向量的兩重性在解題中的應(yīng)用

李會(huì)玲

摘要：向量具有代數(shù)和幾何的雙重屬性，是數(shù)形結(jié)合思想的高度體現(xiàn)，在解題過(guò)程中有靈活地運(yùn)用，通過(guò)對(duì)幾道題目的分析，希望能夠?yàn)橹袑W(xué)數(shù)學(xué)教師提供一些幫助。

關(guān)鍵詞：向量；數(shù)形結(jié)合；幾何法；坐標(biāo)法

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2017）01-0102

向量既有大小又有方向，可以用有向線段表示，也可以用坐標(biāo)表示。具有代數(shù)和幾何的雙重屬性，引入高中課程，對(duì)課程結(jié)構(gòu)以及解決問(wèn)題的方式和方法產(chǎn)生了很大的沖擊和影響，是數(shù)形結(jié)合思想的高度體現(xiàn)。近幾年，高考對(duì)向量的關(guān)注度也越來(lái)越高。通過(guò)自己這幾年對(duì)本章內(nèi)容的教學(xué)實(shí)踐和對(duì)相關(guān)試題的分析，越發(fā)感受到向量的兩重性在解題中的巧妙應(yīng)用。下面，筆者通過(guò)幾道題目的分析，希望能夠?yàn)橐痪€的中學(xué)數(shù)學(xué)教師提供一些幫助。

例1.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則 · 的值為

， · 的最大值為 。

方法一：選取向量 ， 為基底表示向量

· =（ + ）· = 2=1

方法二：利用數(shù)量積的幾何意義

在 方向的投影為CB，故 · = 2=1

方法三：利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算

以射線AB，AD為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），

設(shè)E（t，0），t∈[0，1]，

則 =（t，-1）， =（0，-1），

所以 · =（t，-1）·（0，-1）=1。

解析2：

方法一：因?yàn)?=（1，0），所以 · =（t，-1）·（0，-1）=t≤1，故 · 的最大值為1。

方法二：由圖知，無(wú)論E點(diǎn)在哪個(gè)位置， 在 方向上的射影都是CB=1，∴ · = ·1=1。

當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)， 在 方向上的射影最大即為DC=1，∴（ · ）max= ·1=1。

例2. 已知a，b是單位向量，a·b=0，若向量c滿足|c-a-b|=1，則|c|的取值范圍是（ ）

A. [ -1， +1] B. [ -1， +2]

C. [1， +1] D. [1， +2]

解析1：

方法一：利用向量的運(yùn)算

∵a·b=0，且a，b是單位向量，∴|a|=|b|=1.

又∵|c-a-b|2=c2-2c·（a+b）+2a·b+a2+b2=1，∴2c·（a+b）=c2+1.

∵|a|=|b|=1且a·b=0，∴|a+b|= ，

∴c2+1=2 |c|cosθ（θ是c與a+b的夾角）。

又-1≤cosθ≤1，∴0

∴c2-2 |c|+1≤0，∴ -1≤|c|≤ +1。

方法二：利用坐標(biāo)法

以a，b向量分別作x，y 軸建立坐標(biāo)系。則a=（1，0），b=（0，1）設(shè)c=（x，y）

由|c-a-b|=1得：x，y滿足（x-1）2+（y-1）2=1，（x，y）的軌跡為以（1，1）為圓心以1為半徑的圓。|c|表示動(dòng)點(diǎn)（x，y）到原點(diǎn)的距離。圓心（1，1）到原點(diǎn)的距離為 ，所以|c|最大值為 +1，最小值為最小值為 -1。

例3. 如圖所示，四邊形ABCD是正方形，P是對(duì)角線DB上的一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，且四邊形PFCE是矩形，試用向量法證明：PA=EF。

證明：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，DP=λ（0<λ< ），則A（0，1），P（ λ， λ），E（1， λ），F(xiàn)（ λ，0），

∴ =（- λ，1- λ）， =（ λ-1，- λ），

∴ = = ，

∴ = = ，

∴ = ，即PA=EF。

思維啟迪：正方形中有垂直關(guān)系，因此考慮建立平面直角坐標(biāo)系，求出所求線段對(duì)應(yīng)的向量，根據(jù)向量知識(shí)證明。

例4. 給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量 和 ，它們的夾角為 ，如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧 運(yùn)動(dòng)。若 =x +y ，其中x，y∈R，求x+y的最大值。

解析：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A（1，0）， B（- ， ），設(shè)∠AOC=α（α∈[0， ]），則C（cos α，sin α），由 =x +y ，

得cos α=x- ysin α= y，所以x=cos α+ sin α，y= sin α，

以x+y=cosα+ sin α=2sin（α+ ），

又α∈[0， ]，所以當(dāng)α= 時(shí)，x+y取得最大值2。

例5. 已知平面上一定點(diǎn)C（2，0）和直線l：（上接第102頁(yè)）x=8，P為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作PQ⊥l，垂足為Q，且（ + ）·（ - ）=0。

1. 求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

2. 若EF為圓N：x2+（y-1）2=1的任一條直徑，求 · 的最值。

剖析：（1）直接利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算代入；（2）將 · 轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的函數(shù)，求函數(shù)的最值。

解：（1）設(shè)P（x，y），則Q（8，y）。

由（ + ）·（ - ）=0，得 2= 2=0，

即（x-2）2+y2- （x-8）2=0，化簡(jiǎn)得 + =1。

所以點(diǎn)P在橢圓上，其方程為 + =1。

（2）∵ = + ， = + ，又 + =0。

∴ · = 2- 2=x2+（y-1）2-1

=16（1- ）+（y-1）2-1=- y2-2y+16=- （y+3）2+19

∵-2 ≤y≤2

∴當(dāng)y=-3時(shí)， · =的最大值為19； 當(dāng)y=2 時(shí)， · =的最小值為12-4 。

綜上： · 的最大值為19； · 的最小值為12-4 。

在解決有關(guān)向量的問(wèn)題時(shí)，我們應(yīng)該充分考慮到向量的特性，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想，或利用向量定義，或利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，或利用數(shù)量積的幾何意義，從不同角度創(chuàng)造性地解題，提升自己的思想。

（作者單位：陜西省西安市第十九中學(xué) 710025）