用數形結合法巧解“牛吃草”問題

王江平

[摘 要]數形結合既是一個重要的數學思想，又是一種常用的教學方法，在教學中滲透數形結合的思想，可以把抽象的數學概念直觀化，可以使算式形象化，可以將復雜問題簡單化。教學“牛吃草”問題中，教師只要恰當運用數形結合法，就可以把這類問題化難為易。

[關鍵詞]數形結合；牛吃草問題；化難為易

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）08-0081-01

例題1：一片草地每天都在均勻地生長青草，如果供15頭牛吃，可以吃8周；如果供16頭牛吃，可以吃6周。那么現在要供18頭牛吃，可以吃幾周？（假設每頭牛每周的吃草量相同）

做這類題目，一般要按照以下四個步驟進行解答。

第一步：求出這片草地每周的長草量。

先把每頭牛每周的吃草量具體化，設1頭牛1周吃的草為1份，則15頭牛1周吃的草為15份，15頭牛8周吃的草為15×8=120（份）；16頭牛1周吃的草為16份，16頭牛6周吃的草為16×6=96（份）。可以做出如下線段示意圖（如圖1）。

120份可以看作是草地上原有的草與8周內新長出來的草；96份可以看作是草地上原有的草與6周內新長出來的草，通過圖1學生很容易理解每周的長草量是（120-96）÷（8-6）=12（份）。這時，教師可以引導學生思考：“如果草地上的草每天都在均勻地生長，1頭牛不停地吃下去，會不會有一天草地上無草可吃了呢？如果是10頭牛、12頭牛的情況又會怎樣？13頭牛呢？”此處也可以用入不敷出、積少成多舉例說明，加深學生對每周的長草量的理解。

第二步：求出這片草地的原有草量。

再看線段示意圖（如圖2）。120份減去8周內新長的草就是原有的草，即120-8×12=24（份），或者用96減去6周內新長的草也是原有的草，即96-12×6=24（份）。

第三步：求出每周實際消耗的原有草量。

對于這個問題，很多書上都是把牛分成兩部分，讓其中12頭吃新長出的草，其余的牛吃原有的草來研究的，多數學生對這種方法在理解上有局限性，甚至有學生提出“讓12頭牛吃新長出的草，它不吃怎么辦？”的問題。這時，教師可以換一種方式引導：18頭牛1周吃的草是18份，而1周內新長的草是12份，那么新長的草夠不夠18頭牛吃1周？如果新長的草不夠吃，這些牛就要吃草地上原有的草，那草地上原有的草1周減少了多少份？列出算式就是18-12=6（份）。

第四步：求出牛可吃的周數。

這片草地原有的草為24份，每周減少6份，則可以吃24÷6=4（周）。

下面我們再來看看“牛吃草”問題在現實生活中的廣泛應用。下列題目都是“牛吃草”問題的變式，解法也基本一樣，所以就不再詳解，略作說明即可。

例題2：一個水池裝有一個進水管和三個同樣的出水管。先打開進水管，等水池存了一些水后，再打開出水管。如果同時打開兩個出水管，那么8分鐘后水池排空；如果同時打開三個出水管，那么4分鐘后水池排空。問出水管比進水管晚開多少分鐘？

這道題雖然表面上沒有“牛吃草”，但因為總的水量在均勻變化，“水”相當于“草”，進水管進的水相當于“新長出的草”，出水管排的水相當于“牛在吃草”，所以也是“牛吃草”問題。

例題3：某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊，每分鐘來的旅客人數一樣多。從開始檢票到等候檢票的隊伍消失，同時開4個檢票口需30分鐘，同時開5個檢票口需20分鐘，如果同時開7個檢票口，則需多少分鐘？

這道題中，等候檢票的旅客人數在變化，“旅客”相當于“草”，“檢票口”相當于“牛”，每分鐘來的旅客人數相當于“新長出的草”，開始檢票前到的人數相當于“原有的草”，因此該題也可以用“牛吃草”問題的解法來解。

類似這些生活中常常遇到的水管排水、檢票口檢票、超市排隊付款、水庫泄洪、小船漏水淘水等問題，雖然從字面上看不一樣，但問題的實質都是一樣的，都屬于“牛吃草”問題，都可以采用數形結合的方法解題。

綜上所述，這種先畫線段圖，再利用數形之間的關系解答“牛吃草”問題的方法，有利于教師的教，有利于學生的學。學生在解疑答難的過程中，知識建構得既生動又深刻，不僅體會到了數學之美，還感受到了數形結合的魅力。對教師來說，教得輕松，教得自然，滲透著教師高超的教學智慧。教師要靈活運用數形結合思想，讓數形結合思想走進學生的心靈，使絕大多數學生望而卻步的“牛吃草”問題不再成為“問題”。

（責編 李琪琦）