AR模型參數的抗差遞推估計

王玉麗 ，包為民，沈丹丹，周俊偉，孫逸群

(河海大學水文水資源學院，南京 210098)

實時洪水預報誤差修正主要利用實時系統能獲得的觀測信息和一切能利用的其他信息對預報誤差進行實時校正，以彌補流域水文模型的不足[1]。實時修正的方法有很多，如抗差修正[2]、神經網絡修正[3]、卡爾曼濾波法以及自回歸修正等。

當水文預報模型采用概念性水文模型，如新安江模型時，實時校正模型可采用誤差自回歸( AR)模型[4]。一般實測資料誤差服從正態分布，但若實測資料遭到污染出現異常值，在誤差自回歸模型中就轉化為誤差中存在異常值，即存在不滿足正態分布的誤差甚至錯誤，再利用傳統的估計方法得到的結果就不可信[5]，本文把抗差估計方法引入到AR模型的參數估計中，由抗差能夠抵御異常值的特性來減小異常值對估計方法的影響，并與傳統方法進行比較分析。

1 方法介紹

1.1 遞推最小二乘法

n階的AR模型：

ε(t)=XTtC+δtt=1,2,…,N

(1)

式中：ε(t)為t時刻的實測與計算流量之間的差值；Xt=ε(t-1),ε(t-2),…,ε(t-N)；C為AR模型的參數矩陣。

當流量資料系列存在異常誤差時，就轉化為 系列存在著異常值。t時刻的參數估計為：

(2)

Φt=[X1,X2,…,Xt];Yt=[ε(1),ε(2),…,ε(t)]

根據矩陣的分塊乘法，得到遞推公式為：

(4)

由以上可知，遞推最小二乘算法的思想就是：新的參數估計值=舊的參數估計值+修正項，即新的遞推參數估值就是在舊的遞推估值的基礎上修正而成的。

1.2 抗差遞推最小二乘法

給AR模型的誤差系列的每個值加上初始權重，初始權重為單位陣，則式(2)就轉換為：

(5)

式中：Wt=diag[w(1),w(2),…,w(t)]，W(t)是t時刻的權重值。

此處設P(t)=(ΦTtWtΦt)-1，得到抗差遞推最小二乘法的公式為：

(7)

針對所研究的問題，此處采用以下抗差權函數形式：

(8)

式中：σ為加權殘差均方差；δ(t)為殘差；k1和k2為常數，k1=1.5，k2=2.5。

1.3 誤差生成模式

異常誤差生成模式：

(9)

2 實例應用

2.1 流域概況

閩江流域處于亞熱帶季風氣候區，流域多年平均降水量 1 724 mm，年內分布不均，年際變化大，其中60% 左右的年降水量主要集中在4-6月，豐水年降雨量是枯水年的2～3倍。受氣候的影響，流域內多年平均蒸發量為915.0 mm，夏季蒸發量較大，冬季蒸發量較小。水吉流域地處閩江上游地區，流域面積3 767 km2，多年平均氣溫15～20 ℃。本文選用水吉流域1988-1999年之間的18場洪水資料進行分析，流域年平均降水量為1820 mm，年平均徑流深972.0 mm，徑流系數大于0.4，屬于典型的濕潤地區，因此使用三水源新安江模型進行洪水模擬預報是較為合理的[6]。

2.2 應用檢驗

2.2.1 無異常值情況

當實測流量資料中無異常誤差時，分別運用遞推最小二乘與抗差遞推最小二乘法進行計算，將遞推最小二乘的估計結果作為近似真值，記為C0。表1是無異常值情況下抗差遞推最小二乘法計算的參數估值相對于C0的偏離程度。并用兩種算的參數估計結果進行實時修正，用確定性系數(DC)作為衡量指標，結果見表2。

表1 無異常值情況下抗差遞推最小二乘法結果的偏離程度Tab.1 Parameter dispersion degree of robust recursive least-squares result without abnormal error

表2 無異常值情況下兩種算法的確定性系數Tab.2 Deterministic coefficient of the two methods without abnormal error

分析表1，參數估值的均方差能夠反映參數估計的穩定程度，估計參數的波動越大，所對應的參數均方差也越大，因此，可以采用參數均方差來比較分析兩種算法的好壞。由表1可以看出，當資料中不含異常值時，抗差遞推最小二乘法相對于真值的離散程度很小，說明與真值非常接近，即在觀測值無異常值的情況下，抗差遞推最小二乘法能夠獲得最優估值。

分析表2，把兩種算法得到的參數估值進行實時修正，以洪水過程確定性系數進行衡量，可以看出，兩種算法的結果非常接近，并且能獲得較好的實時校正效果。

2.2.2 有異常值情況

采用式(9)生成異常誤差，添加到正常的流量資料中，以此產生含有異常誤差的數據。通過不同的p和T值情況下的計算，來分析不同量級和頻率的異常誤差對抗差估計的影響，本文選取p=2、3、4，T=5、8、10，共9種組合情況。表3表示在這9種情況下兩種算法計算的參數估值相對于真值的偏離程度，表4則顯示了這兩種算法所獲得的參數值進行實時洪水校正的效果，以確定性系數(DC)作為衡量指標。

表3 不同量級和頻率的異常誤差情況下兩種算法的參數均方差Tab.3 Parameter Mean Square Error of the tow methods with different magnitude and frequency of the abnormal error

注：V為未抗差，VR為進行了抗差。

表4 不同量級和頻率的異常誤差情況下兩種算法的確定性系數Tab.4 Deterministic coefficient of the tow methods with different magnitude and frequency of the abnormal error

這5場洪水的計算結果相似，現選取970605次洪水為例來比較兩種算法在不同量級和頻率的異常誤差情況下的結果，選取p為3、4時在頻率為5的情況下的兩種算法的效果，其結果如圖1所示(其中RRLS為抗差遞推最小二乘法，RLS為遞推最小二乘法)，然后再比較兩種量級(p=3、4)下不同頻率(T=5、10)的抗差效果，結果如圖2所示。

圖1 970605號洪水不同量級異常誤差下的兩種算法的效果(以p=3、4，T=5為例)Fig.1 Tow methods Result of 970605 flood with different magnitude of the abnormal error(take p=3、4，T=5、10 as example )

圖2 970605號洪水不同頻率異常誤差下的抗差效果(以p=3、4，T=5、10為例)Fig.2 Result of 970605 flood with different frequency of the abnormal error(take p=3、4，T=5、10 as example )

分析表3可以看出，在不同量級和頻率的異常誤差情況下，遞推最小二乘算法的參數估計值嚴重偏離真值，隨著異常誤差量級的增大和頻率的減小，參數均方差越大，即估計效果越差。而抗差遞推最小二乘法依據抗差能夠抵御異常誤差對參數估計的干擾這一特性，獲得參數均方差比遞推最小二乘的小。

分析表4同樣可以發現，遞推最小二乘算法的校正效果明顯受異常值得影響，且隨著異常誤量級的增大，校正精度越差，而抗差遞推最小二乘的結果相對較穩定，且效果比遞推最小二乘的結果要好很多。

分析圖1可以看出，遞推最小二乘的參數估計結果波動很大，且嚴重偏離真值。而抗差遞推最小二乘的結果和真值比較貼近，但是當p=4的結果比p=3的結果要好些，這是因為異常誤差的量級越大，則越容易被識別出來，抗差的效果隨著異常值量級的增大而越好。

分析圖2顯示，同一量級的異常誤差情況下，T=10的效果要比T=5的效果要好，這是因為隨著異常值的個數增多，抗差準確探測異常的概率就會降低，相應的修正效果也降低。由圖2也可以看出，同一發生頻率的異常誤差下，誤差量級越大則修正效果越好。

3 結 語

(1)當觀測值中無異常誤差時，對于AR模型的參數估計，利用遞推最小二乘法與抗差遞推最小二乘法都可以獲得理想的值，且兩種算法的結果相近，將兩種算法獲得的參數估值進行實時計算，可提高實時洪水預報的精度。

(2)當觀測值中含有異常誤差時，遞推最小二乘法的結果嚴重偏離真值，抗差遞推最小二乘法依據抗差理論的特性，在不同量級和頻率的誤差情況下都能夠抵御異常值的干擾，獲得比較穩定可靠的參數，由此得到的實時修正效果也非常理想。

(3)無論觀測數據中是否含有異常誤差，抗差遞推最小二乘法獲得的參數結果都非常接近優值，也能得到精度相對較高的實時校正結果。

(4)可以看出異常值的數目對抗差估計的效果是有影響的，對于這一數目的確定有待進一步研究。

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