多相材料有效性能預測的高精度方法1)

朱合華陳 慶

?(同濟大學土木工程防災國家重點實驗室、巖土及地下工程教育部重點實驗室,上海200092)

?(同濟大學先進土木工程材料教育部重點實驗室，上海200092)

多相材料有效性能預測的高精度方法1)

朱合華?,2)陳 慶?,3)

?(同濟大學土木工程防災國家重點實驗室、巖土及地下工程教育部重點實驗室,上海200092)

?(同濟大學先進土木工程材料教育部重點實驗室，上海200092)

有效介質方法是常用的細觀力學方法之一.其可用于計算多相材料的有效性能,并建立材料微細觀結構和宏觀性能的定量關系；有助于指導新材料設計，減少試驗工作量等.然而，當夾雜含量升高時，傳統有效介質方法的計算精度下降.本文以兩相材料為研究對象，提出一種新的參考介質，即：為更合理考慮不同夾雜顆粒間的相互作用，假定參考介質的應變是基體相平均應變和某一修正張量的雙點積.在此基礎上，推導了新參考介質下兩相材料的有效模量表達式，并給出該修正張量的近似計算方法；通過反復更新參考介質，采用多層次均勻化思路，將本文方法進一步用于多相材料性能的預測.為驗證方法的有效性，將預測結果與已有模型結果和試驗數據進行對比.結果表明本文方法較已有方法更為合理、有效.當夾雜含量升高時，本文方法較傳統有效介質方法的計算精度有所提升.

高精度方法，高夾雜含量，多夾雜,多層次均勻化，細觀力學

引言

細觀力學常采用有效介質方法預測復合材料的有效模量，如Eshelby法、Mori-Tanaka(M-T)法、自洽法和微分法等[1-2].文獻[3-9]將有效介質方法應用于巖石和混凝土有效模量的預測，文獻[10-15]則將該方法應用于飽和與非飽和混凝土電化學沉積修復的細觀力學模型.

然而，有效介質方法在計算高夾雜含量復合材料有效模量時較難獲得滿意的結果.比如，Eshelby法要求夾雜極其稀疏；隨著夾雜含量的增大，當夾雜剛度低于(或高于)基體剛度時，M-T方法會高估(或低估)復合材料的有效模量，而自洽法會低估(或高估)復合材料的有效性能，并且自洽法不具備顯式表達，需要進行迭代求解；應用微分法預測有效模量時，需要求解非線性微分方程組，給工程應用帶來不便[1-2].

Ju等[16-19]近期通過假設夾雜在基體中的分布形式，基于Eshelby理論，直接計算了不同夾雜顆粒間的相互作用，得到高夾雜含量(達50%)復合材料性能高精度預測方法[16-19].可是，由于很難直接計算多相材料中不同顆粒之間的相互影響，該方法目前還僅限于兩相材料的性能預測，無法用于計算多相材料的有效性能.

為了解決傳統有效介質法因夾雜含量增大導致計算精度下降的問題，本文提出一種多相材料性能的高精度預測方法.具體而言：首先以兩相材料為對象，定義參考介質的剛度和基體相相同，參考介質的應變為基體相平均應變和待定修正四階張量的雙點積；然后，結合Ju等近期提出的兩相材料性能高精度預測方法，求解該四階張量的解析表達式，獲得高精度預測方法的參考介質性能；最后，通過不斷更新參考介質應變修正張量，采用多層次均勻化的方法，獲得多相材料有效模量的高精度預測方法.

1 兩相材料的有效模量

1.1 有效模量的定義

由于復合材料的微細觀結構復雜，常采用代表性體積單元(representative volume element,RVE)的方法進行表征.所謂代表性體積單元是基于細觀尺度定義的，一般其尺寸遠大于夾雜相的尺寸，而遠小于宏觀尺寸.以兩相材料為例，其有效剛度C?定義如下[1]

式中,V是代表性體積單元的體積,V0是基體的體積;V1是夾雜相的體積,為平均應變，為平均應力.

1.2 有效介質法簡介

Eshelby求解了載荷作用下無限大彈性體中含單個橢球型夾雜的應力和應變問題[20-22].而工程材料常含有不同的夾雜相，并且同一夾雜相也有不同顆粒.在載荷作用下，不同夾雜顆粒將相互影響，使得工程材料內部的應變分布很難精確求解.為簡化這一求解過程，有效介質法試圖基于Eshelby的成果并通過引入參考介質的方式來近似處理夾雜顆粒之間的相互影響.具體而言如下[1].

(1)Eshelby法假設參考介質的剛度C為基體的剛度C0，參考介質的應變ε為復合材料的平均應變，即假設

(2)M-T法假設參考介質的剛度C為基體的剛度C0，參考介質的應變ε為基體的平均應變即

假設

(3)自洽法假定參考介質的剛度C為復合材料的有效剛度C?，參考介質的應變ε為復合材料的應變即

當基體相和夾雜相都是各向同性、且夾雜相的形狀為球形時，由M-T法預測的兩相材料的體積模量和剪切模量如下

2 兩相材料性能預測的高精度方法

2.1 新參考介質定義

借鑒傳統有效介質方法的假設，為了獲得有效模量的顯式表達，一般假設參考介質的剛度為基體剛度.為此：

(1)借鑒Eshelby法和M-T法的假定，本文新參考介質的剛度假定為基體的剛度C0

式中，C是參考介質的剛度張量.

(2)為了更合理考慮不同夾雜間的影響程度，參考介質的應變取待定修正張量和基體相材料平均應變的雙點積

式中，U和ε分別是修正四階張量和參考介質的應變.如果U=I(I是四階單位張量)，那么本文方法就和M-T方法相同.因此，不妨認為本文方法是一種改進的M-T方法.

2.2 新參考介質下兩相材料有效模量求解

根據Eshelby的成果，在新參考介質作用下，有下式成立[1]

式中，T是關聯基體平均應變和夾雜平均應變的轉換張量.

假設基體相和夾雜相符合胡克定律，并根據代表性體積單元平均應變和平均應力的定義有

式中φ0和φ1是代表性體積單元中基體和夾雜的體積含量；是代表性體積單元中基體、夾雜和復合材料的平均應變(應力).

將式(14)代入式(16)可以得到

聯合式(14),式(17)和式(18)可以得到

所以，本文參考介質下兩相材料的有效模量C?可由式(20)表示

2.3 待定的四階張量的近似求解

通過直接考慮夾雜顆粒間相互作用，筆者近期提出了一種高夾雜含量下(達到50%)兩相材料性能預測的高精度細觀力學方法[16-19].該方法的應變集中張量表達式如下

式中K0,G0,ν0是基體的體積模量,剪切模量和泊松比；K1,G1是夾雜的體積模量和剪切模量.

另外，根據文獻[1]可得本文方法的應變集中張量為

如果基體和夾雜都是各向同性，且夾雜的形狀為球形，假設式(21)和式(27)相等，經過推導，可以得到待定的四階張量為

式(28)等號右邊各張量的分量如下

式中δij克羅內克符號.那么，張量U的分量可表達如下

3 多相材料性能預測的高精度方法

3.1 多層次均勻化的思路

第2節關于修正張量U的求解，是借鑒了筆者近期兩相材料有效性能預測的結果，因此，該張量U尚無法直接用于多相復合材料的性能預測.為此，本節將進一步借鑒有效介質法的思路，通過反復更新參考介質的性能，采用多層次均勻化思路將第二節提出方法用于多相材料性能預測[10-15,25-27].

假設有n+1相材料，其含有第1,2,··,n種夾雜.為獲取其有效性能，可采用多層次均勻化思路如下：先通過第1層均勻化獲取基體和第1種夾雜組成的等效材料，然后以此為新基體，通過第2層次均勻化，獲得新基體和第2種夾雜組成的等效材料，接著，又以此作為新的基體，依此類推，通過n層均勻化即可得到n+1相復合材料材料的有效性能[10-15,25-27].

3.2 多相材料性能預測

以n+1相材料為例，即除基體相外，還有第1,2,··,n相夾雜.其中基體相的體積為V0，剛度為C0；第1,2,··,n相夾雜的體積分別為V1，V2，··,Vn;剛度分別為C1,C2,··,Cn.

首先，采用本文改進的有效介質方法進行第一層次均勻化處理，獲得基體和第一種夾雜組成的等效材料的有效性能.具體如下

接著，采用本文方法進行第二層次均勻化處理，獲取由基體和第一、二兩種夾雜組成的三相材料的有效性能.具體如下所示

依此類推，可以得到n+1相材料的有效性能如下

式中，S0，S1和Sn-1是分別對應于基體相(更新前的基體)，第一次均勻化后的等效材料(更新一次后的基體)，第n-1次均勻化后的等效材料(更新n-1次后的基體)含球形夾雜時的Eshelby張量；U0，U1和分別是基體和第一相夾雜，第一次均勻化后等效材料(更新一次后的基體)和第二相夾雜，以及第n-1次均勻化后等效材料(更新n-1次后的基體)和第n相夾雜組成的兩相材料的參考介質應變修正張量.

4 對比驗證

為了驗證本章提出的模型，本文采用文獻[28-29]的試驗數據進行對比分析.其中，文獻 [28]的材料參數是E0=3.0GPa,ν0=0.4,E1=76GPa，ν1=0.23.文獻[29]的材料參數是E0=0.75×106bars和ν0=0.23.材料的體積模量K和剪切模量G按如下關系式換算

將以上材料參數代入式(7)和式(8)可獲得M-T方法的計算結果；對于本文方法，首先將以上材料參數帶入式(37)和式(38)可以獲得修正張量U；然后根據式(14)可求得張量T，最后根據式(20)計算本文結果.圖1表示傳統M-T法與本文法預測的楊氏模量和文獻[28]的試驗數據對比情況.從圖1中可以看出，本文方法預測的有效楊氏模量和試驗數據吻合的很好，在夾雜含量較低時，傳統M-T方法預測結果也可較好地反應該試驗的結果.隨著顆粒含量的提升，本文方法的精度更高.

圖1 楊氏模量對比圖Fig.1 The comparisons among the Young’s modulus obtained by experiment and di ff erent micromechanical methods

圖2表示傳統M-T法與本文方法預測的剪切模量和文獻[28]的試驗數據對比情況.從圖2可知，在低夾雜含量下，傳統M-T方法和本文方法的結果相近，且都與試驗結果吻合較好；當高夾雜含量增加時，本文方法預測的有效剪切模量依然與試驗數據吻合的很好，而傳統M-T方法預測結果偏離試驗結果較多.

圖2 剪切模量對比圖Fig.2 The comparisons among the shear modulus obtained by experiment and di ff erent micromechanical methods

圖3表示M-T法與本文方法預測的體積模量及文獻[29]的試驗數據對比情況.同樣，無論是低孔隙率還是高孔隙率(50%)，本文方法都可以很好地預測試驗結果；而傳統的M-T方法預測的有效體積模量隨著孔隙率的增加精度呈下降趨勢.

從上面的3個例子可以看出，對于兩相材料有效模量的預測(含楊氏模量、剪切模量和體積模量)，當夾雜含量增加時，本文方法的計算精度要高于傳統的M-T方法.

圖3 體積模量對比圖Fig.3 The comparisons among the bulk modulus obtained by experiment and di ff erent micromechanical methods

為進一步驗證本文方法在多相材料性能預測中的可行性，取文獻[30]的試驗結果作為對比對數.該試驗材料是由基體相孔隙相和增強相組成，其中基體相的性能為E0=2.2GPa，ν0=0.3；孔隙相的模量取為0；增強相的性能為E1=75GPa，ν1=0.25.隨著孔隙含量和增強相的變化，三相材料的整體性能也將隨之變化.表1是不同細觀力學模型預測結果和試驗結果的對比情況.從表1中可以看出，本文方法與M-T方法預測結果相近.但是，本文方法預測結果(平均誤差8.6%)比M-T方法(平均誤差11.8%)更接近試驗結果.

5 結論

當夾雜含量較高時，傳統有效介質方法的計算精度會下降.本文通過改變傳統有效介質法中參考介質的應變來提升其計算精度，即：假設參考介質的應變是基體相平均應變和某一修正張量的雙點積；并基于筆者近期的成果給出了兩相材料該修正張量的近似計算方法；進一步，通過不斷更新修正張量，采用多層次均勻化思路，預測了多相材料的性能.經對比驗證，本文方法計算結果較傳統有效介質方法(以Mori-Tanaka為例)更合理、有效.

表1 不同細觀力學模型預測結果和試驗結果對比Table 1 The comparisons among the results obtained by experiment and dif f erent micromechanical methods

致謝感謝美國UCLA的朱建文教授在論文寫作過程中給予的指導.

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AN APPROACH FOR PREDICTING THE EFFECTIVE PROPERTIES OF MULTIPHASE COMPOSITE WITH HIGH ACCURACY1)

Zhu Hehua?,2)Chen Qing?,3)

?(China State Key Laboratory for Disaster Reduction in Civil Engineering，Key Laboratory of Geotechnical and Underground Engineering of the Ministry of Education，Tongji University，Shanghai200092，China)

?(Key Laboratory of Advanced Civil Engineering Materials of Ministry of Education，Tongji University，Shanghai200092，China)

The ef f ective medium approach is one of the common micromechanical methods,which can be utilized to predict the material’s ef f ective properties and set up the quantitative relationship between the material’s microstructures and macroscopic properties.It is helpful and meaningful for the new material design and reducing the(experimental) workload to use these micromechanical estimations of the material’s properties.However,the calculation accuracy will decline when the ef f ective medium method is adopted to estimate the ef f ective properties of the composite with high volume fraction of inclusions.Therefore,in this paper the two-phase composite is taken as the example firstl and the strain of the reference medium is assumed to be the product of the average strain of the matrix and a modifying tensor. Thentheexpressionsoftheef f ectivemodulusarederivedwiththeproposedreferencemedium.What’smore,thesolutions for modifyingtensorarereached by using theachievementwe obtained recently.Further,through optimizingthereferencemedium repeatedly,with the help of multi-level homogenization scheme,the proposed modifie method is extended to predict the properties of the multiphase composite with many types of inclusions.To verify our proposed framework, the predictions are compared with the experimental data and the results of existing models.The comparisons show that the estimations of the presented method are more reasonable and acceptable.When the volume fraction of inclusions is higher,the calculation accuracy of the presented method in this paper is better than those of the existing ef f ective medium methods.

high accuracy approach,high volume fraction of inclusion,multi-inclusions,multi-level homogenization, micromechanics

O343.7

A doi：10.6052/0459-1879-16-347

2016-11-25收稿，2016-11-28錄用,2016-12-02網絡版發表.

1)國家自然科學基金(51508404,U1534207)和高性能土木工程材料國家重點實驗室(2015CEM008)資助項目.

2)朱合華，教授，主要研究方向：隧道及地下結構計算方法.E-mail：zhuhehua@tongji.edu.cn

3)陳慶，助理研究員，主要研究方向：混凝土修復，細觀力學，地下結構.E-mail：chenqing19831014@163.com

朱合華,陳慶.多相材料有效性能預測的高精度方法.力學學報,2017,49(1)：41-47

Zhu Hehua,Chen Qing.An approach for predicting the e ff ective properties of multiphase composite with high accuracy.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(1)：41-47