應，MT正演問題是給定大地的地下結構參數，當平面電磁波垂直入射到大地表面時，求出在地面的電磁響應，而地球物理反問題一般情況都是不適定的，這需要我們增強反演結果的穩定性，所以文章簡單介紹了正則化方法中的自適應方法，通過加入一個先驗模型約束條件來減少反演結果的非惟一性，該方法是針對正則化因子選取困難而提出來的，它是在反演計算中對數據擬合和模型約束的折衷和平衡。

關鍵詞：大地電磁測深；一維反演；自適應正則化；正則化因子

1 概述

自適應正則化反演算法發展有一段過程，它是針對正則化因子的選取困難而提出來的，我們都知道正則化因子其實是一個折衷因子，當？琢過大的取時，那么總目標數是模型約束為目標，數據總體欠擬合；當？琢取得過小時，總目標函數會以數據擬合為目標，忽略模型約束，所以如何正確的選取正則化因子直接會影響反演的結果。在正則化因子的選取上：

（1）前人更多研究的經驗定值上，其中就包括兩種方法：一是無偏風險估計，二是廣義交叉驗證方法，這種算法已經不滿足于復雜的地下模型了。

（2）Hansen等提出了L曲線正則化方法，該方法的正則化因子選取比經驗定值更近一步，因為正則化因子不是一個定值，認為最佳的正則化因子在該曲線的最大曲率，然而這種方法也有不足之處，它受到的初始模型的影響很大。

（3）Costable等提出的occam反演，它是選取不斷靠近數據擬合期望值最大的正則化因子，不過該方法也受初始模型影響較大，不僅如此該方法還存在運算量大的問題，在反演迭代過程中還得正演多次。

（4）經過地球物理學者多年的研究和努力，新的正則化的反演方法不斷出現，其中就有正則化因子的選取自適應調節，最著名是陳小斌等提出來的正則化因子是按CMD進行選取，該方案是完全自適的，每次迭代選取數據擬合函數與模型約束函數的比值為正則化因子，該方法的有點在于每次迭代的正則化因子都在調節數據擬合和模型約束的平橫，具有較高的穩定性。相對于這種正則化因子的選取方案。

2 原理

正則化反演的方法是通過正則化方程建立起來的，1977年，吉洪諾夫提出了正則化方程如下[6]：

上式中式中p？琢（m）是總目標數，？準（m）是觀測數據目標函數，S（m）是模型穩定約束目標函數，？琢是正則化因子（權重因子）。上式中觀測數據目標函數也就是觀測數據和預測數據的差平方，求取的方法采用模擬退火的迭代的方法。等式的后一項模型約束函數S（m）就是我們所提到的先驗模型約束條件，有三種不同的構建方法，一是最簡單模型，二是最平緩模型，三是最光滑模型，本文主要是陳小斌等提出來的每次迭代利用數據目標函數與模型約束函數的比值，采取正則化因子完全自適應，不必從外面輸入正則化因子，算是一種理想的自適應條件的方法了。這種方法穩定性強，收斂快，在MT反演中可行性很高。

3 模型試驗

本次是采用的三層Q型地電模型，將自適應正則化和無正則化兩種反演方法來這兩進行比較，假設反演計算的原始數據是由正演得到，厚度其模型參數設置為：各層的電阻率和？籽1=1000？贅·m，？籽2=300？贅·m，？籽3=50？贅·m，h1=50m，h2=1000m，頻率的 與 之間。圖（a）可知深部低阻能較好的反映出來，反演模型與原始模型曲線擬合很好。

通過在正演模型設置的基礎上，運用了自適應正則化反演方法來反映地下電性結構，并取得了良好的反演結果，在不斷反演迭代過程中尋找到最佳正則化因子，自適應方法的優點是無需輸入任何外部經驗值，只要是數據目標函數和模型約束函數達到一個平衡，且都趨于極小化就可以了。這種方法更加能使得反演的結果更加穩定并提高了解得唯一性。對比與無正則化反演結果，自適應正則化反演明顯有很大的優點。

4 結束語

在眾多大地電磁測深反演算法的中，如何提高反演結果的穩定性和降低解的非唯一性，作者研究了很多的文獻之后，正則化反演的目前運用的較廣泛，在選取正則化因子，在已有的算法中大多選取的是取經驗定值，而陳小斌等提出來的正則化因子選取的方法是自適應，該方法以全新的解決手段來優化反演算法。通過本文的自適正則化反演模型分析，在所定的迭代范圍內，能快速穩定確定反演數據。

參考文獻

[1]陳小斌，趙國譯，湯吉.大地電磁自適應正則化反演研究[J].地球物理學報，2005：937.

[2]陳曉，于鵬，張羅磊，等.地震與大地電磁測深數據的自適應正則化同步反演[J].地球物理學報，2011：402.

[3]吳小平，徐果.利用共軛梯度方法的電阻率一維反演研究[J].地球物理學報，2000：153.

[4]劉國棟，陳樂壽.大地電磁測深[M].北京地震出版社，1984.

[5]Hansen PC. Analysis of discrete ill-posed problem by means of the the L-curve.Siam Review，1992.

[6]吉洪諾夫.不適定問題的解決[M].王秉忱譯，北京地質出版社，1979.

[7]師學明，王家映.一維層狀介質大地電磁模擬退火反演算法[J].地球科學——中國地質大學學報，1998：67-89.

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[9]何寶侃，等.地球物理反問題中的最優化方法[M].北京地址出版社，1980.

[10]陳樂壽，王光鍔.大地電磁測深法[M].北京：地質出版社，1990.