基于LH-OAT的馬斯京根模型參數全局敏感性分析

劉 春 燁

(太原理工大學水利科學與工程學院，太原 030024)

馬斯京根法是河道洪水流量演算中廣泛應用的一種水文學方法，該法在建立馬斯京根槽蓄方程的基礎上，與水量平衡方程聯立，推出上下游流量關系方程，進行河段洪水的演算[1]。馬斯京根法應用的一個前提是模型參數的合理率定，通常對參數K、x進行率定，再由K、x率定值計算參數C0、C1、C2。參數K、x的率定方法有分析法和試算法，但這2種方法較為復雜且率定結果精確性較差。因此，部分學者采用了直接優化參數C0、C1、C2的方法，主要有POS算法[1]、遺傳算法、最小二乘法、SCE-UA算法[2]等。

對模型參數進行敏感性分析是參數率定的基礎。敏感性分析即分析參數對模型的影響程度，根據參數的影響程度，篩選出重要的影響參數，減少參數的率定次數和調參過程中的不確定性，提高率定效率。水文模型敏感性分析方法有局部敏感性分析法、全局抽樣敏感性分析法。局部敏感性分析法原理簡單但無法完全考慮參數間的相互影響，不能滿足提高模型精確性的要求。全局敏感性分析法可綜合分析多個參數的變化對模型運行結果的影響，且該方法已在各種水文模型中得到了應用，如RSA方法、GLUE方法[3]和LH-OAT方法[4]等。目前，國內外直接對馬斯京根模型參數C0、C1、C2敏感性分析較少。本研究引入Latin-Hypercube抽樣算法，并結合OAT 方法,采用LH-OAT全局敏感性分析方法直接對馬斯京根模型參數C0、C1、C2進行全局敏感性分析。在敏感性分析的基礎上，確定參數的敏感性大小順序，采用假定最優參數法進行馬斯京根模型參數率定，發現按敏感性順序進行參數的率定，可提高馬斯京根模型參數的率定效率。

1 LH-OAT全局敏感性分析方法

現階段處理參數敏感性的方法有隨機法、模糊法、區間分析法。前2種方法需要較多的數據，而區間估計法只需已知參數的上下界，方法較為簡單。LH-OAT全局敏感性分析方法屬于區間估計法，是采用無量綱參數來表示全局敏感性的一種方法，該法的適用條件為已知模型參數的取值范圍。LH-OAT全局敏感性分析方法的理論依據分別為OAT敏感性分析法和LH抽樣法。OAT敏感性分析法在Monte Carlo抽樣方法的基礎上進行重復試驗，每次對其中一個參數進行微小的擾動，保持其他參數不變，帶入敏感性公式，即可得到每個參數的敏感度，具有較高的精確性。但Monte Carlo抽樣法在參數取值范圍內隨機抽樣，會產生大量的樣本，使OAT敏感性分析方法的運算量變大。LH抽樣方法，假設抽樣符合均勻分布，將每個參數區間均分為n層，分別從每個分層中隨機抽樣一次，生成一個LH抽樣參數組，減少了采樣頻次，能提高敏感性分析的效率。LH-OAT全局敏感性分析法結合了LH抽樣法的高效性和OAT算法的精確性。

LH-OAT全局敏感性分析法具體步驟如下：①采用LH抽樣法，將整個參數空間均分為N層，分別從每個分層中隨機抽樣一次，組成一個抽樣參數組。②假設有P個模型參數，按照OAT方法，對每個LH 抽樣參數組進行P次參數的微小擾動并且每次只擾動其中一個參數，計算每次擾動前后目標函數的變化值。③根據LH-OAT方法定義，模型總共需運行N(P+1)次。每個參數的相對敏感度由以下公式計算得到:

(1)

式中：M為敏感性分析的目標函數；ei,k為第i個參數在第k層中抽樣值；Δei,k為ei,k的擾動變化值；Si,k為參數ei,k在k層的相對敏感度。

由參數相對敏感度Si,k可計算參數的全局敏感度GSi,k：

(2)

式中：N為參數空間的總層數；GSi,k為全局敏感度。

2 馬斯京根模型

現階段河道洪水流量演算有水文學和水力學2種方法，在水文學中應用最多的為馬斯京根法,其公式為：

Q2=C0I2+C1I1+C2Q1

(3)

式中：Q1為計算時段初始時刻的出流量；Q2為時段末的河段出流量；I1、I2分別為計算時段始、末的河段入流量；C0、C1、C2均為流量演算系數，計算公式如下：

(4)

(5)

(6)

式中：K為蓄量常數，即蓄量流量關系曲線的坡度；x為流量比重系數；Δt為計算時段長。

馬斯京根法模擬河道流量過程中不可避免地存在著不確定性，對模型參數進行全局敏感性分析是研究參數不確定性的分析方法之一。在傳統的馬斯京根模型參數分析過程中，是通過公式(4)、(5)、(6)來計算C0、C1、C2的值，本文提出直接對C0、C1、C2進行敏感性分析，避免了由K、x取值不準確對參數C0、C1、C2造成的影響。

3 實例分析

3.1 模型參數敏感性計算

為定性了解參數C0、C1、C2對馬斯京根模型模擬洪水流量的影響程度，提出采用LH-OAT全局敏感性分析方法對模型參數進行全局敏感性分析。以文獻[5]中數據為例，分析C0、C1、C2的敏感性，河段上斷面入流、 下斷面出流情況見表1，所選河道穩定，計算時段長為 Δt=6 h。其中時段1-4為連續時段，時段5-8為連續時段。由公式(4)、(5)、(6)利用多元函數求極值的方法得到C0、C1、C2參數的取值范圍[6]分別為(-9/11，3/13)，(1/4，19/21)，(1/21,1)。

表1 不同時段流量 m3/s

首先，將馬斯京根模型的3個參數C0、C1、C2在其取值范圍內均分成10份，共11層；然后利用Latin-Hypercube抽樣法進行取樣組合，可確定11種組合，且C0、C1、C2應滿足公式：C0+C1+C2=1，以避免組合參數的不合理；按照OAT分析計算方法，對每種組合參數微小擾動10%(保持2個參數不變，對另一個參數進行微小擾動)后利用公式(1)進行計算，每組數據需計算11×(3+1)=44次，4個連續時段可以確定3組計算數據，有2組不同的連續時段，共需計算44×3×2=264次。利用公式(2)對相對敏感性計算結果進行均值處理，最終得到6組反映3個參數C0、C1、C2敏感性的無量綱數值，具體計算結果見表2。從表1中隨機抽取一組數據，分別把參數C0、C1、C2的擾動幅度變為20%、30%，每改變擾動幅度一次需計算44次，變2次擾動幅度，故需計算88次，分析變幅后的敏感性，計算結果見表3。

表2 參數的全局敏感度Tab.2 Global sensitivity of parameters

表3 不同擾動幅度參數敏感度Tab.3 Sensitivity of different disturbance amplitude parameters

3.2 參數敏感性結果分析

以徑流量作為敏感性評價目標，從模型參數上來看，1～4時段(即河道漲水階段)馬斯京根模型參數針對不同流量會產生相應波動，但參數敏感性總趨勢為C0>C1>C2；5-8時段(即河道落水階段)參數敏感性趨勢為C0VC1>VC2。

圖1 不同時段參數敏感性比較Fig.1 Comparison of parameter sensitivity

圖2 不同擾動幅度參數敏感度趨勢Fig.2 Sensitivity trend of different disturbance amplitude parameters

以洪峰流量作為敏感性評價目標，當出現洪峰時(3～4時段)，C0、C1、C2雖遵循漲水階段的規律，但C0、C1的敏感性相對前一時段的值減小，C2的敏感性相對增大，3個參數的敏感性相差不大，無主要敏感性參數。分析敏感性變化的原因，是由于洪峰流量較河道普通流量大，當流量過大時，河道的穩定性減弱，影響因素相應發生變化且影響因素增加。

采用假定最優參數法分析參數敏感性對率定效率和率定結果的影響，首先選定一組參數作為最優參數，分別采用2種方法進行參數率定，第1種方法是根據參數的敏感性大小順序進行參數率定，第2種方法是根據擾亂參數敏感性順序進行率定。以率定結果與最優參數的偏離程度、率定效率來評價2種方法的優劣，結果見表4、圖3。方法1率定11次，精度為99.8%，方法2率定16次，精度為99.6%。因此，按敏感性由大到小進行參數率定可提高69%的率定效率。以洪峰流量為率定目標時，由于沒有主要敏感性參數，參數的敏感性差別不大，率定效率會有所下降。

表4 率定結果 %

圖3 率定結果比較Fig.3 Comparison of the calibration results

4 結 語

采用LH-OAT全局敏感性分析方法分析馬斯京根模型參數的敏感性，并通過實例進行演算，在分析演算過程中得出以下結論。

(1)直接采用LH-OAT敏感性分析方法對C0、C1、C2進行敏感性分析，確定了各參數對馬斯京根模型的影響程度，對河道資料較少、無法獲得K、x值的地區的河道演算具有較好的適用性。

(2)以徑流量為評價目標，當河道漲水時，參數C0較敏感，C1、C2一般敏感；當河道落水時，C0、C1一般敏感，C2較為敏感，因此，建議在漲水和落水階段分別分析參數的敏感性。以洪峰流量作為評價目標時，C0、C1的敏感性相對減弱，C2的敏感性相對增加，但3個參數敏感性差別較小，無主要敏感性參數。

(3)按敏感性大小順序進行參數率定，可以大幅度提高馬斯京根模型參數的率定效率。在實際工程計算時需針對研究河道實際情況研究參數C0、C1、C2的敏感性，以期最接近河道流量的真實情況，敏感性分析成果為馬斯京根模型參數的合理率定奠定了基礎。

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[1] 李 匡,胡宇豐,梁犁麗，等.PSO 算法在馬斯京根法參數率定中的應用[J].水電站機電技術,2016,39(8):88-91.

[2] 李鴻雁,趙 娟,王玉新，等.擴域搜索遺傳算法優化馬斯京根參數及其應用[J].吉林大學學報,2011,41(3):861-865.

[3] 李 丹,張 翔,張 揚.水文模型參數敏感性的區間分析[J].水利水電科技進展,2011,31(1):29-32,41.

[4] 劉慧如,吳建華,孫 毅，等.基于LH-OAT的雙曲正切模型參數敏感性分析[J].水電能源科學,2016,34(9):84-86.

[5] 林三益.水文預報[M]. 北京：中國水利水電出版社,2001.

[6] 李 匡,付 力,胡宇豐，等.馬斯京根法參數C0、C1、C2取值范圍的確定[J].南水北調與水利科技,2012,10(5):43-45,55.