基于壓縮感知算法的圖像壓縮保密方法

宮麗美，張 旻，王方超

(1.解放軍電子工程學(xué)院，安徽 合肥 230037; 2.安徽省電子制約技術(shù)重點實驗室，安徽 合肥 230037)

基于壓縮感知算法的圖像壓縮保密方法

宮麗美1,2，張 旻1,2，王方超1,2

(1.解放軍電子工程學(xué)院，安徽 合肥 230037; 2.安徽省電子制約技術(shù)重點實驗室，安徽 合肥 230037)

針對目前加密方法經(jīng)壓縮后對圖像進(jìn)行加密處理，存在處理效率低、安全性低、算法復(fù)雜度高等缺點，提出基于壓縮感知算法的圖像壓縮保密方法。該方法首先對圖像進(jìn)行分塊，并分析了分塊后的像素置亂加密效果，其次構(gòu)造了壓縮感知觀測過程的加密模型，并論證了該模型具有計算保密性，最后通過圖像分塊的保密性分析和觀測矩陣的保密性分析，證實壓縮感知算法在壓縮時也具有良好加密效果。實驗結(jié)果表明，該方法魯棒性強(qiáng)，易于實現(xiàn)，具有一定的工程應(yīng)用價值。

壓縮感知；圖像加密；分塊處理；觀測矩陣

0 引言

隨著衛(wèi)星、無人機(jī)等升空平臺的大量涌現(xiàn)，如今獲取圖像信息的能力有了極大提高，尤其在軍事領(lǐng)域， 圖像偵察發(fā)揮著越來越重要的作用[1]。但因圖像數(shù)據(jù)量巨大，為減少存儲空間、提高傳輸效率，需對傳輸圖像進(jìn)行壓縮處理。壓縮感知理論(Compressive Sensing, CS)突破了傳統(tǒng)的奈奎斯特采樣定理的限制，只需少量觀測數(shù)據(jù)，即可高精度重構(gòu)原始信號，大大降低了對采樣編碼端硬件的要求，在圖像壓縮領(lǐng)域表現(xiàn)出巨大的研究價值。但由于所獲圖像在回傳中易被截獲、篡改。因此，對原圖像壓縮的同時，采取一定方式對圖像進(jìn)行加密處理也很有必要。

目前，有學(xué)者提出基于圖像像素的置亂算法[2]、基于混沌的圖像加密技術(shù)[3-4]等加密方法對圖像進(jìn)行加密處理，但存在保密性不強(qiáng)等缺點；也有學(xué)者將壓縮感知算法和傳統(tǒng)的圖像加密方法結(jié)合起來，形成新的圖像加密方法，如文獻(xiàn)[5]等提出了一種基于壓縮感知的光學(xué)數(shù)字圖像加密方案,借助雙隨機(jī)相位編碼技術(shù),實現(xiàn)了對數(shù)字圖像的多重加密，但存在處理效率低、魯棒性不強(qiáng)等缺點；文獻(xiàn)[6]提出基于壓縮感知和變參數(shù)控制混沌映射的圖像加密算法，將CS理論運用到數(shù)字圖像加密中，通過采用混沌控制變參數(shù)混沌序列來產(chǎn)生測量矩陣，增大了密鑰空間，提高了加密系統(tǒng)安全性，但算法復(fù)雜度較高。本文針對上述問題，提出了基于壓縮感知算法的圖像保密方法。

1 壓縮感知基本理論

壓縮感知理論于2006年由Candès和Donoho正式提出[7-8]。壓縮感知的核心思想是用一個與變換基不相關(guān)的觀測矩陣將變換所得的高維信號，投影到一個低維空間上，然后從這些少量的投影中以高概率重構(gòu)出原始信號，其理論框圖如圖1所示。

假設(shè)x=[x(1),x(2),…,x(N)]T，用一組標(biāo)準(zhǔn)正交基的線性組合可將其表示為：

(1)

式(1)中，ψ為基矩陣，ψ=[ψ1,ψ2,…,ψN],ψi為列向量，S為N×1維的列向量，是x在ψ的稀疏表示系數(shù)。如果S中只有K個非零(或絕對值較大)的系數(shù)，其余N-K個系數(shù)都為0(或絕對值很小)，則稱x具有稀疏性。

壓縮感知的觀測過程即利用觀測矩陣Φ∈RM×N對具有稀疏性的信號x進(jìn)行線性測量，得到觀測值y的過程[9]，如式(2)所示，

y=Φx=ΦΨS=ΘS

(2)

式(2)中，Θ=ΦΨ是一個大小為M×N的矩陣。

壓縮感知的信號重構(gòu)過程是一個求解線性方程的問題[10]，式(2)未知數(shù)的個數(shù)遠(yuǎn)大于方程的個數(shù)，是一個不定方程，有無窮多解。但由于系數(shù)S是稀疏的，可以通過求解最小l0范數(shù)來重構(gòu)信號，如果觀測矩陣Φ和稀疏變換矩陣Ψ滿足約束等距性(Restricted Isometry Property, RIP)條件，即若對于所有的x∈∑k，存在一個δk∈(0,1)，使得：

(3)

式(3)中，x是一個k階稀疏信號，δk稱為RIP常數(shù)，此時稱矩陣A∈RM×N滿足k階RIP條件。

可通過求解式(4)來精確重構(gòu)信號。

(4)

式(4)中，‖?‖0為向量的l0范數(shù)，代表向量x中非零元素的個數(shù)。

2 圖像壓縮保密方法

2.1 圖像分塊

2.1.1 圖像分塊處理方法

由于無人機(jī)圖像維度較高，為了降低測量矩陣的存儲空間和解碼重構(gòu)的復(fù)雜度，利用基于壓縮感知的圖像壓縮壓縮算法處理圖像時，首先對圖像進(jìn)行分塊處理。

將大小為M×N的圖像分成n個大小為B×B的小圖像塊，并將每一個圖像塊轉(zhuǎn)換成列向量的形式進(jìn)行表示，記xi(i=1,2,…,n)是第i塊的列向量表示，則相應(yīng)的觀測值yi，可以表示成

yi=ΦBxi

(5)

式中，ΦB是一個大小為m×B2(0

(6)

2.1.2 像素置亂加密效果

圖像分塊的大小決定了觀測矩陣的維度，同時會影響重構(gòu)速度和重構(gòu)質(zhì)量，因此在對圖像進(jìn)行分塊處理時會結(jié)合圖像本身的大小和實際需求選擇圖像分塊大小，圖像分塊大小具有不確定性。

分塊處理獲得的圖像小塊需轉(zhuǎn)換成向量的形式進(jìn)行測量，該步驟會打亂圖像原有的像素排列，實現(xiàn)像素置亂(像素置亂是一種重要的傳統(tǒng)圖像加密手段)。分塊大小的不同，會導(dǎo)致像素排列的完全不同，在分塊大小未知的情況下，即使獲得圖像全部的像素信息，也很難正確排列組合，恢復(fù)出原圖像。但由于分塊的情況相對有限，在其它條件均已知的情況下可以通過窮舉法獲得圖像分塊信息。因而圖像分塊處理具有一定的保密性。

為了進(jìn)一步說明圖像分塊處理對保密性的影響，本文對圖像分塊過程進(jìn)行演示，如圖2所示。圖2(a)為4×4的圖像示意圖，每一個小方框代表一個像素，小方框內(nèi)的數(shù)值標(biāo)記不同像素的位置。圖2(b)為2×2大小的圖像分塊示意圖，圖2(c)為分塊后的小塊圖像轉(zhuǎn)換成列向量的示意圖。

根據(jù)圖2(a)可得原始圖像矩陣X如式(7)所示，矩陣中的元素代表的是原始圖像中像素的位置；采用2×2的分塊獲得的待觀測矩陣X1如式(8)所示，采用3×3的分塊獲得的待觀測矩陣X2如式(9)所示。

(7)

(8)

(9)

經(jīng)過對X,X1,X2中元素進(jìn)行觀察，可以看到X1,X2與X的像素排列完全不同，這就是圖像分塊達(dá)到的像素置亂效果，也驗證了分塊處理具有一定的保密性。

2.2 觀測矩陣

2.2.1 觀測過程加密模型的構(gòu)造

利用文獻(xiàn)[11]的對稱加密算法構(gòu)造了壓縮感知觀測過程的加密模型，具體構(gòu)造過程如下：

待加密明文：待觀測信號x∈X(X為明文文本);

加密函數(shù)：y=ΦKx；

加密后所得的密文：y∈Y(Y為密文文本)。

解密過程：由y求解x的過程。

以上即為壓縮感知觀測過程的加密模型，下面將進(jìn)行觀測過程加密模型的保密性證明。

2.2.2 保密性證明

為了證明該模型的加密性能，在此之前，先說明下加密算法的加密過程和解密過程，分別如式(10)和式(11)所示。

eK:p→c

(10)

dK:c→p

(11)

p為待加密內(nèi)容稱之為明文，且p∈P(P為明文文本)，c為加密后獲得的密文，且c∈C(C為密文文本)，K為加密密鑰，e和d分別為加密函數(shù)和解密函數(shù)。下面將引入完全保密性和計算保密性的概念。

定義1：完全保密性

若密文發(fā)生的概率獨立于明文發(fā)生的概率，即滿足式(12)，則稱該系統(tǒng)具有完全保密性。

P(C=c/P=p)=P(C=c)

(12)

定義2：計算保密性

若系統(tǒng)解密過程是一個N-hard問題，也就是說在一個多項式時間內(nèi)無法推測出所有密鑰，則稱該系統(tǒng)具有計算保密性。

壓縮感知觀測過程加密模型是否可實現(xiàn)有效加密，下面詳細(xì)證明了壓縮感知不具有完全保密性，但具有計算保密性。

推論1：壓縮感知觀測過程加密模型不具有完全保密性。

證明：

X是明文文本，PX(x)>0,?x∈Rn,Φ為M×N維的矩陣，Y=ΦX。

根據(jù)式(12)可知要證明壓縮感知觀測模型作為加密系統(tǒng)是否具有完全保密性，只需證X與Y相互獨立，此時加密系統(tǒng)具有完全保密性。

情況1：當(dāng)X=0時

∵Φ是線性的，

∴ 當(dāng)x=0時，y=0，

即PY/X(Y=0/X=0)=1。

又∵y=Φx，

∴ 當(dāng)y=0 時，x必在Φ的零空間上，

又∵PX(x)>0,?x∈Rn,

∴PY(Y=0)<1 ，

∴PY/X(Y=0/X=0)≠PY(Y=0)

∴ 即X和Y是非統(tǒng)計獨立的，

∴ 當(dāng)X=0時，壓縮感知觀測過程加密模型不具有完全保密性。

情況2：當(dāng)X≠0時

∵Φ滿足RIP準(zhǔn)則，

∴

(13)

則由公式(13)可得,

PX/Y(x,/y)=0

又∵PX(x′)>0

∴PX/Y(x′/y)≠PX(x′)

∴ 即X和Y是非統(tǒng)計獨立的，

∴ 當(dāng)X≠0時，壓縮感知觀測過程加密模型不具有完全保密性。

綜上所述，壓縮感知觀測過程加密模型不具有完全保密性。

推論2：

壓縮感知觀測過程加密模型具有計算保密性。

證明：

壓縮感知的重構(gòu)問題是一個求解0范數(shù)最優(yōu)化的問題，如式(14)所示。然而Candès證明這是一個NP難的問題，因而通常將該問題轉(zhuǎn)化成求解1范數(shù)最優(yōu)化問題如式(14)所示。

(14)

引理：

Φ和Φ′是兩個M×N維的獨立同分布的高斯隨機(jī)矩陣，若對于K稀疏的向量x=ΨS有y=Φx；對于Φ′利用0范數(shù)或者1范數(shù)重構(gòu)時y=Φ′x′，則所得x′=ΨS′必為M稀疏的向量，且M≥K+1。

根據(jù)上述引理可知若想重構(gòu)原圖像必須保證使用相同的觀測矩陣即Φ′=Φ。若能根據(jù)觀測矩陣的維度推測出正確的觀測矩陣，則說明式(14)有解。然而，Candès證明了式(14)的求解是一個NP難問題，因而無法在多項式時間內(nèi)恢復(fù)出正確的明文。即壓縮感知觀測過程加密模型具有計算保密性。

3 實驗結(jié)果與分析

為了驗證本文對保密性的分析，利用Matlab實驗仿真進(jìn)行說明。實驗所用軟件為Matlab8.0，硬件條件為i7CPU，內(nèi)存8 GB的計算機(jī)。實驗圖像為512×512的實測無人機(jī)圖像。用于壓縮感知觀測過程的觀測矩陣1、矩陣2、矩陣3均為隨機(jī)產(chǎn)生的高斯隨機(jī)矩陣，稀疏表示字典采用離散余弦字典，重構(gòu)算法選取OMP重構(gòu)算法[12]。

共設(shè)計了三組實驗，實驗1為對比實驗，用于仿真合作方重構(gòu)圖像，為實驗2和實驗3的加密效果驗證提供對照；實驗2為圖像分塊處理加密效果驗證實驗；實驗3為壓縮感知觀測模型加密效果驗證實驗。三組實驗的采樣編碼端均采用32×32圖像分塊大小，并利用觀測矩陣1對分塊處理后的圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行觀測。

3.1 實驗1：對比實驗

重構(gòu)端參數(shù)選擇：圖像分塊大小32×32，采用觀測矩陣1進(jìn)行重構(gòu)，實驗結(jié)果如圖3所示。

圖3(a)為原始無人機(jī)圖像，圖3(b)為模擬合作方在各參數(shù)已知的情況下獲得的重構(gòu)圖像。由圖3(b)可以看出，根據(jù)正確的圖像分塊大小，利用和觀測過程相同的觀測矩陣進(jìn)行重構(gòu)時，獲得的重構(gòu)圖像較原圖像失真較小，重構(gòu)效果較好。

3.2 實驗2： 圖像分塊處理加密效果驗證實驗

重構(gòu)端參數(shù)選擇：圖像分塊大小分別為16×16和64×64，采用觀測矩陣1進(jìn)行重構(gòu)，實驗結(jié)果如圖4所示。

圖4(a)為模擬非合作方在觀測矩陣已知，圖像分塊大小未知的情況下，利用小于編碼端分塊大小的16×16圖像分塊處理方法獲得的重構(gòu)圖像。圖4(b)利用大于編碼端分塊大小的64×64圖像分塊處理方法獲得的重構(gòu)圖像。明顯在圖像分塊大小未知的情況下獲得的重構(gòu)圖像(圖4(a)、(b))與合作方重構(gòu)圖像(圖3(b))效果存在較大差距，驗證了圖像分塊可以起到保密的效果。

3.3 實驗3：壓縮感知觀測模型加密效果驗證實驗

重構(gòu)端參數(shù)選擇：圖像分塊大小32×32，采用觀測矩陣2和觀測矩陣3進(jìn)行重構(gòu)，實驗結(jié)果如圖5所示。

圖5(a)為模擬非合作方在圖像分塊大小已知，觀測矩陣未知的情況下，利用隨機(jī)產(chǎn)生的不同于編碼端觀測矩陣的觀測矩陣2進(jìn)行圖像重構(gòu)，獲得的重構(gòu)圖像。圖5(b)為利用隨機(jī)產(chǎn)生的不同于編碼端觀測矩陣的觀測矩陣3進(jìn)行圖像重構(gòu)，獲得的重構(gòu)圖像。明顯圖5(a)、(b)兩幅重構(gòu)圖像與圖3(b)合作方重構(gòu)圖像效果存在更大差距，驗證了壓縮感知觀測模型也可以起到保密的效果。

為了對本文各組實驗重構(gòu)圖像質(zhì)量進(jìn)行定量分析，利用峰值信噪(PSNR)比對重構(gòu)圖像效果進(jìn)行比較，結(jié)果如表1所示。其中，PSNR計算表達(dá)式如式(14)所示。

(15)

式中，I0(i,j)為原圖像，IG(i,j)為重構(gòu)后圖像。

表1 重構(gòu)圖像峰值信噪比比較

從表1可以看出，實驗2、實驗3重構(gòu)圖像的峰值信噪比要遠(yuǎn)低于實驗1重構(gòu)圖像的峰值信噪比，從三組實驗仿真結(jié)果可以得出，基于壓縮感知的圖像壓縮處理方法的圖像分塊處理過程和觀測過程確實可以達(dá)到加密的效果。

4 結(jié)論

本文提出了基于壓縮感知算法的圖像保密方法。該方法通過分析圖像分塊處理的像素置亂加密效果，然后針對算法本身保密性進(jìn)行分析，構(gòu)造了壓縮感知觀測過程加密模型，并論證了該模型雖然不具有完全保密性，但具有計算保密性，最后對圖像分塊處理、觀測模型的保密性進(jìn)行了驗證。實驗結(jié)果表明，該方法魯棒性強(qiáng)，易于實現(xiàn)，具有一定的工程應(yīng)用價值。

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Image Compression Confidentiality Based on Compression Sensing Algorithm

GONG Limei1,2, ZHANG Min1,2, WANG Fangchao1,2

(1.Electronic Engineering Institute, Hefei 230037,China; 2.Key Laboratory Electronic Restricting Technique, Hefei 230037, China;3.State Key Laboratory of Pulsed Power Laser Technology,Hefei 230037,China)

This paper studied several factors influencing the secrecy perception of the image compression based on compression sensing algorithm. Aiming at these problems, the confidentiality of image compression method based on compression sensing algorithm was proposed. First of all, the paper analyzed the image block processing could achieve pixel scrambling, and then build a encryption model about the compressed sensing observation process, at the same time, it was proved that the model although could not achieve perfect secrecy, but the calculating secrecy could not be achieved. The experiment results showed that this method had strong robustness and easy to implement for the further engineering application.

compressed sensing; image encryption; block processing; the observation matrix

2016-09-02

國家自然科學(xué)基金項目資助(61171170)；安徽省自然科學(xué)基金項目資助(1408085QF115)

宮麗美(1991—)，女，山東威海人，碩士研究生，研究方向：圖像處理與信息融合技術(shù)。E-mail:gong_li_mei@126.com。

TP751

A

1008-1194(2017)01-0106-05