極限思想方法在無窮級數與廣義積分中的應用

姜珊珊+楊柳+南華

摘要：本文主要探討分析極限過程，通過論述階的估計方法及其在無窮級數和廣義積分的斂散性判別中的應用，展示分析學不同問題中的極限思想與方法。

關鍵詞：極限；無窮級數；廣義積分

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）10-0215-02

一、引言

經數學發展史上第二次數學危機，最終由Weierstrass和Cauchy等人嚴格闡述的“極限”這一概念是微積分學中最基礎的概念。極限過程是變量的穩定的變化過程，也是由“量變”到“質變”的一個過程。現代分析學，如數學分析等就其內容的性質而言，實質上就是一門研究極限過程的理論和變量計算方法的學科，其中變量計算方法的理論依據就是極限過程的內部規律性，而變量計算的形式法則又是極限過程內部規律性的外在體現。

觀察數列f■=■（n=1，2，3，…），當n沿自然數列逐漸增大時，f■隨之逐漸變小，但不論n如何增大，f■始終是一個正數。顯然這是一個量變的過程，因為盡管f■隨著n增大一直在變小，卻仍舊保持著“是一個正數”的性質。然而■f■=0，這一結果改變了“是一個正數”的性質，或者說“f■是一個正數”的性質隨著n無限增大而消失了。這雖是一個簡單的例子，但是已充分說明了極限過程是由“量變”到“質變”的過程。又如，無理數也是從有理數出發，再加上極限過程的理論而定義的。事實上，我們知道對任意的自然數n來說，1+■+■+…+■總是一個有理數，而其極限■a■=e卻導出了一個無理數。

無窮小與無窮大的概念也是由極限過程來定義的，也可以說它們本身實際上就是一個極限過程，若能體會極限的這種“質變”過程的意義，對分析學中常以極限過程來定義新概念也就可以理解了。

二、函數階的估計及其應用

關于無窮小與無窮大階的概念，利用極限過程可以將其推廣到任意的函數f（x）和g（x）（g（x）>0）上。當x→x■（x→x■也可以是x→0，或者x→∞）時，類似的有階的表示：若f（x）/g（x）→0，則記作f（x）=o（g（x））；若f（x）/g（x）→1，則記作f（x）~g（x）；若f（x）/g（x）→d（有限常數）≠0，則記作f（x）=■（g（x））；若|f（x）|/g（x）＜d（有限常數），則記作，f（x）=O（g（x））；若f（x）/g（x）→∞，則記作，

f（x）?酆g（x）或，g（x）?芻f（x）。

對于無窮級數我們已知如下的極限比較判別法：定理1：∑u■和∑v■是兩個正項級數，若■■=l，則：（1）當0＜l＜+∞時，∑u■和∑v■有相同斂散性；（2）當l=0且∑v■收斂時，級數∑u■收斂；（3）當l=+∞且∑v■發散時，級數∑u■發散。

顯然可以由此無窮級數的極限斂散判別法得到下面的關于廣義積分的斂散判別法：定理2：f（x）是定義在［0，∞）內的一個連續函數，則：（1）f（x）=O■（s>1）時，■|f（x）|dx＜∞，即收斂；（2）f（x）=■■（s≤1）時，■|f（x）|dx=∞，即發散，且絕對收斂隱含收斂性。

這兩個定理可以用來處理一些判別無窮級數和無窮積分的斂散性問題。

例1：無窮級數■■sin（■）是發散的。事實上由于x→0時，sinx~x，故當n→∞時有■sin（■）~■（■），而級數■■=∞發散，于是由定理1（1）可知級數■■sin（■）是發散的。

例2：無窮積分∫■■■dx，當α-2β>1時絕對收斂；而當α-2β≤1時發散。事實上當x→∞時，有■■~1，■■~1，于是可知在x→∞時被積函數f（x）=■■■■x■~

x■。再由定理2可得到原題結果。

三、結論

階的概念和極限的概念是分不開的。可以說，極限過程是變量的變化過程，而階的概念則是反映此過程中變量變化的快慢狀態。通過估計函數的階來判別廣義積分和無窮級數的斂散性的方法是特別方便的。值得注意的是：要運用此方法必須具備粗略估計函數階的能力，也就是要學會對于收斂性問題的觀察能力，具有了這種能力，才可能選擇適當的函數進行階的比較，進而判別無窮級數或廣義積分的斂散性。極限思想是高等數學尤其是分析學理論研究中最為重要的數學思想。它不僅是解決在微積分學中一些運算問題，較復雜的解析式的估計，變量之間相對的比較法則，不同形態的極限之間的聯系法則，等等無不蘊含著極限思想與方法。另一方面，解決有一定難度的數學問題有時是需要猜測或估計的，上面提到的用函數的階的估計方法判定斂散性問題就特別強調了這種能力。

參考文獻：

[1]徐利治.數學分析的方法及例題選講[M].大連理工大學出版社,2008.

[2]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京:高等教育出版社,2013.

The Application of the Thought and Method of Limit in Infinite Series and Improper Integral

JIANG Shan-shan,YANG Liu,NAN Hua

(Department of Mathematics,College of Science,Yanbian University,Yanji,Jilin 133002,China)

Abstract:The process of limitation is studied in this paper. Through discourse the method of estimation of the order,and its application in infinite series and improper integral,we show the limit thought and method in different problems in analysis.

Key words:limit;infinite series;improper integral