航空飛行器軌跡引導逆次優控制算法

黃 偉，徐建城，吳華興

(1.西北工業大學電子信息學院，陜西 西安 710072; 2.空軍工程大學航空航天工程學院，陜西 西安 710038)

航空飛行器軌跡引導逆次優控制算法

黃 偉1，徐建城1，吳華興2

(1.西北工業大學電子信息學院，陜西 西安 710072; 2.空軍工程大學航空航天工程學院，陜西 西安 710038)

針對目前航空飛行器軌跡引導算法僅適用于特定引導過程，且未考慮系統動態性能要求的問題，提出了航空飛行器軌跡引導逆次優控制算法。該方法通過建立飛行器與目標相對運動的數學模型，以引導準確性和控制經濟性為性能指標，根據系統動態性能要求計算時變權值系數，逆向得出線性反饋控制器，從而得到具有給定動態性能的次優引導系統。應用實例表明，該算法適用于包含多約束條件的航空飛行器引導過程，所得到的逆次優控制器滿足引導準確性、控制經濟性和系統動態性能等指標要求。

航空飛行器；引導系統；逆次優控制；動態特性

0 引言

航空飛行器引導技術是衡量航空領域發展水平的重要標志。隨著飛行器性能的不斷提升及作戰任務的多樣化，為發揮其最大的作戰效能，對引導的準確性、控制的經濟性以及所建立的引導系統的動態性能要求越來越高。建立具有普適性并易于工程化的引導算法，滿足不同航空飛行器的作戰使用要求，具有重要的現實意義。

以引導準確性和控制經濟性為性能指標的航空飛行器引導過程是多約束條件下的優化問題，所建立的閉環引導系統必須滿足一定的動態性能指標要求[1]。國內外相關學者對該問題進行了深入研究，文獻[2]以引導時間為性能指標，建立了戰斗機遠距引導算法，但所得到的時間最優引導律缺乏普適性；文獻[3]應用滑模技術得到了適用于跟蹤機動目標的導彈制導律，但終端約束僅包含彈目相對速度，不能保證攻擊的準確性；文獻[4—6]針對戰斗機近距引導過程，提出了多約束條件下的最優引導律，但所得到的控制器與性能指標的匹配性缺乏理論支撐，且未考慮系統動態性能要求；文獻[7]基于引導過程特點提出一種非線性最優制導律，但其推導繁瑣、計算耗時長，工程實現困難。由此可見，該領域研究現狀所涉及的主要問題是：所提出的引導算法只適用于特定的引導過程，基于算法所得到的引導系統不具備給定的動態特性，實用性不強，工程實現困難。解決該問題的主要技術難點包括：如何建立滿足一般引導過程的系統狀態方程和性能指標函數；如何在難以準確估計結束控制時刻的前提下，保證所得到的控制器與性能指標的匹配性；如何使所得到的引導系統滿足給定的動態性能指標要求。針對上述問題，提出了航空飛行器軌跡引導逆次優控制算法。

1 狀態方程與性能指標函數

1.1 狀態方程的建立

建立滿足一般引導過程的系統狀態方程是飛行器引導系統設計的基礎。假設飛行器(戰斗機、導彈)各控制通道互不影響，僅在水平平面內研究飛行器的引導過程，飛行器與目標的相對運動關系如圖1所示。

圖1中，飛行器位于O點，目標位于M點，目標速度矢量水平分量為Vm，φm和θm分別為水平面內目標速度前置角和航向角，V為飛行器速度矢量水平分量，φ和θ分別為水平面內飛行器速度前置角和航向角，ε為目標線角。將速度矢量Vm和V投影到目標線LOS及其法線上可得[5]

(1)

(2)

(3)

飛行器和目標的加速度在目標線法線上的分量分別為

(4)

(5)

由式(3)—式(5)可得

(6)

式(6)即為飛行器與目標在水平面內相對運動關系的數學模型。將飛行器和目標在目標線法線上的加速度作為引導系統的控制量和干擾量，并假設目標不做機動(jm=0)，考慮到飛行器角度關系式φ=ε-θ，可得系統狀態方程為：

(7)

1.2 性能指標函數的建立

性能指標函數的建立是飛行器引導系統設計的難點，不同的引導過程所要求的性能指標不同，不同的引導階段性能指標的側重點也不相同。一般情況下，性能指標函數中包含多個約束條件。下面以戰斗機近距引導和SAR(Synthetic Aperture Radar, SAR)制導導彈末制導過程為例，說明建立性能指標函數過程中應著重考慮的因素。

戰斗機近距引導過程中，使用單一目標線角速度約束的比例導引法和單一前置角約束的最佳前置法并不能保證引導的準確性[5]，原因在于：引導初始階段，戰斗機與目標距離較遠，目標線角速度數值非常小，以至于現有的測量手段無法量測，并且較小的目標線角速度誤差將可能產生較大的引導誤差，由此，必須對前置角加以約束，這不僅可以保證引導初始階段的準確性，還可以使戰斗機在引導結束時刻，相對目標取得一定的角度占位優勢，有利于形成武器發射條件；對于近距引導結束階段，為了將戰斗機準確地引導至目標附近，必須對目標線角速度加以約束，以確保引導精度。所以，戰斗機近距引導過程中性能指標的選取應綜合考慮目標線角速度誤差和前置角度誤差。

SAR導引頭末制導過程中，由于SAR自身的特點，為了獲得所需的方位向分辨率，導彈飛行速度矢量方向與目標線必須保持一定的前置角。此外，為了保證引導的準確性，分析脫靶量可知，結束控制時刻目標線角速度應趨于零[8]。由此可見，SAR制導導彈末制導同戰斗機近距引導的性能指標形式相同，都包含對目標線角速度誤差和前置角度誤差的約束，不同之處在于：戰斗機近距引導的理想前置角是根據目標線和前置點計算得到，而SAR末制導理想前置角則根據成像所需方位向分辨率計算得到。通過上述分析，可建立航空飛行器一般引導過程的二次型性能指標函數

(8)

式(8)中，φ、ω、j分別為飛行器前置角、目標線角速度、法線加速度，φT、ωT分別為飛行器理想前置角及理想目標線角速度，q11、q22、r均為權值系數，tk為結束控制時刻。應該注意到，以前置角誤差和目標線角速度誤差作為終端約束條件，并考慮控制經濟性的性能指標函數僅適用于一般引導過程，實際應用過程中，可根據作戰使用的具體要求和飛行器自身特點建立相應的性能指標函數。

2 軌跡引導逆次優控制算法

通過上述分析可知，引導最優問題具有以下特點：1) 狀態方程是一階線性時變的，時變系數基于引導過程中傳感器的量測；2) 由于目標運動的隨機性，結束控制時刻難以準確估計；3) 閉環引導系統應具有給定的動態性能。根據以上特點，提出一種逆次優引導控制算法，該算法基于式(7)所表示的狀態方程和式(8)所表示的性能指標函數，結合系統動態性能的具體指標要求，計算性能指標函數中的待定權值系數，逆向得出次優線性反饋控制器，從而使所建立的引導系統滿足引導的準確性、控制的經濟性，以及系統動態性能等指標要求。

將式(7)和式(8)轉化為標準形式

(9)

(10)

式(10)中，R(t)和Q(t)均為待定的性能指標權值矩陣。不難證明，式(9)表示的系統狀態方程是能控的，根據最優控制理論，最優控制量為：

U(t)=-R-1(t)BT(t)P(t)ΔX(t)

(11)

P(t)滿足黎卡提方程及邊值條件

P(t)B(t)R-1(t)BT(t)P(t)P(tk)=Q(t)

(12)

顯然，當P(t)對稱的情況下，若狀態變量維數為n，黎卡提方程包含n(n+1)/2個獨立的非線性微分方程，在理想條件下求解已十分困難，加之引導過程中飛行器與目標運動狀態的劇烈變化，結束控制時刻tk的估計算法復雜[9-10]，且存在較大的估計誤差，這將進一步增加黎卡提方程求解的復雜性。為滿足工程化需求，針對這一問題文獻[11]指出：由于引導過程的每一時刻t都可能對應結束時刻tk，即t→tk，P(t)存在穩態解[11]

(13)

式(13)表示的P(t)求解方法給工程應用帶來了極大的方便，所得到的控制量理論上是次優的，但從作戰使用和工程實現角度考慮，則是最優的。將式(13)代入式(11)，可得次優控制量為：

U(t)=-R-1(t)BT(t)Q(t)ΔX(t)

(14)

式(14)所表達的次優控制量取決于權值矩陣R(t)和Q(t)所包含元素的比值，與元素的絕對數值無關。由此，令R(t)=I為單位陣。假設飛行器飛行控制系統無遲滯的響應式(14)，將式(14)代入式(9)，次優閉環引導系統狀態方程為：

+B(t)BT(t)Q(t)XT(t)

(15)

式(15)中，XT(t)=X(t)+ΔX(t)為理想狀態變量。假設引導過程中所有運動參數的量測都準確理想，則A(t)和B(t)為已知。接下來將根據閉環引導系統給定的動態性能指標計算Q(t)，對于簡單系統，若給定動態系統調節時間ts，通過對式(15)兩端積分可計算得到Q(t)；對于慢變系數的復雜系統，特征值對系統動態性能具有主導作用，通過給定的系統特征值λi，可建立式(16)所表達的特征方程求解得出Q(t)。

det[λiI-A(t)+B(t)BT(t)Q(t)]=0

(16)

應該注意到，根據系統不同的動態性能指標要求，求解Q(t)的方法是多樣的，所得到的Q(t)是隨引導過程時變的。將Q(t)代入式(14)，可得次優反饋控制量，進而得到具有給定動態性能的次優引導系統。如果所得到的次優控制量超出限制條件，即U(t)>Umax，則在容許區間內調整系統動態性能指標的給定值，重新計算Q(t)，所涉及的參數尋優算法較為成熟。

上述的逆次優控制算法適用于包含多約束條件的航空飛行器引導過程，所得到的逆次優控制器綜合考慮了引導準確性、控制經濟性和系統動態性能等指標要求。由于權值矩陣Q(t)同時包含在控制量和性能指標函數中，對于不同的系統動態性能指標要求所帶來的Q(t)的變化，并不會影響控制量對于性能指標的最優性，保證了控制器與性能指標的匹配性。

3 算法應用實例

下面以空空主動雷達彈末制導過程為例，驗證本文提出的逆次優引導控制算法的有效性。在不考慮雷達導引頭動力學誤差及隨機誤差的基礎上，假設末制導過程中目標始終處于導引頭探測范圍之內，對導彈前置角無約束，性能指標僅考慮脫靶量及控制經濟性，控制量為飛行器水平面內目標線法向加速度。根據式(7)和式(8)建立水平面內狀態方程及性能指標函數分別為：

(17)

(18)

其中，q和r均為時變權值系數，為保證制導的準確性，有效減小脫靶量，式(18)中的理想目標線角速度ωT=0。根據逆次優控制算法，結合式(13)和式(14)可得次優控制量為

(19)

由于控制量j與比值q/r有關，令r=1。假設導彈自動駕駛儀無遲滯的響應式(19)的指令加速度。將式(19)代入式(17)，可得閉環引導系統狀態方程為

(20)

(21)

由式(21)可得

(22)

(23)

(24)

式(24)所得到的次優控制量與彈目初始距離R0、結束控制距離Rk、彈目徑向速度V及目標線角速度ω有關，與比例導引法j=NVω形式相同，不同之處在于比例系數的選取，稱為修正比例導引法。由此可知，比例導引作為最優制導律的典型代表[12]，理論上也是次優的。在實際應用過程中，修正比例導引法需要在導彈發射前裝訂R0及Rk，若R0?Rk，可簡化為j=3Vω。

下面對修正比例導引法進行仿真驗證，水平面內導彈初始位置坐標(0,0)，初始速度為υx=0.5 km/s、υy=-0.5 km/s，導彈極限過載nmax=8，Rk=0.2 km時結束控制，導彈脫靶量h=10 m。目標初始位置坐標(20 km,5 km)，初始速度為υxt=-0.3 km/s、υyt=0 km/s，仿真中目標做過載恒定的側向S機動，航向角不斷減小。

4 結論

本文提出了航空飛行器軌跡引導逆次優控制算法，該算法通過建立飛行器與目標相對運動的數學模型，以引導準確性和控制經濟性為性能指標，根據系統動態性能要求計算時變權值系數，逆向得出線性反饋控制器，從而得到具有給定動態性能的次優引導系統。應用實例表明，該算法適用于包含多約束條件的航空飛行器引導過程，所得到的逆次優控制器保證了引導準確性、控制經濟性和系統動態性能等指標要求，對于航空飛行器引導系統的綜合與設計具有一定的理論參考價值。

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Inverse Suboptimal Control Algorithm for Trajectory Guidance of Aerial Vehicle

HUANG Wei1, XU Jiancheng1, WU Huaxing2

(1.Electronic and Information College, Northwestern Polytechnic University, Xi’an 710072,China; 2.Aeronautics and Astronautics Engineering College, Air Force Engineering University, Xi’an 710038, China)

Traditonal algorithm for trajectory guidance of aerial vehicle is only available to certain guidance process. Regardless of system dynamic performance, an inverse suboptimal control algorithm for trajectory guidance of aerial vehicle was proposed. By modeling relative motion between vehicle and target, using guidance accuracy and control economy as metrics, time-varying weight coefficient were calculated on the basis of system dynamic performance, and linear feedback controller was derived inversely, thus suboptimal guidance system with dynamic performance was built. An application case showed that the algorithm could be applied to guidance processes including multi-constraints and the derived suboptimal controller fulfilled the requirements of accuracy, economy and dynamic performance.

aero vehicle; guidance system; inverse suboptimal control; dynamic performance

2016-07-02

國家自然科學基金項目資助(61472441)

黃偉(1980—)，男，黑龍江綏化人，博士研究生，副教授，研究方向：航空武器總體設計。E-mail：huangwei800519@163.com。

V249；TJ765.3

A

1008-1194(2017)01-0031-05