丁丁夢游數(shù)學(xué)王國

丁學(xué)明

一天，丁丁看一本《數(shù)學(xué)王國故事》，看著看著就入迷了。突然，一只小狗從書中跳了出來，對丁丁說：“丁丁，你好！我是數(shù)學(xué)王國的麥斯狗，是數(shù)學(xué)的化身。聽說你很喜歡數(shù)學(xué)，所以數(shù)學(xué)王國國王就派遣我來帶你到數(shù)學(xué)王國旅游。”丁丁聽了，高興得跳了起來。

一、哥尼斯堡的七座橋

麥斯狗向空中拋出一塊飛毯，隨著一聲“開”。飛毯慢慢舒展開來。丁丁無比高興地踏了上去，只聽“嗖”的一聲，丁丁和麥斯狗就飛向了高空，呼啦啦的風(fēng)聲不絕于耳。飛毯在空中快速飛著，他們往下望，一片綠一片黃一片藍(lán)快速變換著。

丁丁突然看到一個美麗的城堡，里面人來人往。丁丁好奇地問麥斯狗：“麥斯狗，你看，那美麗的城堡里有很多人呢，肯定很好玩吧。”

麥斯狗知道丁丁說的是哪個地方，對丁丁說：“那可是世界上著名的哥尼斯堡哦。”

“一個城堡還有什么特別之處嗎？”丁丁追問道。

“當(dāng)然，要不，我們就到這個城堡中玩玩吧。”

“好嘞！”丁丁歡呼雀躍。

麥斯狗按下飛毯，飛毯穩(wěn)穩(wěn)地降落到城堡里。麥斯狗收了飛毯，對丁丁說：“我們也在城堡中走走吧！”

“當(dāng)然，不然下來干什么呢！”

兩位邊走邊聊，麥斯狗對丁丁說：“你看，這是一條清澈的小河，河上的七座橋?qū)⒑又械膬蓚€島和河岸連接起來（如圖1），多么有趣啊！”“是啊！真好玩啊！”“丁丁，我們做個游戲吧！”“好啊！”“你能不能從我們現(xiàn)在這個地方出發(fā)。走遍每座橋和兩個島？要求每座橋只準(zhǔn)走一次，最后又回到我們現(xiàn)在這個地方。”

丁丁聽后。對麥斯狗說：“你的游戲也太簡單了，看我的。”說完，丁丁就迫不及待地走了起來。

一會兒，丁丁就走了幾座橋，可是達(dá)不到麥斯狗的要求。丁丁不甘示弱，又從起點重走。走了幾次，可丁丁還是不能完成這個游戲。

麥斯狗看丁丁也走累了，忙對丁丁說：“你就停下來吧！你是不能一次不重復(fù)地走遍這七座橋和兩個島的。”

“你這不是在騙我嗎？早知道不行為啥還要我走呢？”丁丁已經(jīng)累得上氣不接下氣。

“哈哈哈！”麥斯狗一邊笑一邊說，“其實，這就是數(shù)學(xué)歷史上著名的‘哥尼斯堡七橋問題。在你走之前，不知有多少人試著走了多少次，也都沒有成功。”

麥斯狗停下了話頭，丁丁雖然還在喘著粗氣，卻對麥斯狗說：“有趣，接著說。”

“后來，人們就把這個問題給了當(dāng)時最偉大的數(shù)學(xué)家歐拉。歐拉將此問題簡化成了一個圖。”麥斯狗在地上邊畫邊說，“兩個島用A、B兩點表示，兩岸用C、D兩點表示。七座橋用a、b、c、d、e、f、g七條線表示，這樣，‘哥尼斯堡七橋問題就變成了一個連通圖形（如圖2）能否一筆畫成的問題。歐拉經(jīng)過不懈的努力研究，最后得出一筆畫圖形的規(guī)律：①凡是由偶點組成的連通圖。一定可以一筆畫成。畫時可以把任一偶點為起點。最后一定能以這個點為終點一筆畫成此圖。②凡是只有兩個奇點的連通圖（其余都為偶點），一定可以一筆畫成。畫時必須以一個奇點為起點，另一個奇點為終點。③其他情況的連通圖都不能一筆畫成。”

丁丁聽完一筆畫圖形規(guī)律后。再對照圖2，發(fā)現(xiàn)圖2有四個奇點，很明顯，這樣的連通圖不能一筆畫成。

丁丁發(fā)出感嘆：“生活處處皆數(shù)學(xué)啊！”

最后，丁丁又在橋上走了幾圈，并且還留了影，依依不舍地離開了哥尼斯堡。

二、單面世界

丁丁還在頻繁地回頭看哥尼斯堡，麥斯狗看到丁丁還依依不舍，就找了個話題：“我給你講個故事吧！”

丁丁說：“好吧。”

麥斯狗講了下面一個故事：

從前，一個縣官的侄子偷了一個農(nóng)民的東西，被抓住送到縣衙。縣官為了包庇自己的侄子，在判決紙正面寫上了“農(nóng)民應(yīng)當(dāng)關(guān)押”，反面寫上了“小偷應(yīng)當(dāng)放掉”。執(zhí)事官在宣布時，做了一個小動作，將判決紙扭了個彎，用手指將兩端捏在一起。然后向大家宣布：應(yīng)當(dāng)放掉農(nóng)民，應(yīng)當(dāng)關(guān)押小偷。縣官聽了結(jié)果，大怒，問是怎么回事，執(zhí)事官把判決紙亮給縣官，縣官一看，啞口無言。最后沒辦法，只得關(guān)押了自己的侄子，放了農(nóng)民。

丁丁聽完，笑道：“這個故事真的有趣！不過這樣的事情恐怕只能編造吧。”

麥斯狗望望丁丁，說：“雖然故事是編的，但這種事也是可能發(fā)生的。那就是在‘單面世界上。”

第一次聽到“單面世界”這個詞。丁丁就來勁了：“快說說什么是‘單面世界吧。”

麥斯狗說：“你在手工課上做過粘紙環(huán)吧。”“當(dāng)然，這是常有的事。”“有沒有把紙條粘錯的情況？”“這常常會出現(xiàn)！”麥斯狗掏出一張紙條，粘成了一個環(huán)（如圖3），亮給丁丁看。

丁丁一看：“對，同學(xué)們常犯這樣的錯誤。”

“呵呵，這就是‘單面世界。不信你把剛才故事中執(zhí)事官做的事在這個環(huán)上試試。丁丁接了過來，試了一遍，發(fā)現(xiàn)果然可行。

“哈哈，看來我們的同學(xué)早就發(fā)現(xiàn)了這個‘單面世界！”丁丁高興地說。

麥斯狗接過丁丁的話說：“其實，這種紙圈是由德國數(shù)學(xué)家莫比烏斯于1858年首先發(fā)現(xiàn)的，所以，這種紙圈被稱為‘莫比烏斯帶。因為它只有一個面，所以也叫‘單面世界。”

丁丁聽完了關(guān)于“莫比烏斯帶”的故事，發(fā)出感嘆：“數(shù)學(xué)真是奇妙無窮啊！”

“更奇妙的還有呢。”麥斯狗這句話把丁丁的胃口吊得更高了。

“快說快說！”丁丁催促麥斯狗。

麥斯狗又講了一個故事：

古時候。有一個國王給他的五個兒子留下一份遺囑：如果你們希望各自立國的話，可把我的國土分成五份，每人治理一個小國。但是，有一個條件，每個小國必須與其他四國有共同的國界，否則，不準(zhǔn)分開！王子們遵照父王的遺囑。請來最有才華的大臣幫助他們劃分國土，然而，總有幾個國家不能有共同的國界。正在王子們垂頭喪氣的時候，一位大臣送來了一個錦囊，說是遵照老國王的囑托，在王子們遇到困難時拿出來。王子們立即打開，原來里面有一張紙，紙上寫著：我的遺囑是一道永遠(yuǎn)也解不出的難題，是為了使你們親密團(tuán)結(jié)、永不分開而留下的。

丁丁聽得津津有味。

三、韓信點兵

麥斯狗說：“下面我給你講個中國的數(shù)學(xué)故事吧。”丁丁說：“好啊。”“就講講韓信點兵吧，”麥斯狗接著說，“秦朝末年，楚漢相爭。有一次，韓信的1500名將士與楚軍大將李鋒交戰(zhàn)。苦戰(zhàn)一場，楚軍不敵，敗退回營，漢軍也死傷四五百人，于是，韓信整頓兵馬也返回大本營。當(dāng)行至一山坡時，忽有后軍來報。說有楚軍騎兵追來。只見遠(yuǎn)方塵土飛揚，殺聲震天。漢軍本來已十分疲憊，這時隊伍大亂。韓信來到坡頂，見來敵不足五百騎，便急速點兵迎敵。他命令士兵3人一排，結(jié)果多出2名；接著命令士兵5人一排，結(jié)果多出3名；他又命令士兵7人一排，結(jié)果又多出2名。韓信馬上向?qū)⑹總冋f出‘我軍有1073名勇士，敵人不足五百，我們居高臨下，以眾擊寡，一定能打敗敵人的一番話。漢軍本來就信服自己的統(tǒng)帥，這一來更相信韓信是‘神仙下凡‘神機妙算，于是士氣大振。一時間旌旗搖動，鼓聲震天，漢軍步步進(jìn)逼，楚軍亂作一團(tuán)。交戰(zhàn)不久，楚軍大敗而逃。”

丁丁聽完點點頭：“很不錯的故事啊！”

麥斯狗繼續(xù)講道：“在中國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中就有與韓信點兵類似的問題‘今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余三，七七數(shù)之余二，問物幾何。”

丁丁聽后說：“這個問題和韓信點兵都能用公倍數(shù)的方法求得。其實，我國古代學(xué)者早就研究過這個問題。例如我國明朝數(shù)學(xué)家程大位在他著的《算法統(tǒng)宗》中就用四句很通俗的口訣暗示了此題的解法。”丁丁說完，就寫下了如下的口訣：

三人同行七十稀，

五樹梅花廿一枝，

七子團(tuán)圓正半月，

除百零五便得知。

麥斯狗對丁丁說：“你知道得太多了，真棒！”

丁丁剛要說話，突然，麥斯狗不見了，飛毯在天空中一下也不見了，丁丁從飛毯上掉落下來，丁丁嚇得驚叫起來。

丁丁猛一抬頭，醒了，原來丁丁趴在《數(shù)學(xué)王國故事》上做了一個夢。