不確定分數階Colpitts系統的混沌同步研究

李賢麗,竇雪瑩,趙昱陽

(東北石油大學電子科學學院，黑龍江 大慶 163318)

不確定分數階Colpitts系統的混沌同步研究

李賢麗,竇雪瑩,趙昱陽

(東北石油大學電子科學學院，黑龍江 大慶 163318)

分數階混沌系統在信息加密等領域具有廣泛的研究價值。通過理論推導和數值仿真兩方面的研究，采用分數階系統的穩定性定理，對選取的分數階多渦卷混沌Colpitts振蕩電路系統的動力學特性進行了詳細的分析，并計算出了該系統處于混沌態時的階數范圍。研究結果證明，當系統作混沌運動時，其混沌吸引子的形態存在特殊的演變過程，逐漸從單渦卷混沌吸引子演變為多渦卷混沌吸引子。將自適應技術和參數辨識技術應用到混沌系統的同步控制中，在參數不確定的情況下，基于Lyapunov函數穩定性理論，設計了合理的控制器和估計參數自適應律。利用不確定參數的自適應同步法，分別實現了系統在階數相同和階數不同兩種情況下的完全同步以及對未知參數的辨識。該結果對于參數未知混沌系統的同步研究具有重要意義。

信息安全； 自適應技術； 分數階系統； Colpitts系統； Lyapunov穩定性理論

0 引言

近年來，人們熱衷于對分數階混沌系統的研究。在信息安全、保密通信等領域，分數階混沌系統正成為非線性科學應用的新方向[1]，而混沌系統的同步控制技術是應用過程中需要解決的關鍵問題。到目前為止，已提出許多同步方法，如驅動-響應控制法[2]、自適應控制法[3-5]和滑模控制法[6]等。上述方法都只是針對確定性系統進行的研究，對不確定性系統的同步[7-10]研究卻很少，但不確定性系統在實際中應用廣泛。因此，本文選取分數階的Colpitts振蕩電路系統為研究對象，對系統隨參數變化的運動規律進行研究，并且采用自適應同步法，對分數階混沌的不確定性系統，分別實現了階數相同和階數不同兩種情況下的同步。

1 分數階混沌Colpitts系統分析

1.1 分數階微積分定義

(1)

式中：m為正整數；a>0；Γ(·)為Gamma函數。

根據分數階系統穩定定理，通過理論計算求解分數階系統在混沌狀態時的階數范圍。采用預估-校正解法，對分數階系統進行數值計算，全面了解系統的參數、階數等因素對其動力學性能的影響。

1.2Colpitts振蕩電路系統模型

對典型Colpitts振蕩電路系統進行參數歸一化處理[11]，并引入分段線性三角波函數[12]，再增添一維線性控制器，簡化參數后可得到多渦卷混沌Colpitts系統。本文研究Colpitts系統相應的分數階混沌系統，其數學模型可描述為：

(2)

式中：α1,α2,α3,α4∈(0,1)。

(3)

式中：K為正整數;p>0;q∈(0,p)。

分段線性三角波函數曲線圖(N=3)如圖1所示。

圖1 分段線性三角波函數曲線圖(N=3)

根據文獻[12]，通過對比系統隨參數q變化的分岔圖和Lyapunov指數譜可知，q值越小，混沌吸引子所形成的渦卷分布越均勻。因此，本文選取q=0.02p。

1.3 動力學性質分析

選取分數階混沌Colpitts系統中的分段線性三角波函數的參數為M=2、N=1、p=1、q=0.02，系統初值為(0.2,0.2,0,0)，利用預估-校正解法，對系統進行數值計算，得到的系統狀態變量隨參數μ變化的分岔圖如圖2所示。

圖2 分岔圖

當μ分別為0.4和1時，系統二維相圖如圖3所示。

圖3 系統二維相圖

當μ=(1,2]時，系統處于混沌態，分別取參數μ=1.11、μ=1.13、μ=1.39，并對這些參數下的混沌系統進行仿真。從所得到的二維相圖可以觀察到，隨著參數的變化，混沌吸引子的形態也發生了明顯的變化，在平面x-y上，其由單渦卷向五渦卷演變，具體形態變化如圖4所示。

圖4 x-y平面上二維相變化圖

在平面y-w上，混沌吸引子由(1×3)渦卷向(5×3)渦卷演變，具體形態變化如圖5所示。

圖5 y-w平面上二維相變化圖

對分數階混沌Colpitts系統的穩定定態進行穩定性分析。系統在平衡點處的Jacobian矩陣為:

(4)

(5)

令混沌系統中各狀態變量對時間的導數均為0，可得fM(y)=0、fN(w)=0、z=0、x=-y，進而求得平衡點以及平衡點處的特征方程。根據Routh-Hurwitz穩定判據，利用數值計算可知，當參數滿足μ>0.626 3時[13]，系統處于混沌狀態。

由分數階系統穩定性定理可知，要確保系統在平衡點處漸進穩定，需要滿足特征根(λ1,λ2,λ3,λ4)均在|arg(λ1)|>πα/2、α=max(q1,q2,q3,q4)=1,2,3,4條件下成立。通過數值計算可得，當分數階超混沌Colpitts系統的階數為(q1,q2,q3,q4)∈[0.919 1,1)時，滿足條件。

2 分數階混沌Colpitts系統的同步

2.1 相同階數情況

設定式(2)為驅動系統，響應系統可以描述為：

(6)

設系統誤差變量e1=x2-x1、e2=y2-y1、e3=z2-z1、e4=w2-w1，由此可得誤差系統為：

(7)

根據驅動系統(2)和響應系統(6)，為了保證誤差系統(7)在t→∞時漸進穩定，可以對控制變量和估計參數自適應率分別進行設計，如式(8)所示：

(8)

選取估計參數自適應律為：

(9)

根據Lyapunov穩定性判定定理可知，在選取合適的控制變量和估計參數自適應律的情況下，誤差系統趨于0，驅動系統和響應系統可實現同步。

基于改進的Adams-Bashforth-Moulton理論算法，分別選取驅動系統初值為x1(0)=0.2、y1(0)=0.2、z1(0)=0、w1(0)=0,響應系統初值為x2(0)=-0.6、y2(0)=-0.45、z2(0)=1、w2(0)=2，估計參數初值為μ(0)=0.01，系統階數取α1=α2=α3=α4=0.92。階數相同時的同步仿真結果如圖6所示。隨著時間的變化，在控制變量和估計參數自適應率的共同作用下，兩系統間的誤差逐漸趨于0，未知參數μ也逐漸趨于給定值，從而實現了驅動系統和響應系統之間的同步。

圖6 階數相同時的同步仿真結果

2.2 不同階數情況

定義驅動系統為：

(10)

式中：β1,β2,β3,β4∈(0,1]。

由分數階微積分定義及以上定理，對上式進行轉化，可以得到：

(11)

經過如上轉換，不同階數混沌Colpitts系統的同步問題就轉變為相同階數的異結構超混沌系統(2)和(11)之間的同步問題。

在響應系統(2)中加入控制變量μ=[μ1,μ2,μ3,μ4]T。設系統誤差變量為e1=x1-x3、e2=y1-y3、e3=z1-z3、e4=w1-w3，由此可得到誤差系統：

(12)

同理，分別設計誤差系統(12)的控制變量和估計參數自適應率：

(13)

(14)

將控制器和估計參數自適應律代入誤差系統，整理后，驗證了此設計的合理性。

分別選取驅動系統初值x3(0)=-0.285、y3(0)=-0.255、z3(0)=1、w3(0)=2，階數β1=β2=β3=β4=0.919 7，響應系統初值x1(0)=0.2、y1(0)=0.2、z1(0)=0、w1(0)=0，階數α1=α2=α3=α4=0.92，估計參數初值為μ(0)=0.01。階數不同時的同步仿真結果如圖7所示。隨著時間的變化，在控制變量和估計參數自適應率的共同作用下，驅動系統和響應系統之間的誤差逐漸趨于0，未知參數μ也逐漸趨于給定值，從而實現了同步。

圖7 階數不同時的同步仿真結果

3 結束語

本文對分數階Colpitts混沌系統進行了理論分析和數值計算，得出系統隨著參數的變化，存在穩定態、周期態和混沌態等多種運動狀態。當階數的取值范圍為(q1，q2，q3，q4)∈[0.919 2,1]時，系統處于混沌態，且系統混沌吸引子的形態在各個平面上表現出明顯的變化趨勢，由單渦卷逐漸演變為多渦卷。當系統參數不確定時，基于Lyapunov穩定性定理，構造控制器和估計參數自適應律。利用自適應同步法，分別實現了相同階數和不同階數兩種情況下的分數階混沌Colpitts振蕩電路系統的完全同步。所得到的仿真結果證明了該方法的有效性以及設計的合理性。

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[3] ZHANG R X,YANG S P.Adaptive synchronization of fractional-order chaotic systems via a single driving variable[J].Nonlinear Dynamics,2011,66(4):831-837.

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[5] ZHANG R,YANG S.Stabilization of fractional-order chaotic system via a single state adaptive-feedback controller[J].Nonlinear Dynamics,2012,68(1):45-51.

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[13]包伯成,劉中,許建平,等.基于Colpitts振蕩器模型生成的多渦卷超混沌吸引子[J].物理學報,2010,59(3):1540-1548.

Research on the Chaotic Synchronization for the Fractional-Order Colpitts System with Uncertain Parameters

LI Xianli,DOU Xueying,ZHAO Yuyang

(College of Electronics Science,Northeast Petroleum University,Daqing 163318，China)

In information encryption field，the fractional-order chaotic systems have extensive research value.Through the research on theoretical derivation and numerical simulation,by adopting the stability theorem of fractional-order system,the dynamics characteristics of the selected fractional-order multi-scroll chaotic Colpittsoscillation circuit system are analyzed in detail,and the range of the orders in which the systemis in a chaotic state is calculated.The results of research show that when the system is in chaotic motion,the form of the chaotic attractor has a specific transformation process;the single-scroll chaotic attractor gradually turns into multi-scroll chaotic attractor.Adaptive control technology and parameter identification technology are used in the synchronous control of chaotic systems,in the case of uncertain parameters,and based on the Lyapunov stability theory;a reasonable controller is designed,and the parameter adaptive laws are estimated.By using the adaptive synchronization under uncertain parameters,the full synchronization of the fractional-order chaotic systems with the same order and a different order and the identification of the unknown parameter are realized respectively.The results are more useful for researching the synchronization of chaotic systems with unknown parameters.

Information security; Adaptive technology; Fractional-order system; Colpitts system; Lyapunov stability theory

黑龍江省自然科學基金資助項目(A201402)、黑龍江省教育廳科學技術研究基金資助項目(12541064)

李賢麗(1971—)，女，博士，教授，主要從事非線性動力學及混沌控制方向的研究。E-mail:lxl7158@163.com。 竇雪瑩(通信作者)，女，在讀碩士研究生，主要從事分數階混沌同步方向的研究。E-mail:735714684@qq.com。

TH13；TP273

A

10.16086/j.cnki.issn1000-0380.201703006

修改稿收到日期：2016-11-29