在數學語言轉換中深化概念的理解

陸建峰

[摘 要]學習數學知識的過程就是數學語言轉換、內化和運用的過程。數學語言包括文字語言、符號語言和圖表語言，這三種語言形式各不相同，但在突出數學對象本質特征方面目標一致。在概念教學中，教師可以引導學生在概念形成的不同階段靈活轉換數學語言，促進學生深化理解數學概念。

[關鍵詞]數學語言；轉換；概念；分數

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）08-0039-02

數學教學也就是數學語言的教學。小學生學習數學知識的過程就是他們把數學語言進行轉換、內化和運用的過程。在概念教學過程中，教師可以引導學生在概念形成的不同階段靈活轉換數學語言，促進學生提高語言轉換的能力和表達能力，提升他們的數學素養。

一、在文字語言轉換為符號語言中引入概念

概念引入是學生感知概念的初始階段。引入新概念時，教師要用它的前概念幫助學生進行知識遷移。分數是小學數學的核心概念，它的前概念是除法的意義，根據小學生以形象思維為主的特點，教師要充分利用直觀化手段，借助直觀模型（如面積模型、數線模型等），讓學生感知如何表示一個物體平均分成2份的結果，體會分數表示的是部分與整體的關系?！捌骄帧笔欠謹诞a生的根源，表示“一半”的大小是分數產生的內需。引入概念時，教師用文字語言“一半”引導學生操作，讓學生充分體會分數產生的必要性。

課始，教師先抓住文字語言“一半”在操作中的含義，創設小明想把所帶物品（有8個奶片、4瓶牛奶、1塊比薩餅、1張正方形彩紙）分“一半”給小紅的現實情境，引導學生分出它們的“一半”。

學生用動作詮釋了“一半”的含義——把物品平均分成2份，其中的一份就是它們的“一半”。學生在操作過程中初步感知分數既可以表示多個物品的一半（ 8個奶片的一半是4個，反過來4個奶片是8個奶片的一半），也可以是一個物品的一半。緊接著，一個物體的“一半”的大小如何用一個新的數表示呢？有的學生用[2][1][1] （2分成1和1）表示；有的學生用2|1表示；有的學生用表示；有的學生用表示……學生思維角度不同，反映了分數既可以作為過程性操作的分數（把“1”看作 “2”，平均分成2份，每份都是1），也可以作為一個結果的分數2|1、、。分數作為結果，表征形式上不同，但意義一致——都是把一個物體平均分成2份，表示其中的1份，把“關系”意義作為認識分數的邏輯起點，避免學生形成個（量）等同于（比率）的“糊涂”認識。把文字語言表達的“一半”借助動作表征轉換為符號語言“”，能有效幫助學生實現概念感知階段的初步抽象。

二、在符號語言轉換為圖表語言中形成概念

概念形成階段是學生的學習重點，也是學生思維過程中最復雜的部分。概念形成不但要學生從許多事物和情境中抽象并概括出它們的共同特征，而且需要學生能辨別與概念不相關的非本質特征。學生在抽象概括的過程中，需要把符號語言轉換成圖表語言，借助于圖形語言的直觀性凸顯概念的本質特征。

認識的意義時，教師先提出問題：“誰還能想到什么物體的‘一半？”引導學生先在頭腦中建立具象，再提供各種材料（圖形、實物）讓學生選擇，然后帶領學生建構“”的現實意義：有的學生選擇“切”出實物的“一半”；有的學生選擇用圖形“對折”出“一半”；有的學生選擇在紙上“畫”出“一半”……盡管方法不同，但學生在語言轉換過程中都反映了“一半”的本質——把一個物體平均分成2份，其中的1份就是它的。接下來，讓學生嘗試“用圖形說話”，結合圖形與操作過程解釋“”的實際意義，說出其中的“2”表示什么，“1”表示什么，“為什么折法不同，每一部分的形狀也不同，但結果都可以用‘表示？”“為什么所選材料不同，創造的方式也不同，但都可以創造出？”最后，教師拿出一個胡蘿卜，并將其從中間一分為二，問學生“是否每份都可以用表示”，突出平均分物體的大小所指向的模型意義，有助于學生在反思中識別分數意義的本質特征。

學生在實物操作中的“切”“折”“畫”等過程就是把符號語言“”轉換成圖形語言的過程。這種轉換，不但符合學生思維直觀性的特征，而且有利于學生理解和掌握分數的意義。通過動作表征，學生能真正找出分數的圖示意義；及時追問和引導，有利于學生在反思中把握知識本質；適時應用圖形語言進行反例矯正，有助于學生澄清在概念形成過程中可能出現的混淆；非概念圖形語言與概念圖形語言的比較，有助于凸現概念的本質屬性——分數與所分材料和形式無關，但和平均分的份數有關。

三、在圖表語言轉換為符號語言中深化概念

概念深化是指從已獲得的概念中能夠聯想出與之有聯系的新概念，可以是表征形式上的聯系，也可以是操作方法上的聯系，還可以是本質意義上的聯系。分數對小學生而言是學習中的難點：一方面因為分數在生活中應用非常少，學生缺少相關生活經驗；另一方面是因為整數運算是數“1”的累加（減），數的組成規則是“滿十進一”，而分數由于“平均分”的份數不同，計數單位也不同，學生無法把整數計數規則順利遷移到分數認識中，造成認知困難。因此，教師要有的放矢地引導學生把圖表語言轉換為符號語言，使學生體會分數概念的另一層意義——把一個物體平均分成n份，其中的每一份用分數表示就是。

教師首先引導學生自主創造分數。有的學生對折一條毛線創造出，有的學生將長方形紙對折兩次，創造了它的，也有的學生選擇圓形紙片創造出它的……不同分數的產生，幫助學生初步內化了分數與平均分成的份數之間的關系。教師應重點引導學生體會把1個物體平均分以后，表示其中每一份的數都比1小、比0大。在此基礎上，當學生說出一個分數后，教師隨即從圖上找出對應的分母和分子，幫助學生認識分母表示平均分的份數，分子表示其中的一份，分數整體表示平均分成的份數與其中一份之間的關系。最后，教師出示一組圖形（如下圖），要求學生用分數表示涂色的部分。

學生通過創造分數，從認識“”的過程獲得操作的方法和表征形式的經驗，從而培養了自身的創造力和想象力。把直條圖變成一條線段，并在線段上標出對應位置的分數的過程就是把圖表語言轉換為符號語言的過程。學生從認識直條圖中的“1”開始，依次認識更多的分數，直觀感知每個分數與整體的關系——把直條圖“1”平均分成2份，每份是；把平均分成2份相當于把整體平均分成4份……以此類推，學生能逐漸掌握分數之間的大小關系：直條圖變成一條線段，線段上每個點都可以對應一個分數，一直平分下去，直至趨近0……用圖形語言解釋符號語言，能使抽象符號語言變得直觀、具體，有助于培養學生對分數的“量”感，促進學生對分數的整體認識，讓學生更深刻地理解分數概念的本質意義。

總之，教師要遵循概念理解的層次性，合理使用各種數學語言，使學生在概念形成的過程中順利構造知識網，從而理清知識的本質。

（責編 童 夏）