矢量及微積分在大學(xué)物理教學(xué)中的作用

張紅美+孔德國

摘要：矢量和微積分在大學(xué)物理教學(xué)中是一個重點，貫穿整個大學(xué)物理教學(xué)始終。本文從介紹中學(xué)物理與大學(xué)物理不同之處出發(fā)，分析矢量與微積分在大學(xué)物理學(xué)習(xí)中的重要性，同時提出如何引導(dǎo)學(xué)生盡早適應(yīng)大學(xué)物理教學(xué)中采用矢量及微積分方法處理物理問題。

關(guān)鍵詞：矢量；微積分；大學(xué)物理

中圖分類號：G633.7 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）09-0067-02

大學(xué)物理是高等院校對理工科學(xué)生必開的一門公共基礎(chǔ)課[1]，使學(xué)生通過物理課程的學(xué)習(xí)樹立科學(xué)的人生觀、價值觀，具備一定的邏輯思維能力和利用物理知識解決問題的能力，同時還可以提高學(xué)生的求知欲和創(chuàng)新能力，對學(xué)生今后的發(fā)展有著舉足輕重的作用。

大學(xué)物理與中學(xué)物理相比研究的問題更接近生產(chǎn)、生活實際，更具有普遍性，如中學(xué)階段介紹加速運動時只涉及到勻加速運動，即加速度的大小和方向都不隨時間發(fā)生變化，由牛頓第二定律可知此時所涉及的力也是恒力，最典型的是自由落體運動。而生產(chǎn)工作中經(jīng)常遇到的是加速度的大小和方向可能時刻發(fā)生變化，如學(xué)生騎車從宿舍到教室的路上速度的大小和方向就會不停地變化。這種情況必然導(dǎo)致大學(xué)物理研究問題的方式與中學(xué)物理不同。

每學(xué)期上大學(xué)物理緒論課時，學(xué)生翻開課本總會發(fā)現(xiàn)大學(xué)物理課本中有大量的矢量和微積分，事實上這是中學(xué)物理向大學(xué)物理轉(zhuǎn)變的必然結(jié)果。矢量和微積分貫穿整個大學(xué)物理始終。在塔里木大學(xué)這所綜合性大學(xué)里面，大學(xué)物理通常在大一第二學(xué)期或大二第一學(xué)期開課，這時的學(xué)生經(jīng)過一年高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，對矢量和微積分已經(jīng)有了初步的了解，但是在上課過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生還是習(xí)慣于用初等數(shù)學(xué)知識去思考和解決大學(xué)物理問題，將矢量和微積分應(yīng)用到大學(xué)物理學(xué)習(xí)過程中成了學(xué)生普遍認(rèn)為的難點。

一、矢量及微積分在大學(xué)物理學(xué)習(xí)中的重要性

物理學(xué)研究問題總是從簡單到復(fù)雜，從特例到普遍這樣一個過程，大學(xué)物理研究物理問題的過程也不例外。如介紹加速度時從中學(xué)階段的勻加速運動開始，然后提出該方法的局限性，引入變加速運動，里面又涉及到加速度隨時間變化或隨空間變化，由于在這個過程中加速度是隨時間或空間變化的，才引入矢量及微積分的運算。大學(xué)物理的前兩章介紹質(zhì)點運動學(xué)和動力學(xué)，為后面其他章節(jié)的學(xué)習(xí)做鋪墊，因為剛體、理想氣體、理想流體及點電荷均可看作是由很多質(zhì)點組成的質(zhì)點系，即先把這些理想化模型進行無限分割，每一個小質(zhì)元均可看作一個質(zhì)點，先研究各個質(zhì)點的運動情況，然后對所有的質(zhì)點運動情況進行疊加就得到整個理想化模型的運動情況，事實上在對理想化模型進行分割的過程就是在進行微分，而對所有質(zhì)點運動情況進行疊加的過程就是在進行積分。同時，大學(xué)物理所研究的物理量不再是恒定不變的，如力是變力，會隨空間位置和時間發(fā)生變化，什么情況下力才可以看作恒力呢？當(dāng)對時間或空間進行微分時，在無限短的時間或無限小的位移內(nèi)力可以看作是恒力，相應(yīng)的物理過程就趨向于無限小，有限的物理過程就需要對其進行積分。由于所研究的物理量不再是恒量，相應(yīng)的中學(xué)階段的標(biāo)量表示方法已不再適用，需要用到矢量來表示。因此矢量和微積分貫穿整個大學(xué)物理學(xué)習(xí)過程的始終，在大學(xué)物理的學(xué)習(xí)過程中占有重要的地位。

二、大學(xué)物理初學(xué)者常出現(xiàn)的問題

在中學(xué)階段由于很多情況下研究的力是恒力，即其大小和方向是不發(fā)生變化的，因此通常情況下力采用一個標(biāo)量來表示，同樣情況的還有位移、力矩等，而大學(xué)階段由于通常情況下所研究問題中的力是變力，所以必須用矢量來表示。矢量的合成必須符合三角形法則或平行四邊形法則，大學(xué)物理中矢量的運算涉及到矢量的點乘和叉乘，如計算功用到點乘，計算力矩用到叉乘。大學(xué)物理緒論課上筆者會詳細講三維直角坐標(biāo)系中矢量的點乘與叉乘，要求學(xué)生做好課堂筆記。

微積分思想在大學(xué)物理中應(yīng)用也較多，主要涉及到微分和積分兩部分，這點在質(zhì)點運動學(xué)中體現(xiàn)得較典型，在已知位矢表達式的情況下會通過微分求導(dǎo)的方法求出速度和加速度，同樣的，在已知加速度和初始條件的情況下會通過積分的方法求速度和位矢表達式。開學(xué)初緒論課上筆者會給出大學(xué)物理中常用到的微積分公式，并要求學(xué)生做一些相關(guān)的習(xí)題。

大學(xué)物理初學(xué)者雖然已經(jīng)在高等數(shù)學(xué)課中學(xué)習(xí)過矢量和微積分，但是要把這些數(shù)學(xué)知識與物理模型結(jié)合起來并不是一個簡單的過程。初學(xué)者常犯的錯誤有以下幾種：對矢量的計算過程中，矢量一會兒就變成了標(biāo)量，往往忘記矢量符號，或者等式的左邊是矢量右邊是標(biāo)量；矢量的點乘與叉乘區(qū)分不開，通常會混淆三維直角坐標(biāo)系中單位矢量之間的點乘與叉乘的結(jié)果；不清楚哪些物理量可以無限分割，往往一個單重積分式中有兩個或多個微分量，不明白這些物理量之間的變換關(guān)系，或者說是對積分式的意義理解不夠深入。

三、如何引導(dǎo)學(xué)生采用矢量及微積分方法處理物理問題

高等數(shù)學(xué)比初等數(shù)學(xué)更為抽象，同樣的，大學(xué)物理較中學(xué)物理抽象，當(dāng)數(shù)學(xué)公式被用來解決物理問題的時候，數(shù)學(xué)公式不再是單純的公式那么簡單，而是被賦予了物理意義[2]。如何有效地將數(shù)學(xué)公式應(yīng)用到解決物理問題中，特別是使初學(xué)者具備這方面的能力是很重要的。教師在教學(xué)過程中需要對學(xué)生加以引導(dǎo)，使學(xué)生盡早適應(yīng)這種方法去學(xué)習(xí)大學(xué)物理。

在平時的課堂教學(xué)過程中教師要不斷去分析目前所研究的物理問題與高中物理的不同之處，自如地引入微積分思想，剛開始可以不用微積分去計算，但是要使學(xué)生習(xí)慣這樣一種思維方式，改變中學(xué)階段形成的思維定式，當(dāng)學(xué)生的思維方式發(fā)生改變后，再逐漸將微積分的計算加入到課堂訓(xùn)練中。往往經(jīng)過幾道例題的講解大多數(shù)學(xué)生自認(rèn)為可以采用矢量及微積分去處理問題了，此時筆者通常會請一個學(xué)生到講臺上給大家講解一道例題，采取邊做邊講的方式，而講臺下的同學(xué)則要集中精力去發(fā)現(xiàn)臺上同學(xué)出現(xiàn)的問題，力爭使這道例題講解完美，最后會利用幾分鐘的時間去歸納總結(jié)或者留出兩分鐘時間給大家自由討論，小組總結(jié)。采用這種方法既調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性，同時還使學(xué)生在練習(xí)的過程中及時發(fā)現(xiàn)問題并改正自身的錯誤。

課堂所列舉的事例一定要貼近生活，比如講剛體轉(zhuǎn)動慣量的計算時，當(dāng)剛體的質(zhì)量為連續(xù)分布必須采用微積分的方法去計算其轉(zhuǎn)動慣量。課本上的例子是均質(zhì)細桿，可以換成均質(zhì)掛面，球面的例子可以舉籃球，球體的可以說鉛球，一個個活生生的例子擺在學(xué)生面前，學(xué)生才會去思考怎么去分割，怎么去求和，無形之中強化了微積分的思想。

四、結(jié)束語

微積分在大學(xué)物理研究問題上的思想方法是將復(fù)雜的物理學(xué)問題，無論是在時間上也好空間上也好首先進行無限地分割，分割成無限小量，即微分；然后將各個無限小量進行求和疊加，即積分。學(xué)生只有經(jīng)過反復(fù)地訓(xùn)練掌握了矢量和微積分的思想和精髓才能將其自如地應(yīng)用到大學(xué)物理的學(xué)習(xí)過程中，這種素質(zhì)需要經(jīng)過長時間的強化練習(xí)。而這種素質(zhì)的形成會使學(xué)生樹立學(xué)好大學(xué)物理的信心，提高他們應(yīng)用高等數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力，為今后專業(yè)課程的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。

參考文獻：

[1]王娜.談大學(xué)物理微積分思想和方法[J].江西教育，2015-28-28.

[2]熊青玲.大學(xué)物理中關(guān)于矢量的應(yīng)用問題探討[J].希望月報，2008，（3）：14-15.

The Role of Vector and Calculus in College Physics Teaching

ZHANG Hong-mei，KONG De-guo*

（College of Mechanical and Electrical Engineering，Tarim University，Alaer，Xinjiang 843300，China）

Abstract：Vector and calculus are keys in university physics teaching that throughout the university physics teaching. This paper introduces the middle school physics and college physics analysis of the importance of different vector and calculus in college physics learning，and puts forward how to guide the students to deal with the physical problems as early as possible and by using vector calculus method in college physics teaching.

Key words：ector；Calculus；college physics