“問題驅動”在高等數學教學中的應用探討

陳佩樹，陳淼超，趙開斌

（巢湖學院 應用數學學院，安徽 巢湖 238000）

“問題驅動”在高等數學教學中的應用探討

陳佩樹，陳淼超，趙開斌

（巢湖學院 應用數學學院，安徽 巢湖 238000）

作為一種新型的教學模式，“問題驅動”教學法在高等數學教學中得到了廣泛的應用.通過強化問題導向，可以引導學生在學習過程中層層深入，自主探究解決問題，逐漸構建起自身知識體系.本文立足高等數學教學實踐，分析教學過程中存在的具體問題，探尋開展“問題驅動”教學的有效路徑.

高等數學；問題驅動；教學創新

在高等教育體系中，高等數學是重要的組成部分，同時也是學生學習的難點.創新教學理念，改革教學方法，對于提升學生高等數學學習效果，具有至關重要的意義[1].“問題驅動”作為一種現代教學模式，強調踐行“生本理念”，以學生為教學主體，通過優化課程設計，明確問題導向，引導學生層層深入[2].“問題驅動”最早由美國實證教育學家杜威提出，是一種以解決實際問題為根本目的的教學方式，可以有效提升學生學習的積極性和自主性，培養學生運用數學知識解決實際問題的能力.

1 “問題驅動”模式在高等數學教學中的適用性

不同于一般的人文學科，高等數學具有較強的抽象性和邏輯性，學習難度較高，同時，高等數學又與現實生活緊密結合，是對現實生活中具體數學問題的抽象提煉.由于缺乏科學系統的指導，很多學生在學習過程中，無法找到其中內容在關聯和規律，導致了學習效率不高問題.從教學目標來看，學習高等數學，就是為了指導其他學科學習，并運用數學知識解決實際生活中的問題.舉例來說，微積分是高等數學中的重要教學內容，看似枯燥乏味，其實是對現實生活的提煉、假設和驗證，具有極強的實踐性[3].在教學過程中，如果單純開展理論宣講，則存在一定的枯燥性，但是通過“問題驅動”教學模式，可以有效提升課堂的針對性和指向性，將抽象知識轉變為學生易于接受的具體問題.高等數學是一門基礎性的理論學科，同時與物理、經濟等學科有著千絲萬縷的聯系，是進行其他學科學習的基礎，是解決其他學科的一個工具，具有極強的實用性.開展“問題驅動”教學，通過引導學生解決具體問題，可以掌握相關的理論，提升高等數學教學和學生學習實際效果.

2 在高等數學教學中運用“問題驅動”的具體策略

2.1 強化問題導向，構建知識體系

開展“問題驅動”教學，是一個螺旋式上升的學習過程[4,5].教師在進行問題設計時候，要注重教學原理問題的設計，融入解題思路和數學觀念，幫助學生從基礎層面認知數學，構建數學與知識體系.舉例來說，在產生導數概念的本原性問題上，主要是關于物理的速度與幾何上的切線.基于此，導數的性質都可以通過研究物理相關參數進行導出，如果研究的是瞬時速度和曲線切線，則可以通過問題設計，幫助學生抽象出具體的問題，導入弓背上的切線與弓弦的關系模型:，進一步得到拉格朗日中值定理.再通過研究切線的變化，進而掌握二階導數在幾何上的意義，即反映曲線在多大程度上進行了彎曲[6].比如若曲線C方程為直角坐標方程:y=f(x)，且f(x)具有二階導數，則可以引導學生推導出曲率計算公式

2.2 創設教學情境，引導學生思考

作為一種科學教學模式，情境教學法在現代課堂上得到了廣泛的運用，通過創設教學情境，可以有效引導學生深入知識體系.對于高等數學教學中的“問題驅動”教學模式，通過創設教學情境導入教學問題，可以激發學生的學習自主性和主動性，提高學生的學習效率.舉例來說，對于重要極限公式，要掌握其導出過程，具有一定的枯燥性，教師可以通過設計具體的情境，將數學知識與現實生活聯系到一起，提升學習的針對性和趣味性，比如說，可以讓學生思索復利計算問題:如果將一塊錢存入銀行，年率為3%，如果分別以不同的時間計算，最終功能獲得本息多少？通過這樣的設計，可以讓高數知識更加“接地氣”.可以結合高等數學上的“歸結原則”和變量替換知識，繼續引導學生把n看成任意實數x，進一步有和

2.3 設置階梯問題，層層深入學習

在運用“問題驅動”進行高等數學教學過程中，教師要為學生設置階梯問題，通過問題的層層導入，引導學生深入學習，幫助學生從不同角度看待問題、分析問題，培養學生的多途徑解決問題能力[7].在高等數學知識體系中，很多問題都存在著相互關聯，也有多樣化的解決方法，通過由淺入深、由簡到繁的問題設計，可以幫助學生抽絲剝繭分析問題，逐步解決高等數學難題，夯實學習基礎.比如在方向導數的教學過程中通過“問題驅動”方法引導學生（1）能否刻畫出函數沿著某一坐標軸方向的導數？學生在思考后會知道答案是肯定的，本質上就是求單側導數.（2）能否刻畫函數在給定點除坐標軸外，沿任意指定方向的變化率？這就比較自然地引入方向導數的概念.即若函數f(x1,x2)在點P0(x0,y0)的某鄰域U(P0)內有定義，為從P0出發的射線.P(x, y)為上且含于U(P0)內的任一點，記P0與P之間的距離為ρ.若極限存在，則稱此極限為函數f在點P0沿方向l的方向導數，記作:或fl(P0)(3)若函數f(x1,x2)在給定點可微，如何找到在給定點的最大的方向導數？由fl(P0)=▽f(P0)·（其中為向量的單位向量），可以得到當▽f(P0)和同向時，方向導數fl(P0)取得最大值，且最大值為|▽f(P0)|.另外，還可以引導學生歸納出導數、方向導數、微分等概念之間的關系.

3 “問題驅動”在高等數學實驗教學中的應用

問題驅動式教學法在高等數學實驗中有著廣泛的應用，一方面把數學實驗融入數學理論教學環節，通過Matlab繪圖和數值計算功能，生動形象地展示出來，有助于學生理解抽象的數學概念和理論，調動其學習的主動性.另一方面在數學實驗教學中，以實際問題驅動為導向，積極引導學生主動提出問題、分析問題、解決問題，主動融入到數學實驗教學中，探索數學的奧秘，激發學生學習的興趣.比如在高等數學理論教學中，兩個重要極限的證明非常抽象、枯燥，學生難以掌握.但是通過Matlab數學實驗繪圖功能，學生能直觀地看到極限趨近的過程，且能通過limit求極限命令迅速取得計算結果.再比如，泰勒公式是高等數學教學上的重難點.一方面，由于其手工計算的復雜性，學生有抵觸情緒；另外一方面，相關理論知識比較抽象，學生有畏難情緒，導致難以掌握.在數學實驗中，我們可以通過taylor(f,x,'ExpansionPoint',a,'Order',n)：求出函數f(x)關于x-a的n-1階Taylor多項式.具體“問題驅動”過程如下:

（1）提出實驗問題:求函數y=sinx的不同階數的麥克勞林展式,并作圖觀察不同階數展開式對函數的近似程度，并計算sin2在不同階數展開式下的近似值.

（2）創設問題情境:麥克勞林級數展開式相關知識的學習.

（3）實驗目的:理解麥克勞林級數展開式定義；掌握Matlab軟件求不同階數麥克勞林展開式的命令方法；利用Matlab軟件繪出函數圖像，并觀察曲線的變化趨勢,增強對麥克勞林展開式概念的理解和掌握.

（4）實驗程序:

所繪圖形如圖1所示,對應的不同階數taylor展開式已經在圖上標示,sin2的近似值如表1所示.

圖1 sinx的不同階數麥克勞林展開式

表1 在不同階數麥克勞林展開式下的近似值

由上述圖1和表1知麥克勞林展開式的階數越高，sin2近似精度也越高.通過問題驅動式的數學實驗，學生不僅僅熟悉了泰勒級數展開的相關命令，也培養了他們的實踐操作能力，且從直觀的圖形變化中理解了麥克勞林級數展開式的相關知識.學生在問題驅動式的數學實驗過程中體會到數學的魅力，增添了學習數學的興趣，且更符合對知識的探索過程.

4 結束語

綜上所述“問題驅動”作為一種現代教學模式，通過有效的課程設計，可以引導學生自主尋找問題解決方案，提升高等數學教學水平和學生學習質量.在實踐運用過程中，“問題驅動”作為一種教學方法，仍然要遵循基本的教學規律和教學規則，高等數學教師要強化問題意識，加強問題導向，創新開展“問題驅動”教學，避免創新教育模式落入形式主義，提升教學實效，幫助學生構建高等數學知識體系.

〔1〕滕吉紅,黃曉英,袁博，等.問題驅動式教學模式在高等數學教學中的探索[J].高等教育研究學報,2012,35(4)：89-90.

〔2〕趙瑜,陳淼超.基于問題驅動的高等數學教學模式探究[J].教育現代化，2016，11(35)：135-136.

〔3〕楊憲立,趙自強.問題驅動原則在高等數學教學中的運用[J].河南教育學院學報（自然科學版）, 2014,23(1)：49-52.

〔4〕陳淼超，陳侃，彭維才.應用型本科院校數理學院的數據庫原理課程的教學研究[J].巢湖學院學報,2014,16(3)：142-146.

〔5〕孔祥盛，陳淼超，等.MySQL核心技術與最佳實踐[M].北京：人民郵電出版社,2014.

〔6〕曾鈺,韓曉艷,陳丕煒等.基于問題驅動模式的高等數學教學研究[J].才智,2016(23)：95-95.

〔7〕劉曉妍,王言英.“問題驅動”在高等數學教學中的應用 [J].河南教育學院學報 (自然科學版), 2014,23(2)：66-67.

G642.4

A

1673-260X（2017）02-0188-03

2016-11-08

安徽質量工程項目（2016jyxm0689,2016jyxm0691,2015jyxm324,2013jyxm207);大學數學教學團隊項目(ch12td01),巢湖學院質量工程項目（chxy15yykc03,ch16kcjgxm22,ch16yykc07）；中國博士后科學基金資助項目(2015M572327);安徽省自然科學基金重點項目（KJ2015A270）