解題教學應立足于解決過程，著眼于培養品質

汪軒亭

摘 要：數學教育的最高目標、長遠目標和最終目標是數學精神品質的培養。這個目標是我們數學教學者應該追求的價值所在。數學教學中的一個重要組成部分是解題教學，在教學中我們要培養學生的理性精神、獨立思考精神和求真精神；在解題教學過程中要注重活動經驗，進而培養數學嚴謹品質；在解題教學過程中要強調自我反思，進而培養自省品質。

關鍵詞：解題教學；培養品質；解決過程；嚴謹品質；自省品質

解題教學是數學教學的重要組成部分，盡管新課改實施了多年，不可回避的事實是，我們的數學教學仍然有向數學考試教學異化的危險，不少學生在數學學習中愛模仿、怕思考，缺乏理性精神和獨立思考精神；淺嘗輒止、敷衍了事……可見，以培養學生數學精神品質為教學目標和教學價值趨向的思考和實踐還顯得比較缺失。良好的數學品質包括實事求是、不斷求真的數學態度；落筆有據、言之有理的嚴謹品質；獨立思考、勇于創新的精神以及對自己的數學能力充滿自信等內涵。

一、立足于解決過程應引導“存疑質疑”，著眼于培養“嚴謹品質”

案例1：已知二次函數y=a（x2-6x+8）（a>0）的圖像與x軸分別交于點A、B，與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點。

（1）如圖1，連接AC，將△OAC沿直線AC翻折，若點O的對應點O'恰好落在該拋物線的對稱軸上，求實數a的值；

（2）如圖2，在正方形EFGH中，點E、F的坐標分別是（4，4）、（4，3），邊HG位于邊EF的右側，小林同學經過探索后發現了一個正確的命題：“若點P是邊HG或邊EH上的任意一點，則四條線段PA、PB、PC、PD不能與任何一個平行四邊形對應相等（即這四條線段不能構成平行四邊形）。”若點P是邊EF或邊FG上的任意一點，剛才的結論是否也成立？請你積極探索，并寫出探索過程。

（3）這是蘇州市中考最后一個壓軸題（題略），在學生練習后，我們與部分學生進行了交流，發現部分基礎非常好的學生對第二問看不懂或理解不全，因為此問題與平時做的數學題目在表達方式上有很大的不同。我們認為，之所以會產生這樣的問題，與平時教學中始終由教師提出問題，存疑生疑時由教師進行解釋有很大的關系，學生在平時解決問題的過程中缺少存疑、生疑、質疑的習慣，當然就不能對本題的問題形式有嚴謹的分析和思考。

當學生在解題的過程中出現問題時，常見如下兩種處理方式：一種是為了所謂的課堂目標和效率，教師替代學生，指出問題所在；另一種是為了讓學生真正認識問題與本質，通過問題串，逐步引領學生從問題中走出來。本題的解答過程中學生存疑、質疑的地方是“四條線段PA、PB、PC、PD不能與任何一個平行四邊形對應相等”是什么意思？因為教材只講對應角、對應線段等對應相等。題目中的解釋是：“這四條線段不能構成平行四邊形。”那么什么樣的四條邊不能構成平行四邊形呢？為了回答這個問題，可以從這個問題的反面來考慮，什么樣的四條邊能構成平行四邊形？兩組對邊分別相等的線段可以構成平行四邊形等。那么，不能構成平行四邊形的四條邊又滿足什么條件呢？可能是四條邊都不相等；可能是兩條邊相等，其余不相等……那現在的情形是怎樣的呢？我們發現，當解題者從生疑出發，一步步進行質疑的時候，就在逐步接近問題的解決，就在使自己的思維活動變得嚴謹。所以，在平時的解題教學中，我們要堅持進行解題分析，特別是解題過程中讓學生學會自己生出疑問、處理疑問，應該是幫助學生體會思維方法力量、優化思維品質的有效途徑，培養學生質疑等嚴謹的品質。

二、立足于解決過程應強調“自我反思”，著眼于培養“自省品質”

案例2：已知如圖3，等腰梯形MNPQ的上底長為2，腰長為3，一個底角為60°。正方形ABCD的邊長為1，它的一邊AD在MN上，且頂點A與M重合。現將正方形ABCD在梯形的外面沿邊MN、NP、PQ進行翻滾，翻滾到有一個頂點與Q重合即停止滾動。

（1）請在所給的圖3中，用尺規畫出點A在正方形整個翻滾過程中所經過的路線圖。

（2）求正方形在整個翻滾過程中點A所經過的路線與梯形MNPQ的三邊MN、NP、PQ所圍成圖形的面積S。

這是江蘇省無錫市中考的一個中檔題，考后我們對此題也進行了訪談，學生認為此題雖然新穎，但難度不是太大，但從閱卷中我們發現，還有相當多的學生是錯誤的。既然學生認為不難，但得分率為什么并不高？通過閱卷分析我們認為，學生出錯的根源在于解題過程中缺少自我反思意識，本質上是缺少自省品質。

大量教學實踐研究表明，在數學解題教學和學生學習過程中，如果在獲得正確答案后不對學習過程進行回顧和反思，那么解題活動就有可能停留在經驗水平上，事倍功半；如果在每一次解題以后都能對自己的思路作自我評價，探討成功的經驗或失敗的教訓，那么學生的思維就會在更高的層次上進行再概括，并促使學生的思維進入理性認識階段，從而使數學學習事半功倍。立足于解決過程，應該在解題過程中把反思納入其中作為必不可少的一個環節，強調反思過程就是要對解題的全過程進行自覺、深入、反復的思考，再看一看、想一想邏輯上有無漏洞；解題方法是否正確；有無其他方法；有無捷徑；結論能否推廣；能否變化條件得出新的命題；等等。本題的解決過程中涉及正方形作的翻滾運動，它顯然不是平移和翻折，應該是旋轉運動，既然是旋轉，就涉及旋轉中心和旋轉角度，此處由于要考慮點A在正方形整個翻滾過程中所經過的路線，因此，本質上要考慮的是每次旋轉的圓心和半徑的問題，錯誤者翻滾結果如圖4，而正確的翻滾結果如圖5。如果在錯解的基礎上再進行反思環節，就可以看出點A旋轉到點C處時，點C已到AN邊上，第一次旋轉運動結束，接下去是又一次新的旋轉，從而很快就找到錯誤。由此可見，反思的作用正是體現在查漏、補缺、糾錯、歸納、總結、提升。所以，在平時的解題教學中，立足解決過程要強調自我反思，通過已學的知識去學習新的知識，通過分析做過的習題去領悟解題經驗，通過解題經驗去處理新的問題，通過出錯糾錯的經驗去改進解題，最后去領略數學解題的無限風光，而這正是一個學生通過自我反思，養成自省品質的完美過程。

總之，數學教學應該以數學知識為載體，在解決問題的過程中提煉數學知識中包含的思想、觀點和方法，逐步培養學生的數學思想方法、數學精神品質，并運用這些真正的數學學習收獲去分析、探索、研究、解決今后學習、工作和生活中遇到的問題。

（作者單位：江蘇省蘇州市吳江實驗初級中學）