初中數學分類討論常見題型透析

鄭錦松

分類討論，就是在研究和解決問題時，當問題所給對象不能統一進行研究，我們就需要根據對象的特征屬性，將對象區分為不同種類，然后逐類進行研究從而在整體上解決問題。分類討論思想是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數學思想，有效運用分類討論思想，有利于學生深入理解數學知識之間的內在規律性，對于培養學生思維的概括性和提高學生思維的條理性都有重要的意義。在初中數學學習中，分類討論題是一種常見題型，也是中考壓軸題的熱點考點。但學生在解決此類問題時，因為考慮不周而導致失分的情況十分常見，究其原因主要是學生對數學問題中引起分類討論的原因認識不夠透徹。下面就初中數學中容易引起分類討論的三類主要題型進行梳理歸納，剖析分類討論題型解答的思路、方法和技巧。

一、問題中含有參變量的不同取值會導致不同結果而需要進行分類討論

有些數學性質、公式或定理在不同的條件下是會有不同結論的，或者說結論只有在一定限制條件下才能成立，這時就需要用分類討論的思想方法對參變量的不同取值而導致出現多種結果的情況進行分類討論。該類題型多見于方程、不等式、函數等考點中。

【例1】解不等式：ax-2a>2x-4。（a≠2）

解析：原不等式化為（a-2）x>2（a-2）。（1）當a>2時，原不等式的解為x>1；（2）當a<2時，原不等式的解為x<1。

點評：本題在解題過程中涉及到不等式性質的運用，由于不等式的性質是按參數的不同取值分類給出的，因此在不等式解題過程中一定要注意按未知數的系數大于0、等于0或小于0三種情況進行分類討論，這樣才能做到不重不漏。

二、問題中給出條件沒有準確表達幾何圖形的唯一性而需要進行分類討論

在有些數學問題中，一個語句描述的圖形可能存在多樣性，在解題過程中需要根據語句畫出不同的圖形，再結合圖形對各類情況分類討論從而得到問題的完整答案。該類題型常見于三角形、四邊形及圓的有關考點中。

【例2】一個點到圓的最小距離是4，最大距離是9，則該圓的半徑是。

解析：當點P在⊙O內時，如圖1，此時⊙O半徑為6.5，當點P在⊙O外時，如圖2，此時⊙O半徑為2.5。

點評：條件沒有明確點的位置，而按照點與圓的位置關系分類有點在圓內、點在圓上、點在圓外三類，因此在解題過程時需要分類討論，此題點在圓上時不滿足條件，因此只有點在圓內和圓外兩種情況。

三、“動點題”中同一運動結果但存在不同的運動過程而需要進行分類討論

點運動類型的題目是中考的熱點，更常常是中考壓軸題，在此類題型中，常常存在相同的運動結果，但有幾類不同運動過程的情況。此類題型在解題過程中要認真分清可能存在的不同運動過程，再分類研究，最后再對各類情況綜合。

【例3】在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm。點E、F、G分別從點A、B、C三點同時出發，沿矩形的邊按逆時針方向移動。點E、G的速度均為2cm/s，點F的速度為4cm/s，若點F在矩形的邊BC上移動，求運動開始幾秒后以點E、B、F為頂點的三角形與以點F、C、G為頂點的三角形相似？

解析：設移動開始后第t秒時，以點E、B、F為頂點的三角形與以點F、C、G為頂點的三角形相似。

點評：本題從運動的觀點，考查了動點E、F、G運動后所形成的三角形與以點F、C、G為頂點的三角形相似，應根據動點的不同位置構造出不同的幾何圖形。在這一類的問題中，分類討論的標準往往要結合題目的背景進行分類，如本題三角形相似因對應邊的不同而存在不同的圖形是分類討論的標準。

初中數學中的分類討論問題梳理歸納主要有以上幾種題型，根據上述題型，筆者總結出用分類思想解題的一般步驟：（1）確定需分類討論的對象；（2）對所討論對象劃定分類的標準，做到分類標準一致性，確保分類時做到不重復、不遺漏；（3）逐類討論，即對各類問題詳細討論，逐步解決；（4）歸納總結，整合，得出結論。

責任編輯鄒韻文