讀懂學(xué)生的思維減少盲目的唯一

王道健

2014年10月，鄭毓信教授在《數(shù)學(xué)教學(xué)中的“找規(guī)律”風(fēng)應(yīng)當(dāng)降溫》一文指出，規(guī)律最重要的兩個(gè)特征是“客觀性”和“普遍性”，這類活動(dòng)的根本意義在于借助所發(fā)現(xiàn)的“規(guī)律”，更有效地去從事實(shí)踐活動(dòng)。張奠宙教授也認(rèn)為，“找規(guī)律是一個(gè)開放的問(wèn)題。任何一個(gè)有限序列，都可以生成無(wú)限多種規(guī)律，認(rèn)為只有一個(gè)規(guī)律，推斷出‘必須是什么和‘應(yīng)該是什么，把開放題封閉成只有唯一答案的題目，在數(shù)學(xué)上是不對(duì)的”。

筆者正好要教學(xué)這部分內(nèi)容，于是，帶著對(duì)一年級(jí)“找規(guī)律”教學(xué)的思考，我在毫無(wú)告知的情況下讓學(xué)生完成了這樣的找規(guī)律填數(shù)：

70，（ ），60，55，（ ），（ ）

結(jié)果學(xué)生上交的答案各不相同，那么他們到底是怎么想的呢？于是，我就進(jìn)行了如下的追問(wèn)：

生1：70，（65），60，55，（50），（45）

師：有什么規(guī)律？你怎么發(fā)現(xiàn)這種規(guī)律的？

生1：我看到題目中60和55相差5，也就是相鄰的兩個(gè)數(shù)相差5。

生2：70，（55），60，55，（50），（55）

師：你寫的規(guī)律好像和其他小朋友不一樣，有什么規(guī)律？

生：我寫的是把70、60、（ ）看成一組，發(fā)現(xiàn)70和60相差10；（ ）、55、（ ）看成另一組來(lái)發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

師：你兩個(gè)兩個(gè)間隔看發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，那你運(yùn)用這種規(guī)律還能寫出來(lái)嗎？

生：①70，（54），60，55，（50），（56）；②70，（56），60，55，（50），（54）；③70，（53），60，55，（50），（57）……

師：間隔的規(guī)律照這樣寫下去能寫完嗎？

生：寫不完。

師：還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？

生：70，（64），60，55，（50），（46）

師：你寫的這個(gè)好像沒(méi)有規(guī)律啊？

生：老師，我是這樣想的，把這6個(gè)數(shù)分成3組：70、（ ）；60，55；（ ），（ ）。先看每組的第一個(gè)數(shù)是70、60來(lái)確定第3組的第一個(gè)數(shù)是50；再根據(jù)第2組的60、55發(fā)現(xiàn)相鄰兩個(gè)數(shù)相差5，我設(shè)計(jì)了第1組相鄰兩個(gè)數(shù)相差6，第3組相鄰兩個(gè)數(shù)相差4。

師：哦，原來(lái)你是兩個(gè)兩個(gè)相鄰看發(fā)現(xiàn)了數(shù)的規(guī)律，用這種規(guī)律還能寫出來(lái)嗎？

生1：太多了，寫不完。

生2：70，（65），60，55，（49），（43）

師：你的有什么規(guī)律？

生：我先看前面3個(gè)數(shù)：70，（ ），60，設(shè)計(jì)了相鄰兩個(gè)數(shù)相差5的規(guī)律：后面3個(gè)數(shù)：55，（ ），（ ），設(shè)計(jì)了相鄰兩個(gè)數(shù)相差6的規(guī)律。

師：你三個(gè)三個(gè)地看發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，還能用這個(gè)規(guī)律寫出其他規(guī)律嗎？

生1：①70，（65），60，55，（44），（33）；②70，（65），60，55，（40），（25）；③70，（65），60，55，（45），（35）……

生2：能寫很多，前面3個(gè)數(shù)、后面3個(gè)數(shù)的相鄰兩個(gè)數(shù)都相差5時(shí)，就變成了70，（65），60，55，（50），（45）。

生3：70，（65），60，55，（54），（53）

師：你的前四個(gè)數(shù)有規(guī)律，后面兩個(gè)數(shù)為什么這樣填？

生：我把前面4個(gè)數(shù)看成一組，相鄰兩個(gè)數(shù)相差5：后面的數(shù)我設(shè)計(jì)的規(guī)律是相鄰兩個(gè)數(shù)相差1。

師：哦，你在四個(gè)四個(gè)地看發(fā)現(xiàn)規(guī)律，照這樣的規(guī)律也能寫出很多。

生：70，（65），60，55，（50），（70）

師：你是在五個(gè)五個(gè)地看嗎？

生：是的，我把前面5個(gè)數(shù)看成一組，相鄰兩個(gè)數(shù)相差5，接下去70、65、60、55不斷重復(fù)。

【反思】

正當(dāng)我為學(xué)生獨(dú)特的思維品質(zhì)而高興的時(shí)候，筆者辦公室里的老師對(duì)此題分為兩種觀點(diǎn)：一種認(rèn)為數(shù)學(xué)題目的答案是唯一確定的，只有等差數(shù)列70，（65），60，55，（50），（45）符合題意：另一種認(rèn)為此題的答案有很多，只要學(xué)生能說(shuō)出合理的想法都可以，

這不禁讓我想到了“一千個(gè)讀者就有一千個(gè)哈姆雷特”，數(shù)學(xué)的精確性使得用不同的解題方法都通往同一個(gè)結(jié)果，數(shù)學(xué)的模糊性又使得用不同的解題視角通往不同的數(shù)學(xué)維度。對(duì)于一年級(jí)學(xué)生，他們關(guān)注的差異性導(dǎo)致思維的多元性，從而產(chǎn)生答案的多樣性，雖然有些想法并不完美，但這些都是學(xué)生呈現(xiàn)的真實(shí)想法。

那么，為什么有的老師不能包容有合理解釋的答案呢？我想有兩個(gè)主要原因：一是教師定勢(shì)思維的“唯一性”，大部分教師看到這題后條件反射出等差數(shù)列或者從出題者的意圖想到此題是考查學(xué)生對(duì)等差數(shù)列規(guī)律的知識(shí)，從而不再深入研究學(xué)生遇到這題時(shí)會(huì)怎么想，還會(huì)有哪些答案：二是應(yīng)試教育評(píng)價(jià)的“唯一性”，面對(duì)試卷或練習(xí)中的題目，教師經(jīng)常教育學(xué)生只有一個(gè)和參考標(biāo)準(zhǔn)一樣的答案，既方便教師的批改，又能讓學(xué)生得高分。

因此，筆者認(rèn)為教師和出題者應(yīng)當(dāng)轉(zhuǎn)變觀念，順應(yīng)學(xué)生各個(gè)階段的想法。

首先，教師應(yīng)當(dāng)減少定勢(shì)思維，擴(kuò)寬觀察角度和思維方式。通常在應(yīng)試的壓力下，大部分教師在備課時(shí)都以參考答案為標(biāo)準(zhǔn)，其實(shí)我們要多問(wèn)問(wèn)學(xué)生、書本、同行、專家，了解學(xué)生的真實(shí)思維，關(guān)注數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)，切不可用教師的思維代替學(xué)生的想法。同時(shí)在課堂上教師要讓位給學(xué)生，傾聽學(xué)生想法的來(lái)龍去脈，讀懂學(xué)生的思維，貼著學(xué)生的想法去教，讓學(xué)生成為有思想、愛表達(dá)的人，而不僅僅是考試的機(jī)器。

其次，出題者應(yīng)當(dāng)反復(fù)斟酌題目，關(guān)注學(xué)生的思維。教材和教參對(duì)“規(guī)律”的界定沒(méi)有明確強(qiáng)調(diào)必須是連續(xù)性的規(guī)律，應(yīng)當(dāng)允許學(xué)生在兒童世界里沒(méi)有條條框框限制時(shí)寫出的跳躍性規(guī)律：我們應(yīng)強(qiáng)調(diào)找規(guī)律填空的意義在于加強(qiáng)對(duì)一般性數(shù)列規(guī)律的熟悉，雖然它有很多解，但主要是培養(yǎng)你尋找數(shù)列一般規(guī)律和猜測(cè)數(shù)列通項(xiàng)的能力（即運(yùn)用不完全歸納法的能力）。

如此題就3個(gè)不連續(xù)的數(shù)讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律填數(shù)，筆者認(rèn)為出題者不妨將此題設(shè)計(jì)成開放題：“你能找出多少種不同的規(guī)律？70，（ ），60，55，（ ），（ ）”，不僅減少了題目的爭(zhēng)議，還可以發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念和創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。