巨菌草莖稈力學特性曲線擬合研究

陳文滔++方兵++梁曉++葉大鵬

摘要：為了精確地描述巨菌草（Pennisetum sinese Roxb）莖稈力學性能莖稈抗拉、抗壓、抗彎彈性模量，對巨菌草莖稈力學特性曲線進行曲線擬合。通過分析插值函數的構造方法及性質，合理地選取基函數和權函數，并對最小二乘法以及移動最小二乘法的擬合曲線進行了對比。結果表明，移動最小二乘法在巨菌草莖稈力學特性試驗曲線擬合中具有更高的精度。

關鍵詞：巨菌草（Pennisetum sinese Roxb）；莖稈；移動最小二乘法；力學性能；曲線擬合

中圖分類號：S519 文獻標識碼：A 文章編號：0439-8114（2017）03-0561-04

DOI：10.14088/j.cnki.issn0439-8114.2017.03.044

Study of Curve Fitting of Mechanical Properties of the Stalk of

Pennisetum sinese Roxb

CHEN Wen-tao，FANG Bing，LIANG Xiao，YE Da-peng

（College of Mechanical and Electrical Engineering， Fujian Agriculture and Forestry University， Fuzhou 350002， Fujian，China）

Abstract：In order to accurately describe the mechanical properties of the stalk of Pennisetum sinese Roxb on tensile， compression and bending modulus of elasticity， the curve of mechanical properties of Pennisetum sinese Roxb stalk were fitted. The construction method of interpolation function was detailedly studied and the basis function and weight function were reasonably choose， then compared the least square method and moving least square method in curve fitting. The results showed that the precision of the moving least square method in the curve fitting of mechanical properties of Pennisetum sinese Roxb stalk was higher.

Key words：Pennisetum sinese Roxb；stalk；moving least squares；mechanical properties；curve fitting

巨菌草（Pennisetum sinese Roxb）是上世紀90年代從非洲引進中國，經過20多年培養出適合中國氣候土壤的優良草種[1]。巨菌草的莖稈木質纖維作為能源與工業原料具有巨大的潛能，同時，巨菌草的機械處理如切割、打捆、破碎、運輸等也具有重大的經濟價值。

巨菌草莖稈的力學特性參數是研制高效、低耗莖稈切割器的重要參數依據，對巨菌草莖稈的力學特性的研究有利于在農業機械設計階段中減少研發成本與縮短研發周期，因此有必要展開對巨菌草莖稈的力學特性研究。目前，已有學者研究了蘆竹[2]、苧麻[3]、玉米[4]等作物莖稈的力學特性，而巨菌草莖稈的力學特性研究鮮見報道。

由于植物莖稈力學性能呈現非線性特點，需要通過曲線擬合得到材料的拉伸、壓縮、彎曲彈性模量力學性能參數。而曲線擬合的方法眾多，常用的是基于普通最小二乘法的多項式擬合，其形式簡單，計算量小，但考慮整個擬合區域所有節點的誤差效應，并將誤差在全局上做均化處理，對局部擬合精度產生很大影響[5]。因力學特性曲線的線性階段曲線形狀較為簡單，可以采用上述方法，且精度可以滿足要求，但對于莖稈破壞階段的曲線，普通最小二乘法誤差較大。鑒于該方法存在的問題，本研究借鑒竹木材料的試驗標準，測試了巨菌草莖稈拉伸、壓縮、彎曲等力學性能參數。利用移動最小二乘法（Moving Least Squares，MLS）擬合巨菌草莖稈力學特性曲線并通過實例與普通最小二乘法擬合進行比較分析，說明MLS方法可以優化求解莖稈拉伸、壓縮、彎曲彈性模量的精度，為進一步建立材料本構模型提供準確的理論數據支持。

1 移動最小二乘法（MLS）

1.1 基本原理

MLS是20世紀80年代發展起來的一種基于點的近似方法，具有擬合精度高、通用性強的特點，該方法首先應用于固體力學中[6]。移動最小二乘法主要可分為逼近法和插值法兩種，本研究主要采用的是移動最小二乘逼近法。

1.2 基向量的選取

通常選取單項式作為基函數， 一維空間中單項式一次和二次基函數分別為：

二維空間中單項式一次和二次基函數分別為：

1.3 權函數的選取

權函數在移動最小二乘法中起著重要作用，權函數w（x-xi）反映了計算點x對全局近似的影響程度，Guass權函數的權函數因子β則說明了在計算點xi的影響域內各節點對權函數值的影響程度。權函數的選取對移動最小二乘法近似的特性有很大的影響。移動最小二乘法近似的精度在很大程度上取決于權函數。本研究采用Guass權函數。

式（8）中，r=d/R1，d為計算點x與他求解域內某一節點x1的距離；d=|x-x1|R1為該節點影響域半徑，R1=k×d1k為影響域半徑乘子，k值略大于1，以保證計算點的求解域內有足夠的節點；d1是一個動態變量，隨著節點分布的密集情況變化，當節點比較集中時d1較小，節點比較分散時d1較大，以保證所有點的定義域中包含合適數量節點，取d1為節點x1到距其最近的第Nb個節點之間的距離；Nb為給定的節點x1影響域中的節點數，節點數過少會使計算矩陣奇異或影響精度，節點數過多影響域半徑，使該點的區域特性表現得不明顯；β為權重因子，β越大離計算點x越近（r越小）的節點對全局近似的影響越大，而遠的節點幾乎沒有影響。

2 試驗過程

對采集來的巨菌草莖稈去頂、剝皮、鋸掉結隔并編號，測量巨菌草莖稈直徑，參照木材和竹材物理力學性質試驗方法[7，8]，制作試驗試樣。拉伸試樣長120 mm、寬15 mm、厚t mm，試驗中間有效部分規格長60 mm、寬2 mm、厚t mm，與兩端夾持部分圓弧平滑過渡，如圖1a所示。壓縮試樣長30 mm、外徑d mm、厚t mm，兩端需要用砂紙打磨平整，如圖1b所示。彎曲試樣長100 mm、寬d mm、厚t mm，如圖1c所示。

試驗采用深圳市新三思材料檢測有限公司制造的SNAS微機控制電子萬能材料試驗機進行拉伸、壓縮和彎曲試驗，其精度級別為1級，試驗力準確度與變形準確度均在1%以內。該系統由試驗機主機、RG控制器、計算機控制系統三部分組成，在試驗運行過程中能動態顯示載荷值、變形值、試臺速度和應力-應變曲線等結果。

3 結果與分析

3.1 巨菌草莖稈拉伸試驗

采用井字紋夾頭夾緊試件的上下兩端，設置拉力加載速度為3 mm/min。試驗獲得試件拉伸的應力-應變曲線。從圖2中可以看出，當拉伸應力達到巨菌草莖稈最大拉伸強度后，巨菌草莖稈被拉斷，應力瞬時急劇下降。測得巨菌草拉伸抗拉強度的最大值為110.3 MPa，最小值為91.4 MPa，平均值為100.4 MPa，抗拉彈性模量為600.1～691.6 MPa，平均值為644.7 MPa。

3.2 巨菌草莖稈壓縮試驗

將壓縮試件置于平面壓頭的承載平面，在控制機上設置材料壓縮彈性模量控制程序，壓縮載荷加載速度為3 mm/min，試驗獲得試件的壓縮應力-應變曲線。從圖3中可以看出，巨菌草莖稈軸向壓縮過程大致可以分為線性變形階段、一次屈服階段、抗力恢復階段、二次屈服階段和徹底破壞階段。測得巨菌草抗壓強度的最大值為8.96 MPa，最小值為5.02 MPa，平均值為7.54 MPa，抗壓彈性模量160.9～197.9 MPa，平均值為184.1 MPa。

3.3 巨菌草莖稈彎曲試驗

試驗采用三點彎曲法，將彎曲試件作板材處理，彎曲跨度為48 mm，預加載荷10 N（保證壓頭與試樣密切接觸），彎曲壓力加載速度3 mm/min。圖4為計算機繪制的彎曲應力-位移曲線，彎曲應力超過最大抗彎強度后巨菌草莖稈斷裂，應力下降。測得巨菌草莖稈抗彎強度的最大值為31.7 MPa，最小值為24.1 MPa，平均值為27.7 MPa，彈性模量平均值為697.5 MPa。

4 數據擬合

4.1 巨菌草莖稈拉伸特性曲線擬合對比

選取拉伸試驗圖2中的第二根曲線進行擬合，分別利用普通最小二乘法中16次數多項式和MLS來擬合巨菌草莖稈拉伸力學性能曲線。再利用Matlab語言編程將拉伸應力-應變曲線繪制對比圖形。圖5為巨菌草拉伸應力-應變的MLS和多項式擬合曲線。圖6為其擬合誤差對比結果，通過對比發現，MLS擬合得到的擬合曲線精度更高，其相對誤差范圍在-0.01～0.01。而利用16次多項式來擬合曲線，其相對誤差較大。

4.2 巨菌草莖稈壓縮特性曲線擬合對比

選取壓縮試驗圖3中的第四根曲線進行擬合，利用普通最小二乘法中16次數多項式和MLS來擬合巨菌草莖稈力學性能曲線，繪制應力-應變關系曲線（圖7）。通過對比擬合曲線誤差（圖8），用MLS擬合得到的力學性能數據更準確，其相對誤差范圍在-0.05～0.05。而利用16次多項式來擬合曲線，其相對誤差較大。

4.3 巨菌草莖稈彎曲特性曲線擬合對比

選取彎曲試驗圖4中的第二根曲線進行擬合，利用普通最小二乘法中16次數多項式和MLS來擬合巨菌草莖稈力學性能曲線（圖9、圖10）。對擬合數據進行誤差分析，得到MLS方法擬合數據誤差更低，其相對誤差范圍在-0.05～0.05，而利用16次多項式來擬合曲線，其相對誤差明顯較大。

5 小結

利用移動最小二乘法（MLS）擬合巨菌草莖稈力學特性曲線，無需擬定擬合函數的形式，無需分段處理，方法具有通用性，可以通過選取不同權函數控制擬合曲線的光滑度，通過選取不同的基函數控制擬合曲線的精度[9]。

本研究使用移動最小二乘法（MLS）對巨菌草莖稈拉伸特性曲線行擬合，并與分段最小二乘法進行了比較，與其他擬合方法相比，移動最小二乘法（MLS）具有許多優點：①有較高的精度，可以得到更準確的抗拉彈性模量；②可通過調節參數來得到合適的基函數和權函數，從而獲取平滑的曲線，避免了求解病態方程組的系數矩陣的情況；③移動最小二乘法（MLS）作為新的數據擬合方法，有著很強的通用性。

參考文獻：

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[8] 中國林業科學研究院. GB/T15780-1995，中華人民共和國國家標準：國家竹材物理力學性質試驗方法[S].北京：中國標準出版社，1995.

[9] 蔣 博，蔡曉龍.基于matlab的移動最小二乘法數據擬合[J].數字技術與應用，2015（10）：110-111.